Topografi Aplicada_2012
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Topografi Aplicada_2012


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e adotando \u201ctsmin\u201d igual há 2 segundos temos: 
 
 VLs ×= 556,0min (em metros) 
 
Comprimento Máximo de Transição 
 
 È necessário, também, limitar superiormente o comprimento das curvas de transição. 
Um critério bastante usual para a determinação do comprimento máximo de transição é a 
fixação de uma taxa mínima de variação da aceleração centrípeta na curva de transição, isto é, 
a adoção de um \u201cJmin\u201d, usualmente 0,3m/s3. 
 
C
máx RJ
VLs ×= min
3
 
e, para \u201cV\u201d em km/h, \u201cRC\u201d em metros e \u201cJmin\u201d igual a 0,3m/s3, temos: 
 
C
máx R
VLs
307,0 ×= (em metros) 
 
b) Escolha do Comprimento de Transição 
 
 O maior valor obtido através do cálculo de \u201cLsmin\u201d , a partir do 1º, 2º e 3º critério, é o 
limite que deverá ser observado para o cálculo da curva de transição. Normalmente, são 
escolhidos para \u201cLs\u201d valores múltiplos de 20 metros, correspondendo a um número inteiro de 
estacas; este procedimento, todavia, é opcional. O valor mínimo de \u201cLs\u201d, assim determinado, 
é um valor de referência; sempre que possível, adota-se para \u201cLs\u201d valores maiores, os quais 
proporcionarão uma transição mais confortável. 
 O valor máximo de \u201cLs\u201d, calculado com o critério fixado em comprimento máximo de 
transição, é um limite cuja observância é desejável, mas não obrigatório. 
 A incompatibilidade entre os valores mínimos de \u201cLs\u201d e os valores máximos revela 
uma escolha inadequada dos parâmetros de cálculo (V,RC , e). 
 
c) Exemplos: 
 1) Determinar o comprimento de transição da curva, mínimo e máximo, sabendo-se 
que: 
 V=120km/h RC=300m e=8% lf=3,50m 
 
Comprimento Mínimo: 
 
a) m
R
VLs
C
60,201
300
120035,0035,0 33
min =×=×= 
b) HLs ×= 400min m
le
H f 28,0
100
50,38
100
=×=×= 
 mLs 00,11228,0400min =×= 
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c) mVLs 72,66120556,0556,0min =×=×= 
Lsmin adotado = 201,60m 
 
Comprimento Máximo 
a) m
R
VLs
C
máx 20,403300
12007,007,0 33 =×=×= 
 
Conclusão: 
 O valor de Ls deverá ser: 
 
 20,40360,201 \u2264\u2264 Ls 
 
 Pode-se adotar Ls=300m, verificando-se a possibilidade de adoção desse valor face ao 
critério comprimento máximo da clotóide. 
 
2) Determinar o comprimento de transição da curva, mínimo e máximo, sabendo-se que: 
 V=100km/h RC=600m e=5% lf=3,50m 
 
Comprimento Mínimo: 
a) m
R
VLs
C
33,58
600
100035,0035,0 33
min =×=×= 
b) HLs ×= 400min m
le
H f 175,0
100
50,35
100
=×=×= 
 mLs 00,70175,0400min =×= 
 
c) mVLs 60,55100556,0556,0min =×=×= 
 
Lsmin adotado = 70,00m 
 
Comprimento Máximo 
b) m
R
VLs
C
máx 66,116600
10007,007,0 33 =×=×= 
 
Conclusão: 
 O valor de Ls deverá ser: 
 66,11600,70 \u2264\u2264 Ls 
 
 Pode-se adotar Ls=100m, verificando-se em seguida o critério comprimento máximo 
da clotóide. 
 
1.4.2 Estudo da Clotóide 
 
 Sabemos que para qualquer ponto da clotóide é valida a relação \u201cRl=K\u201d. Em 
particular, se uma clotóide de comprimento \u201cLs\u201d liga uma tangente a uma curva circular de 
raio \u201cRc\u201d, essa relação, no ponto da espiral-curva circular (EC), coincidente com o ponto PC 
da curva circular, assume a forma: 
 2KLsRc =× 
 
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permitindo assim, o valor da constante característica dessa clotóide que será: 
 LsRclR ×=× 
l
LsRcR ×= (1) 
TS
LT
ST
R
R
P dl
EC
PI
k
l
\u3b8
\u3b8s
\u3b8 \u3b8s
RC
d\u3b8
Ls
 
Fig. 29 
 
 A partir da figura 29 podemos dizer que \u201cLs\u201d é o comprimento total da espiral de TS 
até EC e \u201cl\u201d o comprimento de TS até um ponto qualquer \u201cP\u201d. O ângulo total da espiral é 
\u201c\u3b8s\u201d, enquanto o ângulo até o ponto \u201cP\u201d é \u201c\u3b8\u201d. Se levarmos em consideração um 
comprimento infinitesimal da espiral \u201cdl\u201d, ele corresponde a um ângulo infinitesimal \u201cd\u3b8 \u201d. 
 
R
dld =\u3b8 
substituindo \u201cR\u201d pela equação (1): 
 
LsRc
dlld ×
×=\u3b8 
integrando: 
 
LsRc
l
×= 2
2
\u3b8 (2) 
 
substituindo \u201c\u3b8 \u201c por \u201c\u3b8s\u201d e \u201cl\u201d por \u201cLs\u201d 
 
Rc
Ls
LsRc
Lss
22
2
=×=\u3b8 (3) 
o valor de \u201c\u3b8s\u201d está expresso em radianos, para convertê-lo em graus devemos multiplicar por 
\u3c0
180 e substituir na fórmula \u201cRc\u201d pela fórmula 
Dc
Rc
.
3600
\u3c0= . 
 
4036002
180 DcLsDcLss ×=××
××°×= \u3c0
\u3c0\u3b8 (em graus) 
 
relacionando-se \u201c\u3b8\u201d com \u201c\u3b8s\u201d ( equação 2 e 3) temos: 
 2
2
)(
2
2
Ls
l
LsLsRc
Rcl
s
=××
×=\u3b8
\u3b8 2)(
Ls
ls\u3b8\u3b8 = 
 
A deflexão \u3c8 para um ponto qualquer é: 
 \u3b8\u3c8
3
1= ou 2)(
3 Ls
ls\u3b8\u3c8 = 
 
 
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1.4.3 Posição da Clotóide 
 
 Examinando um segmento \u201cdl\u201d da curva, a uma distância \u201cl\u201d do Ponto de Tangente-
Espiral (TS) podemos determinar que as projeções \u201cx\u201d e \u201cy\u201d indicadas na figura 30 são 
respectivamente: 
 
TS
dl
dx
dy
EC
x
y
\u3b8
Rc
l
P
 
Fig.30 
 
 \u3b8
\u3b8
sen
cos
×=
×=
dldy
dldx
 
 
 As coordenadas \u201cx\u201d e \u201cy\u201d do ponto P são obtidas através de integração. 
 \u222b ×=
l
dlx
0
cos\u3b8 \u222b ×=
l
dly
0
sen\u3b8 
 Desenvolvendo o \u201ccos\u3b8\u201d e \u201csen\u3b8\u201d, em série de potências, temos: 
 dldx ......)
!6!4!2
1(
642
+\u2212+\u2212= \u3b8\u3b8\u3b8 
 
\u222b \u222b
\u23a5\u23a5
\u23a5\u23a5
\u23a5
\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2
\u23a2\u23a2
\u23a2
\u23a3
\u23a1
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
×\u2212
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
×+
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
×\u2212= dlLsRc
l
LsRc
l
LsRc
l
dx
624222
!6
2
!4
2
!2
2
1 
 
( ) ( ) ( )\u222b \u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1
××\u2212××+××\u2212= dlLsRc
l
LsRc
l
LsRc
lx
!62!42!22
1 6
12
4
8
2
4
 
 Integrando-se a equação e levando-se em consideração a equação de \u201c\u3b8\u201d 
(
LsRc
l
×= 2
2
\u3b8 ) obtemos: 
 
........)
21610
1(
42
\u2212+\u2212= \u3b8\u3b8lx 
 
 
De maneira análoga, podemos obter a expressão para o cálculo de \u201cy\u201d: 
 
 dldy .......)
!5!3
(
53
\u2212+\u2212= \u3b8\u3b8\u3b8 
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 \u222b \u222b
\u23a5\u23a5
\u23a5\u23a5
\u23a5
\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2
\u23a2\u23a2
\u23a2
\u23a3
\u23a1
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
×+
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
×\u2212
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
×= dlLsRc
l
LsRc
l
LsRc
l
dy
52322
!5
2
!3
2
!1
2
 
 
 ( ) ( )\u222b \u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1
××+××\u2212×= dlLsRc
l
LsRc
l
LsRc
ly
!52!322 5
10
3
62
 
 
 
Integrando-se a equação e levando-se em consideração a expressão de \u201c\u3b8\u201d (
LsRc
l
×= 2
2
\u3b8 ) 
obtemos: 
 
 .........)
1320423
(
53
\u2212+\u2212= \u3b8\u3b8\u3b8ly 
 
 
Os termos seguintes das duas séries podem ser desprezados. Devemos lembrar que o 
valor de \u201c\u3b8\u201d nas equações deverá ser em \u201cRadianos\u201d. 
 Se fizermos \u201cl=Ls\u201d e \u201c\u3b8=\u3b8s\u201d obtém-se \u201cx=Xs\u201d e \u201cy=Ys\u201d, coordenadas de EC em 
relação ao sistema