Topografi Aplicada_2012
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Topografi Aplicada_2012

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de trapézios e triângulos
temos:

Perfil A:

 [ ] 28175,19
2

)5,348,34(45,5
2

)5,348,34()7,343,36(20 mSC =⎥⎦
⎤⎢⎣

⎡ −×+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×=

[ ]
[ ] 28200,82

2
20)8,309,33()3,321,34(

2
20)5,333,34()3,321,34(

2
)5,333,34(55,14

m

S A

=⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+

+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

Perfil B:

 [ ] 24540,22
2

)5,349,34()7,344,36(20
2

)5,349,34(27,7 mSC =⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

Topografia Aplicada à Engenharia Civil 2012 / 13ª Edição Iran Carlos Stalliviere Corrêa
Departamento de Geodésia – IG/UFRGS Porto Alegre/RS

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[ ]
[ ] 24550,65

2
20)3,321,34()1,329,33(

2
20)6,333,34()3,321,34(

2
)6,333,34(73,12

m

S A

=⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+

+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

Perfil C:

[ ]
[ ] 21430,40

2
)5,345,35()7,346,36(20

2
)3,344,34()5,345,35(20

2
)3,344,34(86,2

m

SC

=⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×+

+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

 [ ] 21420,21
2

20)5,331,34()9,329,33(
2

)5,331,34(14,17 mS A =⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

Perfil D: [ ]

[ ]
[ ] 20000,111

2
)50,343,36()7,342,37(20

2
)3,348,35()5,343,36(20

2
)1,341,35()3,348,35(20

2
)1,341,35(20

m

SC

=⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×+

+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×+

+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

 20mS A =
4) Cálculo do volume de corte e aterro

Aplicando-se a fórmula para o cálculo das áreas extremas, como no caso anterior temos:

[ ] 31150,2560)1430,404540,22(2)0000,1118175,19(
2
20 mV CorteTotal =⎭⎬

⎫
⎩⎨
⎧ +++×=

[ ] 31400,2560)1420,214550,65(2)08200,82(
2
20 mV AterroTotal =⎭⎬

⎫
⎩⎨
⎧ +++×=

 Como se esperava, foi obtido volumes iguais de corte e aterro.
d) Exemplo da 4ª situação: O projeto de terraplenagem solicita um plano inclinado na
direção da estaca 1 para a estaca 5, com rampa de -1%, e da estaca A para B com uma
rampa de +2% e estabelece como cota de 34,00m para a estaca A-5.
1) Cálculo do Centro de Gravidade

Para o cálculo do centro de Gravidade determina-se todos as cotas dos pontos da
quadrículas em relação as rampas preestabelecidas.
 As novas cotas dos vértices variarão de +0,20m da Estaca 5 para a Estaca A e de +0,40
da estaca 5 para a Estaca D a partir da cota estabelecida para a Estaca A-5 (Fig.66).

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A

B

C

D

1 2 3 4 5

-1%

+2
%

35,2#33,935,4#35,135,6#35,835,8#36,336,0#37,2

34,8#32,935,0#33,535,2#34,435,4#35,535,6#36,6

34,4#32,134,6#32,334,8#33,635,0#34,935,2#36,4

34,0#30,834,2#32,234,4#33,534,6#34,834,8#36,3

Fig. 66

 As valores que se encontram em itálico (Fig.66) correspondem às cotas do
levantamento do terreno; os que se encontram à esquerda destes são as cotas calculadas em
relação às rampas preestabelecidas pelo projeto.
 Com os dados das novas cotas do projeto, podemos determinar a Curva de Passagem
da mesma maneira que foi calculada no exemplo da 1ª situação.
 Desta maneira temos que a Curva de Passagem é igual a 35,0m.
2) Cálculo de “x” correspondente a distância entre o vértice da quadrícula e a curva de

passagem da cota correspondente a cada perfil.

mxmx 36,1664,3
)5,336,34(
20)6,348,34( '

11 ==−
×−=

Não devemos esquecer de considerar a declividade do plano para o cálculo de “x”. A

cota de 34,6 corresponde ao ponte de cota 34,8 menos 1% da declividade do plano.

mxmx 46,1854,1
)1,354,36(
20)9,340,35( '

22 ==−
×−=

mxmx 78,1722,2
)4,343,35(
20)4,355,35( '

33 ==−
×−=

mxmx 00,1200,8
)1,356,35(
20)6,358,35( '

44 ==−
×−=

Cálculo das áreas das seções

Utilizando-se as fórmulas matemáticas para cálculo de área de trapézios e triângulos
temos:

Perfil A:

 [ ] 23640,17
2

)6,348,34(64,3
2

)6,348,34()8,343,36(20 mSC =⎥⎦
⎤⎢⎣

⎡ −×+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×=

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[ ]
[ ] 23620,88

2
20)8,300,34()2,322,34(

2
20)5,334,34()2,322,34(

2
)5,334,34(36,16

m

S A

=⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+

+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

Perfil B:

 20760,11
2

)2,354,36(46,18 mSC =⎥⎦
⎤⎢⎣

⎡ −×=

[ ]
[ ]
[ ] 20770,94

2
20)1,324,34()3,326,34(

2
20)3,326,34()6,338,34(

2
20)6,338,34()9,340,35(

2
)9,340,35(54,1

m

S A

=⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+

+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+

+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

Perfil C:

 [ ] 21110,11
2

)6,356,36()4,355,35(20
2

)4,355,35(22,2 mSC =⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

[ ]
[ ] 21120,64

2
20)9,328,34()5,330,35(

2
20)4,342,35()5,330,35(

2
)4,342,35(78,17

m

S A

=⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+

+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

Perfil D: [ ]

[ ] 28000,24
2

)8,353,36()0,362,37(20
2

)8,353,36()6,358,35(20
2

)6,358,35(00,8

m

SC

=⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×+

+⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ −+−×+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

 [ ] 28000,17
2

20)9,332,35()1,354,35(
2

)1,354,35(00,12 mS A =⎭⎬
⎫

⎩⎨
⎧ ×−+−+⎥⎦

⎤⎢⎣
⎡ −×=

3) Cálculo do volume de corte e aterro

Aplicando-se a fórmula para o cálculo das áreas extremas, como no caso anterior temos:

[ ] 33800,865)1110,110760,11(2)8000,243640,17(
2
20 mV CorteTotal =⎭⎬

⎫
⎩⎨
⎧ +++×=

[ ] 34000,4225)1120,640770,94(2)8000,173620,88(
2
20 mV AterroTotal =⎭⎬

⎫
⎩⎨
⎧ +++×=

30200,33603800,8654000,4225 mVV CorteAterro =−=−

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1.3 Exercícios Aplicativos
1) Calcular a cota final para um plano horizontal de um terreno a ser terraplenado, com os

dados a seguir apresentados de maneira que sobrem 130m3 de terra que serão utilizados
em outro aterro. A eqüidistância entre os pontos nivelados é de 10 em 10 metros.

A

B

C

D

1 2 3 4 5
64,3 62,9 62,7 63,8 65,0

66,3 65,8 65,3 64,4 64,9

66,9 66,3 65,7 66,1 66,7

70,0 69,7 67,6 67,0 68,3
2) Um terreno de 60 x 40 metros foi quadriculado de 20 em 20 metros e nivelado

geometricamente, obtendo-se as seguintes cotas:
 1 2 3 4

A 13,9 14,8 15,7 16,5
B 14,7 15,5 16,4 17,3
C 15,4 16,3 17,4 18,2

a) Calcular a cota final do plano horizontal que resulte em volumes de corte e aterro
iguais;

b) Desenhar a planta e traçar a curva de passagem entre a área de corte e a de aterro;
c) Calcular o volume total de aterro;
d) Calcular o volume total de corte;
e) Qual será a cota final do plano horizontal que fará sobrar 570m3 de terra.

3) Em uma área retangular de 60 x 80 metros, em que se deseja efetuar uma terraplenagem,

pretende-se que o plano final seja inclinado de –3% na direção