Topografi Aplicada_2012
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Topografi Aplicada_2012


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final, procura-se utilizar a média da série de cálculos 
que apresentarem a menor distorção, sempre dentro do erro máximo permitido para o 
levantamento. 
 
 Do triângulo PAB (Fig.11), pela lei dos senos podemos determinar l1 e l4: 
 
\u3b3\u3b5 sensen
1ll = \u3b5
\u3b3
sen
sen.
1
ll = 
 
)sen(sen
4
\u3b2\u3b1\u3b5 +=
ll \u3b5
\u3b2\u3b1
sen
)sen(.
4
+= ll 
 
 )(º180 \u3b3\u3b2\u3b1\u3b5 ++\u2212= 
 
 Do triângulo QAB (Fig.11), pela lei dos senos podemos determinar l2 e l5: 
 
 
)sen(sen
2
\u3b4\u3b3\u3d5 +=
ll \u3d5
\u3b4\u3b3
sen
)sen(.
2
+= ll 
\u3b2\u3d5 sensen
5ll = \u3d5
\u3b2
sen
sen.
5
ll = 
 
 )(º180 \u3b4\u3b3\u3b2\u3d5 ++\u2212= 
 
 Do triângulo APQ (Fig.11), pela lei dos cosenos, podemos determinar a distância PQ 
(l3) 
 \u3b1cos...2 2122213 lllll \u2212+= 
 
 Do triângulo BPQ (Fig.11), pela lei dos cosenos, podemos determinar a distância PQ 
(l3) 
 \u3b4cos...2 5425243 lllll \u2212+= 
 
 Utilizando-se a lei das tangentes na figura 11, podemos expressá-la, em relação ao 
triângulo PQA, como: 
 \u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
+
\u2212=\u2212
2
cot.
2
)(
12
12 \u3b1g
ll
llarctgYX 
 
2
180
2
)( \u3b1\u2212°=+YX 
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Das duas expressões podemos tirar: 
2
)(
2
)( YXYXX \u2212++= 
2
)(
2
)( YXYXY \u2212\u2212+= 
 
Do triângulo PAQ (Fig.11), pela lei dos senos, podemos determinar a distância PQ (l3). 
 
 
X
l
l
sen
sen.2
3
\u3b1= ou 
Y
l
l
sen
sen.1
3
\u3b1= 
 
ou pelo triângulo PBQ 
 
 
)sen(
sen.4
3 \u3d5
\u3b4
+= Y
l
l ou 
)sen(
sen.5
3 \u3b5
\u3b4
\u2212= X
l
l 
 
Desta maneira consegue-se determinar a distância PQ (l3) por seis caminhos 
diferentes. Comparando-se os resultados, pode-se determinar o valor mais provável através da 
média aritmética entre os valores mais próximos. Deve-se determinar o erro médio quadrático 
da média. 
 
 
3.3 Exercícios Aplicativos: 
 
 1) Deseja-se determinar o comprimento do eixo PQ de uma ponte tendo sido medidos, 
a partir de uma base AB, os ângulos \u3b1, \u3b2, \u3b3 e \u3b4 pelo processo da reiteração, conforme esquema 
da figura 11. 
 mAB 19,59"7,46'34º15"00'58º39"7,26'48º123"40'30º15 ===== \u3b4\u3b3\u3b2\u3b1 
 
 2) Deseja-se determinar a distância entre duas torres de transmissão elétrica (PQ), a 
partir de uma base AB, medidos os ângulos \u3b1, \u3b2, \u3b3 e \u3b4 pelo processo da reiteração conforme 
esquema da figura 11. 
 mAB 26,52"3,38'46º16"50'19º31"6,06'21º131"7,46'47º16 ===== \u3b4\u3b3\u3b2\u3b1 
 
 
3.4 Determinação de Distâncias Verticais 
 
 O processo da determinação da altitude ou distância vertical de um ponto inacessível 
pelo método da triangulação pode ser aplicado com grande precisão desde que os ângulos 
medidos em campo sejam efetuados pelo método da reiteração e com todo o cuidado que deve 
ser dispensado nas medidas angulares. 
 
 O método baseia-se na resolução de triângulos retângulos do qual se conhece um dos 
lados (base) e calcula-se os demais a partir da medida do ângulo vertical entre a estação e o 
ponto visado. 
 
 Para maior precisão dos cálculos deve-se levar em consideração a curvatura da terra e 
efetuar a devida correção. 
 
 Seja \u201cP\u201d (Fig. 11a) um ponto que se quer determinar a altitude, com o auxilio de uma 
base AB de comprimento medido l. Com o teodolito montado nas estações A e B, mede-se os 
ângulos horizontais \u201c\u3b1\u201d e \u201c\u3b2\u201d e os ângulos verticais \u201cV1\u201d e \u201cV2\u201d. 
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 As distâncias horizontais DH1 e DH2 são obtidas através das relações de 
proporcionalidade. 
)sen(
sen
1 \u3b2\u3b1
\u3b2
+
×= lDH 
)sen(
sen
2 \u3b2\u3b1
\u3b1
+
×= lDH 
 
 
 As diferenças de nível DN1 e DN2, em relação as estações e o ponto visado, são 
obtidas a partir de: 
 
1111 cot gVDHhDN ×±= 2222 cot gVDHhDN ×±= 
 
onde h1 e h2 representam, respectivamente a altura do instrumento em cada estação. 
 
 Quando os pontos encontram-se a distâncias maiores que 200m, deve-se efetuar o 
cálculo da correção da curvatura terrestre (Ccr) aplicando-se a fórmula abaixo. 
 
)(068,0 2 kmDHCcr ×= 
 
o valor da DH deve ser em quilômetros. 
 
 
 
Figura 11a \u2013 Planta e perfil do nivelamento trigonométrico para determinação 
 da altitude de um ponto inacessível 
 
 
 
 
 
 
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3.5 Exercício Elucidativo 
 
 Seja determinar a altitude de um ponto \u201cP\u201d a partir de duas estações A e B, nas quais foram 
obtidas as seguintes medidas. 
 
ESTAÇÃO PONTO VISADO ÂNGULO HORIZ. ÂNGULO VERT. hP 
A B 0°00\u201900\u201d 91°31\u201900\u201d 0,00 
 P 88°52\u201930\u201d 82°42\u201900\u201d 0,00 
 
B P 0°00\u201900\u201d 82°42\u201900\u201d 0,00 
 A 86°17\u201900\u201d 91°04\u201930\u201d 0,00 
hiA=1,45m hiB=1,45m DHAB=61,85m CotaA=15,00m 
 
1.Cálculo da DN entre os extremos da base 
 
mDN
gDN
hgVDHhDN
AB
AB
pBABABAiAB
1876,0
00,0"00'3191cot85,6145,1
cot
\u2212=
\u2212°×\u2212=
\u2212×±=
 
 
 
mDN
gDN
hgVDHhDN
AB
BA
pABAABBiBA
2894,0
00,0"30'0491cot85,6145,1
cot
+=
\u2212°×\u2212=
\u2212×±=
 
 
 
mDN
DNDNDN
AB
BAAB
AB
2385,0'
2
'
\u2212=
\u2212=
 
 
2. Cálculo da DH entre os extremos da base e o ponto \u201cP\u201d 
 
mDH
sen
senDH
sen
senDHDH
AP
AP
AB
AP
2570,731
)"00'1786"30'5288(
"00'178685,61
)(
=
°+°
°×=
+
×= \u3b2\u3b1
\u3b2
 
 
 
 
mDH
sen
senDH
sen
senDHDH
AP
AP
AB
BP
6570,732
)"00'1786"30'5288(
"30'528885,61
)(
=
°+°
°×=
+
×= \u3b2\u3b1
\u3b1
 
 
 
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3. Cálculo da DN entre a base e o ponto \u201cP\u201d 
 
mDN
gDN
hgVDHhDN
AP
AP
pPAPAPiAAP
1262,95
00,0"00'4282cot2570,73145,1
cot
=
\u2212°×+=
\u2212×+=
 
 
mDN
gDN
hgVDHhDN
AP
AP
pPBPBPiBBP
3055,95
00,0"00'4282cot6570,73245,1
cot
=
\u2212°×+=
\u2212×+=
 
 
4. Correções 
 
0592,0
0592,01262,953055,952385,0
0'
\u2212=
=\u2212+\u2212
=++
\u3b5
PABPAB DNDNDN
 
 
Curvatura: 
 
mC
C
kmDHC
crAP
crAP
cr
036362,0
)731257,0(068,0
)(068,0
2
2
=
×=
×=
 
 
 
mC
C
kmDHC
crAP
crBP
cr
036089,0
)728511,0(068,0
)(068,0
2
2
=
×=
×=
 
 
Diferença de nível corrigida da curvatura: 
 
mDN
DN
CDNDN
AP
AP
crAPAPAP
08984,95'
036362,01262,95'
'
=
\u2212=
\u2212=
 
 
 
mDN
DN
CDNDN
BP
BP
crBPBPBP
26944,95'
036089,03055,95'
'
=
\u2212=
\u2212=
 
 
5. Erro permitido: 
 
m
kmPerímetro
07401,0
728511,0731257,006185,006,0
)(06,0
=
++=
=
\u3b5
\u3b5
\u3b5
 
 
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