Topografi Aplicada_2012
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]
[ ] 29240,89
2
20)8,303,34()3,323,34(
2
20)5,333,34()3,323,34(
2
)5,333,34(31,12
m
S A
=\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+
+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×=
 
 
 
Perfil B (Fig. 62): 
 
 
Fig. 62 
 
 [ ] 27690,29
2
)3,349,34()3,344,36(20
2
)3,349,34(23,9 mSC =\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×= 
 
 
[ ]
[ ] 27700,72
2
20)3,323,34()1,323,34(
2
20)6,333,34()3,323,34(
2
)6,333,34(77,10
m
S A
=\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+
+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×=
 
 
Perfil C (Fig. 63): 
 
Fig. 63 
 
 
[ ]
[ ] 21110,48
2
)3,345,35()3,346,36(20
2
)3,344,34()3,345,35(20
2
)3,344,34(22,2
m
SC
=\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×+
+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×=
 
 
 [ ] 21120,29
2
20)5,333,34()9,323,34(
2
)5,333,34(78,17 mS A =\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×= 
 
 
 
 
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Perfil D (Fig.64): 
 
 
Fig. 64 
 [ ]
[ ]
[ ] 23320,112
2
)3,343,36()3,342,37(20
2
)3,348,35()3,343,36(20
2
)3,341,35()3,348,35(20
2
)3,341,35(33,13
m
SC
=\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×+
\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×+
+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×=
 
 
 23340,1
2
)9,333,34(67,6 mS A =\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×= 
 
 
4) Cálculo do volume de corte e aterro 
 
Aplicando-se a fórmula para o cálculo das áreas extremas, isto é, o volume entre as seções 
\u201cA e B\u201d, \u201cB e C\u201d e entre \u201cC e D\u201d a qual é obtida a partir da equação proposta por Bezout. 
 
[ ] 31450,2950)1110,487690,29(2)3320,1129225,26(
2
20 mV CorteTotal =\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 +++×= 
[ ] 32200,2950)1120,297700,72(2)3340,19240,89(
2
20 mV AterroTotal =\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 +++×= 
 
 A pequena diferença entre os dois cálculos é devida ao arredondamento na 
interpolação das distâncias referentes à curva de passagem. Esta pequena diferença é aceita 
para os cálculos. 
 
 
b) Exemplo da 2ª situação: O projeto de terraplenagem solicita um plano horizontal com cota 
final igual a 34,00m. 
 
 Caberá ao topógrafo determinar a cota de cada vértice do terreno tendo por base a cota 
final preestabelecida pelo projeto, as áreas de corte e aterro de cada seção e os volumes de 
corte e aterro finais que, naturalmente, não serão iguais. 
 
 Cota Final imposta para o terreno após a terraplenagem será de 34,00m, considerando-
se ainda a figura 60. 
 
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1) Cálculo de \u201cx\u201d correspondente a distância entre o vértice da quadrícula e a curva de 
passagem de 34,00m preestabelecida. 
mx 69,7
)5,338,34(
20)5,330,34(
1 =\u2212
×\u2212= 
 
onde DN=Diferença de Nível e Dh=Distância horizontal, seguindo-se o mesmo raciocínio 
temos: 
mx 15,6
)6,339,34(
20)6,330,34(
2 =\u2212
×\u2212= 
mx 11,11
)5,334,34(
20)5,330,34(
3 =\u2212
×\u2212= 
mx 67,1
)9,331,35(
20)9,330,34(
4 =\u2212
×\u2212= 
 
2) Cálculo das áreas das seções 
 
Utilizando-se as fórmulas matemáticas para cálculo de área de trapézios e triângulos 
temos: 
 
Perfil A: 
 [ ] 29240,35
2
)0,348,34(31,12
2
)0,348,34()0,343,36(20 mSC =\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×= 
 
 
[ ]
[ ] 29225,72
2
20)8,300,34()3,320,34(
2
20)5,330,34()3,320,34(
2
)5,330,34(69,7
m
S A
=\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+
+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×=
 
 
Perfil B: 
 [ ] 22325,39
2
)0,349,34()0,344,36(20
2
)0,349,34(85,13 mSC =\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×= 
 
 
[ ]
[ ] 2200,58
2
20)3,320,34()1,320,34(
2
20)6,330,34()3,320,34(
2
)6,330,34(15,16
m
S A
=\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+
+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×=
 
 
Perfil C: 
 
[ ]
[ ] 27780,61
2
)0,345,35()0,346,36(20
2
)0,344,34()0,345,35(20
2
)0,344,34(89,8
m
SC
=\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×+
+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×=
 
 
 [ ] 27775,18
2
20)5,330,34()9,320,34(
2
)5,330,34(11,11 mS A =\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×= 
 
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Perfil D: [ ]
[ ]
[ ] 20815,135
2
)0,343,36()0,342,37(20
2
)0,348,35()0,343,36(20
2
)0,341,35()0,348,35(20
2
)0,341,35(33,18
m
SC
=\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×+
+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×+
+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×=
 
 
 20835,0
2
)9,330,34(67,1 mS A =\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×= 
 
 
3) Cálculo do volume de corte e aterro 
 
Aplicando-se a fórmula para o cálculo das áreas extremas, como no caso anterior temos: 
[ ] 32650,3730)7780,612325,39(2)0815,1359240,35(
2
20 mV CorteTotal =\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 +++×= 
[ ] 32100,2290)7775,182300,58(2)0835,09225,74(
2
20 mV AterroTotal =\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 +++×= 
 
30550,1440 mVV AterroTotalCorteTotalde =\u2212 
 
 
c) Exemplo da 3ª situação: O projeto de terraplenagem solicita um plano inclinado na 
direção da estaca 1 para a estaca 5, com rampa de -1%, porém não é imposta uma altura 
determinada para este plano. 
 
 A topografia colocará este plano numa altura tal que os volumes finais de corte e 
aterro sejam iguais. A maneira de conseguir tal objetivo é manter a altura do plano inclinado 
no centro de gravidade da área àquele do plano horizontal cuja curva de passagem era de 
34,30m. O centro de gravidade (CG) está localizado na linha 3 entre os pontos B e C (Fig. 
65). 
 
1) Cálculo do Centro de Gravidade 
A
B
C
D
1 2 3 4 5
C
ot
a 
34
,7
0
C
ot
a 
34
,5
0
C
ot
a 
34
,3
0
C
ot
a 
34
,1
0
C
ot
a 
33
,9
0
-1%
CG
 
Fig. 65 
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 Sabendo-se que no Centro de Gravidade (CG) a cota do mesmo é de 34,30, 
estabelecida no projeto e que o plano de declividade é de \u20131% , do perfil 1 em direção ao 
perfil 5, determina-se as cotas dos demais perfis por uma simples regra de três. 
 
Cotas dos Perfis:: 
 mDN 20,0
100
120 =×= 
 
 
mCota
mCota
mCota
mCota
Perfil
Perfil
Perfil
Perfil
90,3320,010,34
10,3420,030,34
70,3420,050,34
50,3420,030,34
5
4
1
2
=\u2212=
=\u2212=
=+=
=+=
 
 
2) Cálculo de \u201cx\u201d correspondente à distância entre o vértice da quadrícula e a curva de 
passagem da cota correspondente a cada perfil (Figs 60 e 65). 
mx 45,5
)5,336,34(
20)5,348,34(
1 =\u2212
×\u2212= 
 
Não devemos esquecer de considerar a declividade do plano para o cálculo de \u201cx\u201d. A 
cota de 34,6 corresponde ao ponte de cota 34,8 menos 1% da declividade do plano. 
mx 27,7
)6,337,34(
20)5,349,34(
2 =\u2212
×\u2212= 
mx 86,2
)5,332,34(
20)3,344,34(
3 =\u2212
×\u2212= 
 
3) Cálculo das áreas das seções 
 
Utilizando-se as fórmulas matemáticas para cálculo de área