Topografi Aplicada_2012
140 pág.

Topografi Aplicada_2012

Disciplina:Topografia7.286 materiais168.981 seguidores
Pré-visualização32 páginas
à Engenharia Civil 2012 / 13ª Edição Iran Carlos Stalliviere Corrêa
Departamento de Geodésia – IG/UFRGS Porto Alegre/RS

 31

 Pede-se: 1. Qual é a melhor série de medidas?

2. Qual é o valor angular mais provável em relação às quatro séries de
medidas?

1ª Série de Medidas:
 Valor Angular Médio (xI) n

lxI
Σ= = 20º21’10”

Resíduos +ν - ν ν ν
1 00 00
2 10 100
3 10 100
4 00 00
Σ= 10 10 200

Erro médio aritmético: 5
4
20

0 ==Σ= n
vε

Erro médio quadrático de uma observação: 16,8
3

200
)1(1

±=±=−
Σ±=
n

vvε

Erro médio quadrático da média aritmética: 08,4
12
200

)1(
±=±=−

Σ±=
nn

vv
mε

2ª Série de Medidas:
 Valor Angular Médio (xII) n

lxII
Σ= = 20º21’20”

Resíduos +ν - ν ν ν
1 20 400
2 10 100
3 00 00
4 10 100
Σ = 20 20 600

Erro médio aritmético: 10
4
40

0 ==Σ= n
vε

Erro médio quadrático de uma observação: 14,14
3

600
)1(1

±=±=−
Σ±=
n

vvε

Erro médio quadrático da média aritmética: 07,7
12
600

)1(
±=±=−

Σ±=
nn

vv
mε

3ª Série de Medidas:
 Valor Angular Médio (xIII) n

lxIII
Σ= = 20º21’35”

Topografia Aplicada à Engenharia Civil 2012 / 13ª Edição Iran Carlos Stalliviere Corrêa
Departamento de Geodésia – IG/UFRGS Porto Alegre/RS

 32

Resíduos +ν - ν ν ν
1 15 225
2 05 25
3 15 225
4 05 25
Σ = 20 20 500

Erro médio aritmético: 10
4
40

0 ==
Σ=
n
vε

Erro médio quadrático de uma observação: 91,12
3

500
)1(1

±=±=−
Σ±=
n

vvε

Erro médio quadrático da média aritmética: 45,6
12
500

)1(
±=±=−

Σ±=
nn

vv
mε

4ª Série de Medidas:

 Valor Angular Médio (xIV) n
lxIV

Σ= = 20º21’15”
Resíduos +ν - ν ν ν

1 15 225
2 15 225
3 05 25
4 05 25
Σ = 20 20 500

Erro médio aritmético: 10
4
40

0 ==
Σ=
n
vε

Erro médio quadrático de uma observação: 91,12
3

500
)1(1

±=±=−
Σ±=
n

vvε

Erro médio quadrático da média aritmética: 45,6
12
500

)1(
±=±=−

Σ±=
nn

vv
mε

 O valor da média aritmética por série de medida com seu respectivo erro médio é:

Valor mais provável por série
I 20º21’10” ±4,08
II 20º21’20” ±7,07
II 20º21’35” ±6,45
IV 20º21’15” ±6,45

 Valor mais provável em relação as quatro séries de medidas, ou seja, o cálculo da
Média Ponderada.

Topografia Aplicada à Engenharia Civil 2012 / 13ª Edição Iran Carlos Stalliviere Corrêa
Departamento de Geodésia – IG/UFRGS Porto Alegre/RS

 33

Cálculo do peso (p):

 2)(
1

im
ip ε=

 024037017,0024037017,0020006042,0060073049,0 ==== IVIIIIII pppp
Cálculo da média ponderada:

i

ii
P p

px
X Σ

×Σ= )(

"2,17'21º20

354774454,20
128153125,0

489253450,0489386989,0407234099,0222653417,1

=
=+++=

P

P

X

X

Cálculo do resíduo da média ponderada (v):
 iPi xXv −=

Resíduos ν νν
1 7,2 51,84
2 2,8 7,84
3 17,8 316,84
4 2,5 6,25

Cálculo do erro médio quadrático da média ponderada:

)1(
)(

−Σ
×Σ=
np

pvv

i

ii
mpε

.

35,5
384459375,0

150231356,0615888466,7156847369,0114186860,3
)1(
)( =+++=−Σ

×Σ=
np

pvv

i

ii
mpε

A melhor série de medidas é a I e o valor angular mais provável em relação as quatro
séries de medidas é de:

 "35,5"2,17'21º20 ±=PX

2.4 Exercícios Aplicativos
 1) Três equipes de topografia medem uma base AB e obtém os seguintes resultados:

Equipe I Equipe II Equipe III
704,27m 703,84m 704,18m
705,35m 703,97m 704,58m
704,64m 704,69m 704,39m
704,19m 704,30m 705,02m

 Pede-se qual é a melhor série de medidas e qual o valor médio mais provável das três
série de medidas?

Topografia Aplicada à Engenharia Civil 2012 / 13ª Edição Iran Carlos Stalliviere Corrêa
Departamento de Geodésia – IG/UFRGS Porto Alegre/RS

 34

2) Uma base RS de uma triangulação para a determinação de uma distância
inacessível, foi medida 8 vezes e foram obtidos os seguintes valores:

Leitura Medida (m)
1ª 110,60
2ª 110,67
3ª 110,60
4ª 110,56
5ª 110,67
6ª 110,68
7ª 110,63
8ª 110,71

 Pede-se: qual o valor mais provável, erro médio quadrático de uma observação e erro
médio quadrático da média aritmética.

3. MEDIDAS INDIRETAS DE DISTÂNCIAS
3.1 Introdução
 Quando alguma impossibilidade ou dificuldade na obtenção de uma distância por
medidas diretas se apresentar, poderemos obter esta distância por métodos indiretos através de
solução matemática com a utilização da trigonometria, onde os valores angulares e lineares
necessário para o cálculo são obtidos por equipamentos e métodos topográficos.
 Os teodolitos a serem empregados para a obtenção dos dados angulares deve permitir
leituras de grande precisão, se possível de 20" e interpolação de 10", ou precisão maior. Os
dados lineares necessários devem ser medidos com grande exatidão, para que os resultados
finais a serem obtidos possam satisfazer o grau de precisão exigido.
 Suponhamos que se deseja medir a distância entre o ponto "P" e o ponto "Q" (figura
11), os quais poderiam ser considerados como os extremos do eixo de uma ponte ou de um
túnel. Para resolvermos o problema, foram escolhidos outros dois pontos auxiliares, "A" e
"B", localizados em uma área de fácil acesso e com intervisibilidade entre si e entre os pontos
"P" e "Q". Para a obtenção da distância horizontal considerada (PQ), devem ser medidos em
campo os ângulos α, β, γ e δ e a distância horizontal "AB", que servirá de base.

A
B

P

Q

α
β

δ

ε

ϕ

X

Y

l1

l2

l3

l4 l5

l
γ

Figura 11 - Planta da poligonal de apoio para a determinação da distância "PQ" inacessível.

Topografia Aplicada à Engenharia Civil 2012 / 13ª Edição Iran Carlos Stalliviere Corrêa
Departamento de Geodésia – IG/UFRGS Porto Alegre/RS

 35

3.2 Determinação de Distâncias Horizontais
 Nos pontos auxiliares, A e B, será montado o teodolito para a medidas dos ângulos α,
β, γ e δ, utilizando-se, de preferência, o método das reiterações. Esta base AB deverá,
conforme as possibilidades, ter uma orientação o mais paralela possível com o alinhamento a
ser determinado. A distância AB deverá ser medida com uma trena com grande precisão e no
mínimo duas vezes ou através de um equipamento eletrônico de medida de distância.
 Para o cálculo da distância, poderemos utilizar a lei dos senos, dos cosenos e das
tangentes, de tal maneira que possamos obter a distância PQ por vários caminhos. Trata-se
apenas de uma verificação de cálculo, já que partimos dos mesmos dados iniciais e,
obviamente, os resultados devem ser iguais, salvo enganos de cálculo ou erros cometidos na
medida dos ângulos. Para o resultado