seminario_Jorge
29 pág.

seminario_Jorge


DisciplinaRedes sem Fio588 materiais21.948 seguidores
Pré-visualização1 página
Transformada de Fourier: 
fundamentos matemáticos, 
implementação e aplicações 
musicais
MAC 0337 \u2013 Computação Musical
Jorge H. Neyra-Araoz
IME \u2013 USP
22/11/2007
 2
Resumo
\u25cf Série de Fourier para funções periódicas
\u25cf Transformada de Fourier: definição e 
exemplo
\u25cf Transformada de Fourier Discreta
\u2013 Tranformada Rápida de Fourier
 3
Série de Fourier para funções 
periódicas
\u25cf A Série de Fourier é uma representação 
de uma função periódica como uma soma 
de funções periódicas:
 4
Série complexa de Fourier
\u25cf Segundo a Fórmula de Euler, as séries 
podem ser expressadas equivalemente
 5
Equações de Síntese e Análise
\u25cf Equação de Síntese:
\u25cf Equação de Análise:
\u25cf Uma propriedade fundamental dos valores de 
é a seguinte:
 6
Exemplo ...
Considere a função
Temos . Para
 7
Exemplo ...(2)
 8
Exemplo ...(3)
\u25cf O n-ésimo harmônico de f é dado por:
 9
Transformada de Fourier
\u25cf Quando uma função não é 
periódica é impossível escrevê-la como 
combinação linear de uma família de senos e 
cossenos harmonicamente relacionados.
\u25cf No entanto, muitas vezes é possível escrevê-la 
como combinação linear de todos os senos e 
cossenos que existem, utilizando todas as 
freqüencias disponíveis:
 10
Transformada de Fourier (2)
\u25cf Para funções que satisfazem o critério
entre outras, pode-se provar que os valores de
que satisfazem a equação acima são 
dados por
 11
Transformada Inversa de 
Fourier
\u25cf Se F(\u3c9) e f(t) estão relacionadas pelas 
equações de análise e síntese
 
denotamos esta relação por
 
indicando que F é a Transformada de Fourier de 
f, e f é a Transformada Inversa de Fourier de F.
 12
Transformada de Fourier: 
Exemplo
\u25cf Considere a função
 13
Transformada de Fourier: 
Exemplo
\u25cf Para , temos que:
\u25cf e para , temos que:
 14
Transformada de Fourier: 
Exemplo
\u25cf Assim, pela equação de síntese,
\u25cf Freqüentemente, representamos a 
transforma de Fourier através dos espectro 
de amplitude e fase.
 15
Transformada de Fourier: 
Exemplo
\u25cf A escolha entre na expressão de
embora arbitrária, deve preservar a 
propriedade de que é uma função 
ímpar.
 16
Transformada de Fourier 
Discreta (DFT)
\u25cf Dado considere a família de 
números complexos 
que divide o círculo unitário em N partes 
iguais:
 17
DFT: Relações de 
Ortogonalidade
\u25cf A família de número complexos anterior 
possui uma propriedade de ortogonalidade 
em relação ao produto interno em
definido por
\u25cf Vamos utilizar o símbolo de tal 
forma que
Lema (Relações de Ortogonalidade)
 18
DFT: Exemplo
\u25cf Considere . Então, para os 
vetores
 temos
 19
Transformada Rápida de Fourier 
(FFT)
\u25cf O método de cálculo da transformada 
discreta de Fourier a partir da expressão
 utiliza produtos entre números complexos 
e somas, possuindo assim 
complexidade computacional
\u25cf O método FFT permite obter o mesmo 
resultado em tempo
 20
FFT: Implementação
\u25cf Existem muitas implementações:
\u2013 Mapeamento em Índices Multidimensionais, 
transforma uma DFT de uma dimensão em 
uma DFT de duas ou mais dimensões.
\u2013 Algoritmo COOLEY-TURKEY: usa o 
mapeamento de índices os índices de tempo 
e de freqüência.
\u2013 FFT por Dizimição no Tempo, descompõe a 
seqüência de tamanho N em seqüências 
sucessivas menores.
 21
FFT: Implementação
\u25cf FFT por dizimição em Freqüência
\u2013 A mais común e a mais eficiente forma de 
FFT.
\u2013 Usa todas as dimensões do mesmo tamanho.
\u2013 Calcula uma DFT de tamanho N, em termos 
de duas DFTs de tamanho N/2.
 22
FFT: ilustração de três etapas
 23
FFT: Exemplo
\u25cf Consider o vetor
Sua transformada de Fourier discreta poder ser 
calculada com auxílio do diagrama do FFT do 
slide anterior.
 24
FFT: Algoritmo
 25
Janelas
\u25cf Também chamadas Funções de 
Ponderação.
\u25cf Modificam as características de resposta 
em freqüência dos algoritmos de DFT.
\u25cf Usadas em conjunto com análise 
espectral via DFT para reduzir o 
espalhamento em freqüência.
 26
Janela Rectangular e Triangular
 27
Aplicações da FT
\u25cf A Transfomada de Fourier (FT) é uma 
ferramenta largamente empregada em 
processamento de sinais (sons, imagens).
\u25cf A teoria de Fourier demonstrou que um 
som periódico (como os sons 
instrumentais utilizados na música) podia 
decompor-se numa soma de sons puros 
(sinusoidais) de frequência 1f, 2f, 3f,...
 28
Aplicações da FT
\u25cf Usado amplamente no análise, síntese, e 
processamento de voz e sons musicais.
\u25cf Pode ser usada para obter o Espectro a 
partir da Forma de Onda.
 29
Obrigado