Topografi Aplicada_2012
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Topografi Aplicada_2012

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e "II" engastados no
terreno e de marcas "RN" de referência, também engastadas no terreno mas distanciadas da
barragem conforme figura 40.

M

I
II

RN
RN

α
β

dα dβ
M'

Fig.40 - Triangulação em relação a uma marca da barragem

Supondo-se que o terreno onde se encontram os pilares (I e II) e as referências de nível

(RN) não sofram qualquer deslocamento ou deformação por ação da pressão exercida pela

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água da barragem ou mesmo pela construção desta, o problema consiste em se determinar o
deslocamento horizontal MM' da barragem em relação aos pilares considerados fixos. Para
isso, basta montar um teodolito de precisão em cada um dos pilares e medir os ângulos que,
em duas épocas diferentes entre as quais se deseja medir o deslocamento, a direção entre o
pilar e o RN faz com a direção entre o pilar e a marca da barragem. A diferença entre estas
duas medidas, feitas em épocas diferentes, permite determinar a nova posição M' da marca,
relativa à antiga posição M.

1.3 Cálculo do Método da Variação das Coordenadas
 Este método determina o deslocamento de pontos por processo analítico em função da
variação de αd , o qual representa a diferença angular entre duas medidas efetuadas em
épocas diferentes.
 Considerando-se a figura 41, temos:

α dα

N

E

I

M

M'

EM

NM

EI

NI

(EM-EI)

(N
M

-N
I)

lα

Fig.41

 Partindo-se da fórmula do sistema cartesiano, temos:

IM

IM

NN
EE

tg −
−=α

logo, podemos dizer que:

IM

IM

NN
EE

arctg −
−=α

derivando-se a equação, temos:

IM

IM

NN
EE

darctgd −
−=α (1)

sabendo-se que a derivada do arco tangente de um ângulo é:

 21 V
dVdarctgV +=

e considerando-se para o caso que "V" é igual a:

IM

IM

NN
EE

V −
−=

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derivando a equação (1) teremos:

2

2

2

)(
)(

1

)(
))(())((

IM

IM

IM

IMIMIMIM

NN
EE

NN
dNdNEEdEdENN

d

−
−+

−
−−−−−

=α

pela figura 41, podemos deduzir que:
 αα sen.)( lEE IM =−
e
 αα cos.)( lNN IM =−
substituindo, temos:

2

2

2

)(
)sen.(

1

)(
)(sen.)(cos.

IM

IM

IMIM

NN
l

NN
dNdNldEdEl

d

−+
−

−−−
= α

αα
α

α

αα

onde:

2

22

2

)(
)sen.()cos.(

)(
)(sen.)(cos.

IM

IM

IMIM

NN
ll

NN
dNdNldEdEl

d

−
+
−

−−−
= αα

αα
α

αα

αα

simplificando-se os denominadores e colocando-se αl em evidência, temos:

)sen(cos

)(sen.)(cos.
222 αα
ααα

α
αα
+

−−−=
l

dNdNldEdEld IMIM

simplificando-se, temos:

α

ααα
l

dNdNdEdEd IMIM )(sen)(cos −−−=
a equação acima nos fornece αd em radianos; para transformá-la em segundos, devemos
multiplicar a equação por 206265. Logo:

 206265)(sen)(cos" ×−−−=
α

ααα
l

dNdNdEdEd IMIM (2)

 Se efetuarmos o mesmo cálculo para a estação II da figura 40 teremos:

 206265)(sen)(cos" ×−−−=
β

βββ
l

dNdNdEdEd IMIM (3)

Da equação (2) e (3)
 MdE e MdN representam a variação das coordenadas da barragem
 IdE e IdN representam a variação das coordenadas da estação

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Se considerarmos que as estações, a partir das quais são efetuadas as medidas
angulares, não sofrem perturbações ou deslocamento, pode-se escrever as equações αd e βd
da seguinte forma:

206265sencos" ×−=
α

ααα
l

dNdEd MM

 206265sencos" ×−=
β

βββ
l

dNdEd MM

Isolando-se uma das incógnitas nas duas equações, temos:

 MM dNdE
ld ααα α sencos

206265
" −=×

logo:

 α
αα α

cos

sen
206265

".
M

M

dN
ld

dE
+

= (4)
e

 MM dNdE
ld βββ β sencos

206265
" −=×

logo:

 β
ββ β

cos

sen
206265

".
M

M

dN
ld

dE
+

= (5)
Igualando-se as equações (4) e (5) teremos:

 β
ββ

α
αα βα

cos

sen
206265

"

cos

sen
206265

".
MM dN

ld
dN

ld +
=

+

multiplicando-se os denominadores pelos numeradores temos:

 αβαββαβα βα cos.sen.)cos
206265

"
(cos.sen)cos

206265
".

( MM dN
ld

dN
ld +×=+×

isolando-se MdN temos:

 )cos
206265

".
()cos

206265
".

(cos.sen.cos.sen. βααβαββα αβ ×−×=− ldlddNdN MM
ou

 )cos
206265

".
()cos

206265
".

()cos.sencos.sen(. βααβαββα αβ ×−×=− ldlddN M
onde

 αββα
βααβ αβ

cossencossen

)cos
206265

".
()cos

206265
".

(

−
×−×

=
ldld

dN M

ou

)sen(

)cos
206265

".
()cos

206265
".

(

βα
βααβ αβ

−
×−×

=
ldld

dN M

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 Obtendo-se o valor de MdN , podemos calcular o valor de MdE a partir das equações
(4) e (5).
 Aconselha-se o emprego de quatro grupos de quatro séries de medidas por época em
condições diferentes de temperatura e de pressão.
1.4 Exercício Aplicativo
 Deseja-se calcular o deslocamento sofrido por uma barragem da qual se obteve os
dados da tabela abaixo em duas épocas diferentes. Desenhar o deslocamento em perfil e plana
na escala horizontal de 1:1.000 e na vertical de 1:100.

PRIMEIRA TOMADA DE DADOS PARA O CÁLCULO DE DESLOCAMENTO DA

BARRAGEM
Est. PV Azimute Distância N E

I 5,000 115,000
 1 304°12’54,8” 90,690 55,995 40,006
 2 336°40’50,3” 63,159 63,000 89,998
 3 21°57’39,2” 66,850 66,999 140,000
 4 50°52’38,6” 96,675 66,000 190,000
 5 65°29’13,3” 137,383 62,000 240,000
 6 73°02’28,8” 172,407 55,288 279,910
 7 336°40’50,3” 63,159 63,000 89,998
 8 21°57’39,2” 66,850 66,999 140,000
 9 50°52’38,6” 96,675 66,000 190,000
 10 65°29’13,3” 137,383 62,000 240,000
 11 21°57’39,2” 66,850 66,999 140,000
 12 50°52’38,6” 96,675 66,000 190,000
 II 84°24’02,4” 102,489 15,000 217,000

II
 1 283°02’26,8” 181,489 55,995 40,006
 2 290°42’14,1” 135,770 63,000 89,998
 3 304°01’53,8” 92,913 66,999 140,000
 4 332°06’09,8” 57,706 66,000 190,000
 5 26°04’31,3” 52,326 62,000 240,000
 6 57°21’51,2” 74,705 55,288 279,910
 7 290°42’14,1” 135,770 63,000 89,998
 8 304°01’43,8” 92,913 66,999 140,000
 9 332°06’09,8” 57,706 66,000 190,000
 10 26°04’31,3” 52,326 62,000 240,000
 11 304°01’53,8” 92,913 66,999 140,000
 12 332°06’09,8” 57,706 66,000 190,000

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