Topografi Aplicada_2012
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Topografi Aplicada_2012

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]
[ ] 29240,89

2
20)8,303,34()3,323,34(

2
20)5,333,34()3,323,34(

2
)5,333,34(31,12

m

S A

=⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+

+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

Perfil B (Fig. 62):

Fig. 62

 [ ] 27690,29
2

)3,349,34()3,344,36(20
2

)3,349,34(23,9 mSC =⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

[ ]
[ ] 27700,72

2
20)3,323,34()1,323,34(

2
20)6,333,34()3,323,34(

2
)6,333,34(77,10

m

S A

=⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+

+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

Perfil C (Fig. 63):

Fig. 63

[ ]
[ ] 21110,48

2
)3,345,35()3,346,36(20

2
)3,344,34()3,345,35(20

2
)3,344,34(22,2

m

SC

=⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×+

+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

 [ ] 21120,29
2

20)5,333,34()9,323,34(
2

)5,333,34(78,17 mS A =⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

Topografia Aplicada à Engenharia Civil 2012 / 13ª Edição Iran Carlos Stalliviere Corrêa
Departamento de Geodésia – IG/UFRGS Porto Alegre/RS

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Perfil D (Fig.64):

Fig. 64

 [ ]
[ ]
[ ] 23320,112

2
)3,343,36()3,342,37(20

2
)3,348,35()3,343,36(20

2
)3,341,35()3,348,35(20

2
)3,341,35(33,13

m

SC

=⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×+

⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×+

+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

 23340,1
2

)9,333,34(67,6 mS A =⎥⎦
⎤⎢⎣

⎡ −×=
4) Cálculo do volume de corte e aterro

Aplicando-se a fórmula para o cálculo das áreas extremas, isto é, o volume entre as seções
“A e B”, “B e C” e entre “C e D” a qual é obtida a partir da equação proposta por Bezout.

[ ] 31450,2950)1110,487690,29(2)3320,1129225,26(
2
20 mV CorteTotal =⎭⎬

⎫
⎩⎨
⎧ +++×=

[ ] 32200,2950)1120,297700,72(2)3340,19240,89(
2
20 mV AterroTotal =⎭⎬

⎫
⎩⎨
⎧ +++×=

 A pequena diferença entre os dois cálculos é devida ao arredondamento na
interpolação das distâncias referentes à curva de passagem. Esta pequena diferença é aceita
para os cálculos.
b) Exemplo da 2ª situação: O projeto de terraplenagem solicita um plano horizontal com cota
final igual a 34,00m.
 Caberá ao topógrafo determinar a cota de cada vértice do terreno tendo por base a cota
final preestabelecida pelo projeto, as áreas de corte e aterro de cada seção e os volumes de
corte e aterro finais que, naturalmente, não serão iguais.
 Cota Final imposta para o terreno após a terraplenagem será de 34,00m, considerando-
se ainda a figura 60.

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1) Cálculo de “x” correspondente a distância entre o vértice da quadrícula e a curva de
passagem de 34,00m preestabelecida.

mx 69,7
)5,338,34(
20)5,330,34(

1 =−
×−=

onde DN=Diferença de Nível e Dh=Distância horizontal, seguindo-se o mesmo raciocínio
temos:

mx 15,6
)6,339,34(
20)6,330,34(

2 =−
×−=

mx 11,11
)5,334,34(
20)5,330,34(

3 =−
×−=

mx 67,1
)9,331,35(
20)9,330,34(

4 =−
×−=

2) Cálculo das áreas das seções

Utilizando-se as fórmulas matemáticas para cálculo de área de trapézios e triângulos
temos:

Perfil A:

 [ ] 29240,35
2

)0,348,34(31,12
2

)0,348,34()0,343,36(20 mSC =⎥⎦
⎤⎢⎣

⎡ −×+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×=

[ ]
[ ] 29225,72

2
20)8,300,34()3,320,34(

2
20)5,330,34()3,320,34(

2
)5,330,34(69,7

m

S A

=⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+

+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

Perfil B:

 [ ] 22325,39
2

)0,349,34()0,344,36(20
2

)0,349,34(85,13 mSC =⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

[ ]
[ ] 2200,58

2
20)3,320,34()1,320,34(

2
20)6,330,34()3,320,34(

2
)6,330,34(15,16

m

S A

=⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+

+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

Perfil C:

[ ]
[ ] 27780,61

2
)0,345,35()0,346,36(20

2
)0,344,34()0,345,35(20

2
)0,344,34(89,8

m

SC

=⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×+

+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

 [ ] 27775,18
2

20)5,330,34()9,320,34(
2

)5,330,34(11,11 mS A =⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

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Perfil D: [ ]

[ ]
[ ] 20815,135

2
)0,343,36()0,342,37(20

2
)0,348,35()0,343,36(20

2
)0,341,35()0,348,35(20

2
)0,341,35(33,18

m

SC

=⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×+

+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×+

+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

 20835,0
2

)9,330,34(67,1 mS A =⎥⎦
⎤⎢⎣

⎡ −×=
3) Cálculo do volume de corte e aterro

Aplicando-se a fórmula para o cálculo das áreas extremas, como no caso anterior temos:

[ ] 32650,3730)7780,612325,39(2)0815,1359240,35(
2
20 mV CorteTotal =⎭⎬

⎫
⎩⎨
⎧ +++×=

[ ] 32100,2290)7775,182300,58(2)0835,09225,74(
2
20 mV AterroTotal =⎭⎬

⎫
⎩⎨
⎧ +++×=

30550,1440 mVV AterroTotalCorteTotalde =−

c) Exemplo da 3ª situação: O projeto de terraplenagem solicita um plano inclinado na
direção da estaca 1 para a estaca 5, com rampa de -1%, porém não é imposta uma altura
determinada para este plano.
 A topografia colocará este plano numa altura tal que os volumes finais de corte e
aterro sejam iguais. A maneira de conseguir tal objetivo é manter a altura do plano inclinado
no centro de gravidade da área àquele do plano horizontal cuja curva de passagem era de
34,30m. O centro de gravidade (CG) está localizado na linha 3 entre os pontos B e C (Fig.
65).
1) Cálculo do Centro de Gravidade

A

B

C

D
1 2 3 4 5

C
ot

a
34

,7
0

C
ot

a
34

,5
0

C
ot

a
34

,3
0

C
ot

a
34

,1
0

C
ot

a
33

,9
0

-1%

CG

Fig. 65

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 Sabendo-se que no Centro de Gravidade (CG) a cota do mesmo é de 34,30,
estabelecida no projeto e que o plano de declividade é de –1% , do perfil 1 em direção ao
perfil 5, determina-se as cotas dos demais perfis por uma simples regra de três.
Cotas dos Perfis::

 mDN 20,0
100

120 =×=

mCota
mCota
mCota
mCota

Perfil

Perfil

Perfil

Perfil

90,3320,010,34

10,3420,030,34

70,3420,050,34

50,3420,030,34

5

4

1

2

=−=
=−=
=+=
=+=

2) Cálculo de “x” correspondente à distância entre o vértice da quadrícula e a curva de

passagem da cota correspondente a cada perfil (Figs 60 e 65).

mx 45,5
)5,336,34(
20)5,348,34(

1 =−
×−=

Não devemos esquecer de considerar a declividade do plano para o cálculo de “x”. A

cota de 34,6 corresponde ao ponte de cota 34,8 menos 1% da declividade do plano.

mx 27,7
)6,337,34(
20)5,349,34(

2 =−
×−=

mx 86,2
)5,332,34(
20)3,344,34(

3 =−
×−=

3) Cálculo das áreas das seções

Utilizando-se as fórmulas matemáticas para cálculo de área