Topografi Aplicada_2012
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Topografi Aplicada_2012

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final, procura-se utilizar a média da série de cálculos
que apresentarem a menor distorção, sempre dentro do erro máximo permitido para o
levantamento.
 Do triângulo PAB (Fig.11), pela lei dos senos podemos determinar l1 e l4:

γε sensen
1ll = ε

γ
sen
sen.

1
ll =

)sen(sen

4

βαε +=
ll ε

βα
sen

)sen(.
4

+= ll
 )(º180 γβαε ++−=
 Do triângulo QAB (Fig.11), pela lei dos senos podemos determinar l2 e l5:

)sen(sen

2

δγϕ +=
ll ϕ

δγ
sen

)sen(.
2

+= ll

βϕ sensen
5ll = ϕ

β
sen
sen.

5
ll =

 )(º180 δγβϕ ++−=
 Do triângulo APQ (Fig.11), pela lei dos cosenos, podemos determinar a distância PQ
(l3)
 αcos...2 2122213 lllll −+=
 Do triângulo BPQ (Fig.11), pela lei dos cosenos, podemos determinar a distância PQ
(l3)
 δcos...2 5425243 lllll −+=
 Utilizando-se a lei das tangentes na figura 11, podemos expressá-la, em relação ao
triângulo PQA, como:

 ⎟⎟⎠
⎞

⎜⎜⎝
⎛

+
−=−

2
cot.

2
)(

12

12 αg
ll
llarctgYX

2
180

2
)( α−°=+YX

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Das duas expressões podemos tirar:

2
)(

2
)( YXYXX −++=

2
)(

2
)( YXYXY −−+=

Do triângulo PAQ (Fig.11), pela lei dos senos, podemos determinar a distância PQ (l3).

X

l
l

sen
sen.2

3
α= ou

Y
l

l
sen

sen.1
3

α=
ou pelo triângulo PBQ

)sen(

sen.4
3 ϕ

δ
+= Y

l
l ou

)sen(
sen.5

3 ε
δ
−= X

l
l

Desta maneira consegue-se determinar a distância PQ (l3) por seis caminhos

diferentes. Comparando-se os resultados, pode-se determinar o valor mais provável através da
média aritmética entre os valores mais próximos. Deve-se determinar o erro médio quadrático
da média.
3.3 Exercícios Aplicativos:
 1) Deseja-se determinar o comprimento do eixo PQ de uma ponte tendo sido medidos,
a partir de uma base AB, os ângulos α, β, γ e δ pelo processo da reiteração, conforme esquema
da figura 11.
 mAB 19,59"7,46'34º15"00'58º39"7,26'48º123"40'30º15 ===== δγβα
 2) Deseja-se determinar a distância entre duas torres de transmissão elétrica (PQ), a
partir de uma base AB, medidos os ângulos α, β, γ e δ pelo processo da reiteração conforme
esquema da figura 11.
 mAB 26,52"3,38'46º16"50'19º31"6,06'21º131"7,46'47º16 ===== δγβα

3.4 Determinação de Distâncias Verticais
 O processo da determinação da altitude ou distância vertical de um ponto inacessível
pelo método da triangulação pode ser aplicado com grande precisão desde que os ângulos
medidos em campo sejam efetuados pelo método da reiteração e com todo o cuidado que deve
ser dispensado nas medidas angulares.
 O método baseia-se na resolução de triângulos retângulos do qual se conhece um dos
lados (base) e calcula-se os demais a partir da medida do ângulo vertical entre a estação e o
ponto visado.
 Para maior precisão dos cálculos deve-se levar em consideração a curvatura da terra e
efetuar a devida correção.
 Seja “P” (Fig. 11a) um ponto que se quer determinar a altitude, com o auxilio de uma
base AB de comprimento medido l. Com o teodolito montado nas estações A e B, mede-se os
ângulos horizontais “α” e “β” e os ângulos verticais “V1” e “V2”.

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 As distâncias horizontais DH1 e DH2 são obtidas através das relações de
proporcionalidade.

)sen(
sen

1 βα
β

+
×= lDH

)sen(
sen

2 βα
α
+

×= lDH

 As diferenças de nível DN1 e DN2, em relação as estações e o ponto visado, são
obtidas a partir de:

1111 cot gVDHhDN ×±= 2222 cot gVDHhDN ×±=

onde h1 e h2 representam, respectivamente a altura do instrumento em cada estação.
 Quando os pontos encontram-se a distâncias maiores que 200m, deve-se efetuar o
cálculo da correção da curvatura terrestre (Ccr) aplicando-se a fórmula abaixo.

)(068,0 2 kmDHCcr ×=
o valor da DH deve ser em quilômetros.

Figura 11a – Planta e perfil do nivelamento trigonométrico para determinação
 da altitude de um ponto inacessível

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3.5 Exercício Elucidativo
 Seja determinar a altitude de um ponto “P” a partir de duas estações A e B, nas quais foram

obtidas as seguintes medidas.

ESTAÇÃO PONTO VISADO ÂNGULO HORIZ. ÂNGULO VERT. hP
A B 0°00’00” 91°31’00” 0,00
 P 88°52’30” 82°42’00” 0,00

B P 0°00’00” 82°42’00” 0,00
 A 86°17’00” 91°04’30” 0,00

hiA=1,45m hiB=1,45m DHAB=61,85m CotaA=15,00m
1.Cálculo da DN entre os extremos da base

mDN

gDN
hgVDHhDN

AB

AB

pBABABAiAB

1876,0
00,0"00'3191cot85,6145,1

cot

−=
−°×−=

−×±=

mDN

gDN
hgVDHhDN

AB

BA

pABAABBiBA

2894,0
00,0"30'0491cot85,6145,1

cot

+=
−°×−=

−×±=

mDN

DNDNDN

AB

BAAB
AB

2385,0'
2

'

−=

−=

2. Cálculo da DH entre os extremos da base e o ponto “P”

mDH
sen

senDH

sen
senDHDH

AP

AP

AB
AP

2570,731
)"00'1786"30'5288(

"00'178685,61
)(

=
°+°

°×=
+
×= βα

β

mDH
sen

senDH

sen
senDHDH

AP

AP

AB
BP

6570,732
)"00'1786"30'5288(

"30'528885,61
)(

=
°+°

°×=
+
×= βα

α

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3. Cálculo da DN entre a base e o ponto “P”

mDN

gDN
hgVDHhDN

AP

AP

pPAPAPiAAP

1262,95
00,0"00'4282cot2570,73145,1

cot

=
−°×+=

−×+=

mDN
gDN

hgVDHhDN

AP

AP

pPBPBPiBBP

3055,95
00,0"00'4282cot6570,73245,1

cot

=
−°×+=

−×+=

4. Correções

0592,0

0592,01262,953055,952385,0
0'

−=
=−+−

=++

ε

PABPAB DNDNDN

Curvatura:

mC

C
kmDHC

crAP

crAP

cr

036362,0
)731257,0(068,0

)(068,0
2

2

=
×=

×=

mC

C
kmDHC

crAP

crBP

cr

036089,0
)728511,0(068,0

)(068,0
2

2

=
×=

×=

Diferença de nível corrigida da curvatura:

mDN

DN
CDNDN

AP

AP

crAPAPAP

08984,95'
036362,01262,95'

'

=
−=

−=

mDN

DN
CDNDN

BP

BP

crBPBPBP

26944,95'
036089,03055,95'

'

=
−=

−=

5. Erro permitido:

m

kmPerímetro

07401,0
728511,0731257,006185,006,0

)(06,0

=
++=

=

ε
ε
ε

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