Topografi Aplicada_2012
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Topografi Aplicada_2012


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de trapézios e triângulos 
temos: 
 
Perfil A: 
 [ ] 28175,19
2
)5,348,34(45,5
2
)5,348,34()7,343,36(20 mSC =\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×= 
 
 
[ ]
[ ] 28200,82
2
20)8,309,33()3,321,34(
2
20)5,333,34()3,321,34(
2
)5,333,34(55,14
m
S A
=\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+
+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×=
 
 
Perfil B: 
 [ ] 24540,22
2
)5,349,34()7,344,36(20
2
)5,349,34(27,7 mSC =\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×= 
 
Topografia Aplicada à Engenharia Civil 2012 / 13ª Edição Iran Carlos Stalliviere Corrêa 
Departamento de Geodésia \u2013 IG/UFRGS Porto Alegre/RS 
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[ ]
[ ] 24550,65
2
20)3,321,34()1,329,33(
2
20)6,333,34()3,321,34(
2
)6,333,34(73,12
m
S A
=\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+
+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×=
 
 
Perfil C: 
 
[ ]
[ ] 21430,40
2
)5,345,35()7,346,36(20
2
)3,344,34()5,345,35(20
2
)3,344,34(86,2
m
SC
=\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×+
+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×=
 
 
 [ ] 21420,21
2
20)5,331,34()9,329,33(
2
)5,331,34(14,17 mS A =\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×= 
 
 
Perfil D: [ ]
[ ]
[ ] 20000,111
2
)50,343,36()7,342,37(20
2
)3,348,35()5,343,36(20
2
)1,341,35()3,348,35(20
2
)1,341,35(20
m
SC
=\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×+
+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×+
+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×=
 
 
 20mS A = 
 
 
4) Cálculo do volume de corte e aterro 
 
Aplicando-se a fórmula para o cálculo das áreas extremas, como no caso anterior temos: 
[ ] 31150,2560)1430,404540,22(2)0000,1118175,19(
2
20 mV CorteTotal =\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 +++×= 
[ ] 31400,2560)1420,214550,65(2)08200,82(
2
20 mV AterroTotal =\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 +++×= 
 
 Como se esperava, foi obtido volumes iguais de corte e aterro. 
 
 
d) Exemplo da 4ª situação: O projeto de terraplenagem solicita um plano inclinado na 
direção da estaca 1 para a estaca 5, com rampa de -1%, e da estaca A para B com uma 
rampa de +2% e estabelece como cota de 34,00m para a estaca A-5. 
 
1) Cálculo do Centro de Gravidade 
 
Para o cálculo do centro de Gravidade determina-se todos as cotas dos pontos da 
quadrículas em relação as rampas preestabelecidas. 
 As novas cotas dos vértices variarão de +0,20m da Estaca 5 para a Estaca A e de +0,40 
da estaca 5 para a Estaca D a partir da cota estabelecida para a Estaca A-5 (Fig.66). 
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A
B
C
D
1 2 3 4 5
-1%
+2
%
35,2#33,935,4#35,135,6#35,835,8#36,336,0#37,2
34,8#32,935,0#33,535,2#34,435,4#35,535,6#36,6
34,4#32,134,6#32,334,8#33,635,0#34,935,2#36,4
34,0#30,834,2#32,234,4#33,534,6#34,834,8#36,3
 
Fig. 66 
 
 As valores que se encontram em itálico (Fig.66) correspondem às cotas do 
levantamento do terreno; os que se encontram à esquerda destes são as cotas calculadas em 
relação às rampas preestabelecidas pelo projeto. 
 Com os dados das novas cotas do projeto, podemos determinar a Curva de Passagem 
da mesma maneira que foi calculada no exemplo da 1ª situação. 
 Desta maneira temos que a Curva de Passagem é igual a 35,0m. 
 
 
2) Cálculo de \u201cx\u201d correspondente a distância entre o vértice da quadrícula e a curva de 
passagem da cota correspondente a cada perfil. 
mxmx 36,1664,3
)5,336,34(
20)6,348,34( '
11 ==\u2212
×\u2212= 
 
Não devemos esquecer de considerar a declividade do plano para o cálculo de \u201cx\u201d. A 
cota de 34,6 corresponde ao ponte de cota 34,8 menos 1% da declividade do plano. 
mxmx 46,1854,1
)1,354,36(
20)9,340,35( '
22 ==\u2212
×\u2212= 
mxmx 78,1722,2
)4,343,35(
20)4,355,35( '
33 ==\u2212
×\u2212= 
mxmx 00,1200,8
)1,356,35(
20)6,358,35( '
44 ==\u2212
×\u2212= 
 
 
Cálculo das áreas das seções 
 
Utilizando-se as fórmulas matemáticas para cálculo de área de trapézios e triângulos 
temos: 
 
Perfil A: 
 [ ] 23640,17
2
)6,348,34(64,3
2
)6,348,34()8,343,36(20 mSC =\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×= 
 
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[ ]
[ ] 23620,88
2
20)8,300,34()2,322,34(
2
20)5,334,34()2,322,34(
2
)5,334,34(36,16
m
S A
=\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+
+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×=
 
 
Perfil B: 
 20760,11
2
)2,354,36(46,18 mSC =\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×= 
 
 
[ ]
[ ]
[ ] 20770,94
2
20)1,324,34()3,326,34(
2
20)3,326,34()6,338,34(
2
20)6,338,34()9,340,35(
2
)9,340,35(54,1
m
S A
=\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+
+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+
+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×=
 
 
Perfil C: 
 [ ] 21110,11
2
)6,356,36()4,355,35(20
2
)4,355,35(22,2 mSC =\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×= 
 
 
[ ]
[ ] 21120,64
2
20)9,328,34()5,330,35(
2
20)4,342,35()5,330,35(
2
)4,342,35(78,17
m
S A
=\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+
+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×=
 
 
 
Perfil D: [ ]
[ ] 28000,24
2
)8,353,36()0,362,37(20
2
)8,353,36()6,358,35(20
2
)6,358,35(00,8
m
SC
=\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×+
+\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212+\u2212×+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×=
 
 
 [ ] 28000,17
2
20)9,332,35()1,354,35(
2
)1,354,35(00,12 mS A =\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 ×\u2212+\u2212+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212×= 
 
 
3) Cálculo do volume de corte e aterro 
 
Aplicando-se a fórmula para o cálculo das áreas extremas, como no caso anterior temos: 
[ ] 33800,865)1110,110760,11(2)8000,243640,17(
2
20 mV CorteTotal =\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 +++×= 
[ ] 34000,4225)1120,640770,94(2)8000,173620,88(
2
20 mV AterroTotal =\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 +++×= 
 
30200,33603800,8654000,4225 mVV CorteAterro =\u2212=\u2212 
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1.3 Exercícios Aplicativos 
 
1) Calcular a cota final para um plano horizontal de um terreno a ser terraplenado, com os 
dados a seguir apresentados de maneira que sobrem 130m3 de terra que serão utilizados 
em outro aterro. A eqüidistância entre os pontos nivelados é de 10 em 10 metros. 
 
A
B
C
D
1 2 3 4 5
64,3 62,9 62,7 63,8 65,0
66,3 65,8 65,3 64,4 64,9
66,9 66,3 65,7 66,1 66,7
70,0 69,7 67,6 67,0 68,3 
 
2) Um terreno de 60 x 40 metros foi quadriculado de 20 em 20 metros e nivelado 
geometricamente, obtendo-se as seguintes cotas: 
 1 2 3 4 
A 13,9 14,8 15,7 16,5 
B 14,7 15,5 16,4 17,3 
C 15,4 16,3 17,4 18,2 
a) Calcular a cota final do plano horizontal que resulte em volumes de corte e aterro 
iguais; 
b) Desenhar a planta e traçar a curva de passagem entre a área de corte e a de aterro; 
c) Calcular o volume total de aterro; 
d) Calcular o volume total de corte; 
e) Qual será a cota final do plano horizontal que fará sobrar 570m3 de terra. 
 
3) Em uma área retangular de 60 x 80 metros, em que se deseja efetuar uma terraplenagem, 
pretende-se que o plano final seja inclinado de \u20133% na direção