Topografi Aplicada_2012
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Topografi Aplicada_2012


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DE OBRAS 
1. Locação de obras 
1.1 Introdução 109 
1.2 Locação de túneis 109 
1.2.1 Locação de túneis por poligonal. 109 
1.2.2 Locação de túneis por triangulação 111 
1.3 Locação de eixos de pontes 112 
1.4 Locação de prédios e outras obras de Engenharia 114 
1.4.1 Locação de estacas 115 
1.4.2 Locação de paredes 121 
1.5 Exercício aplicativo 122 
 
Capítulo X \u2013 TERRAPLENAGEM 
1. Terraplenagem 
1.1 Introdução 123 
1.2 Exercício elucidativo das diversas situações em terraplenagem 124 
1.3 Exercícios aplicativos 134 
 
Bibliografia Consultada 135 
Respostas dos Exercícios Aplicativos 137 
Topografia Aplicada à Engenharia Civil 2012 / 13ª Edição Iran Carlos Stalliviere Corrêa 
Departamento de Geodésia \u2013 IG/UFRGS Porto Alegre/RS 
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APRESENTAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 Com a finalidade de atender às necessidades dos alunos da disciplina de Topografia 
Aplicada à Engenharia Civil, ministrada pelo Departamento de Geodésia do Instituto de 
Geociências, para o curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
(UFRGS), é que foi organizada esta coletânea de informações referentes a notas de aulas 
elaboradas durante mais de trinta anos de magistério. 
 
 A elaboração deste trabalho não tem o intuito de compará-lo a um livro didático e sim 
apenas um complemento para os alunos, no acompanhamento das aulas e, também, para 
futuras consultas na vida profissional dos mesmos já que a Topografia é uma ferramenta que 
contribui notavelmente para a área da Engenharia Civil. 
 
Esta obra tenta apresentar de forma simples e compreensível as principais aplicações 
da Topografia na área da Engenharia Civil e apresenta também, exemplos elucidativos de 
diversos casos reais observados na vida profissional, bem como propõe, exemplos aplicativos 
para o bom desenvolvimento do raciocínio dos alunos durante o desenrolar do curso. 
 
Quero expressar aqui o meu mais profundo agradecimento ao Prof. Clóvis Carlos 
Carraro, meu Mestre e Professor, o qual me ensinou os primeiros passos na área da 
Topografia e que me fez gostar desta ciência tornando-me, mais tarde, professor da mesma. 
Agradeço a ele também, pela sua paciência em revisar estas notas e pelas inúmeras sugestões 
apresentadas. 
 
Expresso também, os meus mais sinceros agradecimentos ao Prof. Laureano 
Ibrahim Chaffe, meu amigo e colega e ex-professor dessa disciplina, que me ensinou as 
principais aplicações da topografia na área da Engenharia Civil. 
 
A ambos meu respeito e gratidão. 
 
 
 
O Autor, 
 
 
 
 
 
 
Topografia Aplicada à Engenharia Civil 2012 / 13ª Edição Iran Carlos Stalliviere Corrêa 
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CAPÍTULO I 
 
LEVANTAMENTOS PLANIMÉTRICOS 
 
 
1 - INTERSECÇÃO DE RETAS 
 
1.1. Introdução 
 
 O cálculo da intersecção de retas pelo processo trigonométrico leva vantagem sobre o 
processo que aplica a geometria analítica pela simplicidade das fórmulas aplicadas, onde os 
elementos disponíveis, tais como azimutes e coordenadas, entram diretamente no cálculo. 
 O processo de intersecção de retas pode ser de dois tipos: por intersecção de retas 
oblíquas e por intersecção de retas perpendiculares. 
 
 
1.2. Intersecção de Retas Oblíquas 
 
 Seja determinar as coordenadas métricas de um ponto situado na intersecção de duas 
retas como mostra a figura 1 onde os elementos conhecidos são: 
 
 Coordenadas do ponto A (NA, EA) 
 Coordenadas do Ponto B (NB, EB) 
 Azimute da linha AI (AzA) 
 Azimute da linha BI (AzB) 
 
E os elementos procurados: 
 
 Coordenadas da Intersecção (NI, EI) 
 
 
N
N
A
B
I (NI-EI)
(NA-EA)
(NB-EB)AzA
AzB
\u2206N
A
\u2206EA
\u2206EB
\u2206 N
B
 
 
 
Figura 1. Intersecção oblíqua de duas retas 
 
 
 
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 A partir da figura 1 podemos dizer: 
 
 AAI EEE \u2206+= (1) AAI NNN \u2206+= (3) 
 BBI EEE \u2206+= (2) BBI NNN \u2206+= (4) 
 
logo: 
 AAIA tgAzNNE )( \u2212=\u2206 (5) 
 BBIB tgAzNNE )( \u2212=\u2206 (6) 
 
substituindo-se as equações (5) e (6) nas equações (1) e (2) temos: 
 
 AAIAI tgAzNNEE )( \u2212+= (7) 
 BBIBI tgAzNNEE )( \u2212+= (8) 
 
analogamente podemos dizer: 
 
 AAIA gAzEEN cot)( \u2212=\u2206 (9) 
 BBIB gAzEEN cot)( \u2212=\u2206 (10) 
 
substituindo-se as equações (9) e (10) nas equações (3) e (4) termos: 
 
 AAIAI gAzEENN cot)( \u2212+= (11) 
 BBIBI gAzEENN cot)( \u2212+= (12) 
 
Igualando-se as equações (7) e (8) temos: 
 
 BBIBAAIA tgAzNNEtgAzNNE )()( \u2212+=\u2212+ 
 BBBIBAAAIA tgAzNtgAzNEtgAzNtgAzNE \u2212+=\u2212+ 
 )()()( ABIBBBAAA tgAztgAzNtgAzNEtgAzNE \u2212=\u2212\u2212\u2212 
logo: 
 
 
AB
BBBAAA
I tgAztgAz
tgAzNEtgAzNEN \u2212
\u2212\u2212\u2212= )()( 
 
da mesma maneira se igualarmos as equações (11) e (12) temos: 
 
 BBIBAAIA gAzEENgAzEEN cot)(cot)( \u2212+=\u2212+ 
 BBBIBAAAIA gAzEgAzENgAzEgAzEN cotcotcotcot \u2212+=\u2212+ 
 )cot(cot)cot()cot( ABIBBBAAA gAzgAzEgAzENgAzEN \u2212=\u2212\u2212\u2212 
logo: 
 
 
AB
BBBAAA
I AzgAzg
gAzENgAzENE
cotcot
)cot()cot(
\u2212
\u2212\u2212\u2212= 
 
 
 
 
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1.3. Intersecção de retas Perpendiculares 
 
 Seja determinar as coordenadas métricas de um ponto situado na intersecção de duas 
retas como mostra a figura 2 onde os elementos conhecidos são: 
 
 Coordenadas do ponto A (NA, EA) 
 Coordenadas do Ponto B (NB, EB) 
 Azimute da linha AI (AzA) 
 
E os elementos procurados: 
 
 Coordenadas da Intersecção (NI, EI) 
 
 
A
B
I
AzA
(NI-EI)
(NA-EA)
(NB-EB)
\u2206 N
A
\u2206EA
\u2206EB
\u2206 N
B
(3\u3c0/2+AzA)
N
N
 
 
Figura 2. Intersecção perpendicular de duas retas 
 
 Da figura 2 podemos dizer que: 
 
 AAIA tgAzNNE )( \u2212=\u2206 (1) 
 )
2
3()( ABIB AztgNNE +\u2212=\u2206 \u3c0 (2) 
como 
 AA gAzAztg cot)2
3( \u2212=+\u3c0 
 
substituindo-se na equação (2) temos: 
 
 )cot)(( ABIB gAzNNE \u2212\u2212=\u2206 (3) 
como 
 AAI EEE \u2206+= BBI EEE \u2206+= 
 
substituindo-se os valores das equações (1) e (3) temos: 
 
 AAIAI tgAzNNEE )( \u2212+= (4) 
 
 )cot)(( ABIBI gAzNNEE \u2212\u2212+= (5) 
 
igualando-se as equações (4) e (5) temos: 
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 )cot)(()( ABIBAAIA gAzNNEtgAzNNE \u2212\u2212+=\u2212+ 
 ABAIBAAAIA gAzNgAzNEtgAzNtgAzNE cotcot +\u2212=\u2212+ 
 AIAIBABAAA gAzNtgAzNEgAzNtgAzNE cotcot \u2212\u2212=\u2212\u2212\u2212 
 
multiplicando-se por (\u20131) temos: