Transformada de Fourier
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Transformada de Fourier


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FFT-TRANSFORMADA RÁPIDA 
DE FOURIER 
 
 
 
A quase totalidade dos fenômenos físicos de natureza periódica tem sua origem em 
ondas (sonoras, elétricas, hidráulicas e mecânicas) que apresentam formas bem definidas. 
Em meados do século XVIII, Euler, Bernoulli e Lagrange já discutiam a 
representação de sinais periódicos através de séries trigonométricas. 
Fourier (1768-1830) desenvolveu em seu estudo sobre a condução de calor pelos 
corpos a formulação de que um fenômeno de natureza periódica pode ser decomposto em 
uma série de funções senoidais, com amplitudes variáveis e freqüências múltiplas da 
freqüência fundamental, com fases coincidentes ou inversas. O estudo sobre a Teoria 
Analítica do Calor foi publicado em 1822. 
Os microcomputadores encontraram aplicação imediata para as séries de Fourier 
dada a grande quantidade de operações necessárias para ser obtida uma confiabilidade 
razoável na análise de um evento de natureza periódica. 
O ouvido humano responde à intensidade das freqüências individuais presentes no 
som, por este motivo é preciso trabalhar com informações sobre este sinal de som no 
domínio da freqüência. 
Neste capítulo será apresentada uma avaliação da base matemática para converter 
qualquer função periódica nas suas componentes de freqüência, a Transformada de 
Fourier. 
Posteriormente será explanada a FFT (Transformada Rápida de Fourier) que é um 
algoritmo que otimiza o cálculo da Transformada Discreta de Fourier- DFT. 
 
5.1 AS SÉRIES DE FOURIER 
 
 Os sons naturais são compostos de múltiplas componentes de freqüências. Para 
iniciar a análise em freqüência de um determinado som, deve-se supor que apenas uma 
curta seção deste som é utilizada. Nesta análise, pode-se ignorar o restante do sinal do som. 
Supondo também que a seção curta do som a ser analisada é periódica (repete-se 
eternamente), pode-se então aplicar os princípios matemáticos que foram desenvolvidos 
por Fourier, Bernoulli, e Eüler [19]. 
 44
 Para uma função periódica (forma de onda) dada por x(t), na qual o período é dado 
por To, então: 
 
1. x(t) pode ser representado por um somatório de ondas senoidais. 
 
2. Na forma de onda senoidal, a frequência fundamental é: 
fo= 1 / To [5.1] 
 
3. O somatório pode ser escrito como: 
( ) (( )\u2211\u221e
=
++=
1
00
0 2.2cos
2
)(
n
nn ntfsinbntfa
atx \u3c0\u3c0 ) [5.2] 
(E. Oran Brigham, pg 74 [20]) 
 
4. 0
0
0 2
2 f
T
\u3c0\u3c0\u3c9 == é conhecido como a primeira harmônica ou freqüência 
angular fundamental. 
 
( ) (( )\u2211\u221e
=
++=
1
00
0 cos
2
)(
n
nn ntsinbnta
atx \u3c9\u3c9 ) [5.3] 
 
para um conjunto de valores de an e bn . 
 
5. O somatório é chamado de \u201cSérie de Fourier\u201d e os valores de an e bn são 
chamados de \u201ccoeficiente da série\u201d. 
 
6. Os valores de an e bn podem ser encontrados por: 
( )\u222b
\u2212
= 2
T
2
cos)(2
T
n dtnttxT
a \u3c9 e ( )\u222b= 2
T
2
T-
)(2 dtntsintx
Tn
\u3c9b . [5.4] 
 
Estes resultados podem ser aplicados a funções discretas (funções que só estão 
definidas em pontos específicos), como também a funções contínuas. Se tivermos uma 
taxa de amostragem \u201cFs\u201d e uma série de \u201cN\u201d amostras por período, então: 
 45
1. A menor freqüência presente é 
N
Ff s=0 e 00 2 f\u3c0\u3c9 = [5.5] 
 
2. A série com N amostras por período, pode ser representada por: 
\u2211\u221e
=
\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb+\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb+=
1
0 22cos)(
k
kks N
nksinb
N
nkaanTx \u3c0\u3c0 [5.6] 
 
3. a0 corresponde ao valor da componente contínua. 
 
4. A série de Fourier pode ser reescrita como: 
((\u2211\u221e
=
++=
1
00 cos)(
k
Kk tkaatx \u3b8\u3c9 )) [5.7] 
 onde, 
 
kj
kK eAX
\u3b8= = KK jba \u2212 [5.8] 
 
\u222b
\u2212
\u2212= 2
T
2
).(2
T
tojk
K dtetxT
X \u3d6 [5.9] 
 
\u222b
\u2212
== 2
T
2
)(1
T
oo dttxT
AX [5.10] 
 
5. o coeficiente Xk pode ser calculado numericamente através da seguinte 
aproximação: 
\u2211
=
\u2212\u2248 N
m
sK N
mkjmTx
N
X
1
]2exp[).(2 \u3c0 [5.11] 
 
\u2211
=
\u2248 N
m
smTxN
X
1
0 )(
1
 onde Ts = T/N [5.12] 
 
 46
5.2 A TRANSFORMADA CONTÍNUA DE FOURIER 
 A integral de Fourier é definida pela expressão: 
 
 [5.13] ( ) \u222b+\u221e
\u221e\u2212
\u3a0\u2212= dtetxfX ftj 2).(
 
 Se a integral definida na equação 5.13 existe em todo f, X(f) pode ser definida 
como a transformada de Fourier do sinal no tempo x(t). 
 
 
5.3 A TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER 
 
 A equação 5.14 mostra a transformada Discreta de Fourier, para N amostras de um 
sinal x(k). 
 
 \u2211\u2212
=
\u3a0\u2212= 1
0
/2).(1][
N
k
Nnkjekx
N
nx n= 0, 1, 2 ... N-1 [5.14] 
 
 Vale salientar que tanto para transformada contínua quanto para a discreta existem 
as transformadas inversas que retornam o sinal do domínio da freqüência para o domínio 
do tempo. 
 
 
5.4 A TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER - FFT 
 
A Transformada Discreta de Fourier apresentada pela equação 5.14, leva ao cálculo 
N2 operações de multiplicação para se obter o espectro de frequência de um sinal. 
 Com o algoritmo da FFT (Transformada Rápida de Fourier), desenvolvido na 
seção a seguir, o número de multiplicações necessárias cai para N.log2.N. Este fato pode 
ser visualizado na figura 5.3. 
 
 47
5.4.1 A operação \u201cButterfly\u201d 
 Se fizermos na equação 5.14, n
i
n eW
\u3c02\u2212
= , [5.15] 
 
então: \u2211\u2212
=
\u2212
=
1
0
2N
n
N
kni
nk ex
\u3c0
y torna-se [5.16] \u2211\u2212
=
=
1
0
N
n
kn
Nnk Wxy
 
Se a série é dividida em elementos pares e ímpares temos: 
 
\u2211\u2211
\u2212
=
+
+
\u2212
=
+=
1
2
0
)12(
12
1
2
0
2
2
N
n
kn
Nn
N
n
nk
Nnk WxWxy [5.17] 
 
\u2211\u2211
\u2212
=
+
\u2212
=
+=
1
2
0
2
12
1
2
0
2
2
N
n
nk
Nn
k
N
N
n
nk
Nnk WxWWxy [5.18] 
 
devido a nkN
nk
N W
2
2 =W , isto permite escrevermos 
\u2211\u2211
\u2212
=
+
\u2212
=
+=
1
2
0
2
12
1
2
0
2
2
N
n
nk
Nn
k
N
N
n
nk
Nnk WxWWxy [5.19] 
 
\u2211\u2211
\u2212
=
+
\u2212
=
+=
1
2
0
2
12
1
2
0
2
2
N
n
nk
Nn
k
N
N
n
nk
Nnk WxWWxy [5.20] 
 
 se fizermos: x1(m)= AMOSTRAS PARES = x(2n) e 
 x2(m)= AMOSTRAS IMPARES = x(2n+1) 
 
 \u2211\u2211
\u2212
=
\u2212
=
+=
1
2
0
2
2
1
2
0
2
1 )()(
N
n
nk
N
k
N
N
n
nk
Nk WnxWWnxy [5.21] 
 48
 
 Assim, se existir um número par de amostras, o problema computacional de yk pode 
ser reduzido pela metade. Então fazendo 
2
Nk
y
+
 da forma, 
 
( ) ( )\u2211\u2211
\u2212
=
++
\u2212
=
+
+
+=
1
2
0
2
2
2
2
1
2
0
2
2
1
2
)()(
N
n
Nkn
N
Nk
N
N
n
Nkn
NNk
WnxWWnxy [5.22] 
\u2211\u2211
\u2212
=
\u2212
=+
\u2212=
1
2
0
2
2
1
2
0
2
1
2
)()(
N
n
nk
N
k
N
N
n
nk
NNk
WnxWWnxy [5.23] 
 
devido a 
( ) nk
N
Nkn
N W
2
2
2
=+W e 12 \u2212=NNW [prova a seguir] 
 
12 \u2212=NNW ( ) nkNNknN W
2
2
2
=+W 
22
2
N
N
iN
N eW \uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb=
\u2212 \u3c0
 
( )\u3c0iNN eW \u2212=2 
12 \u2212=NNW 
( ) 2
22
2
2
nN
N
nk
N
Nkn
N WWW =+ 
( ) 42
22
2
2
nN
N
nk
N
Nkn
N WWW =+ 
( ) nnk
N
Nkn
N WW
2
2
2
2
1\u2212=+ porque 12 \u2212=NNW 
( ) nk
N
Nkn
N WW
2
2
2
=+ 
Com estes resultados 
 \u2211\u2211
\u2212
=
\u2212
=
+=
1
2
0
2
2
1
2
0
2
1 )()(
N
n
nk
N
k
N
N
n
nk
Nk WnxWWnxy [5.24] 
e \u2211\u2211
\u2212
=
\u2212
=+
\u2212=
1
2
0
2
2
1
2
0
2
1
2
)()(
N
n
nk
N
k
N
N
n
nk
NNk
WnxWWnxy , [5.25] 
 49
 a Operação Butterfly é construída conforme a figura 5.1 
)()()( 21 kXWkXkX
k
N+= e ( ) )()(2 21 kXWkXNkX kN\u2212=+ [5.26,27] 
 
Figura 5.1: A Operação \u201cButterfly \u201d 
A operação \u201cbutterfly\u201d permite que a computação da DFT seja dividida ao meio, ou 
seja, se existem 2n amostras, a computação da DFT pode ser repetida exigindo somente 
metade do cálculo. Para uma DFT de 2 pontos (caso básico) temos: 
 
101
0
200 xxxWxy +=+= e [5.28] 1010201 xxxWxy \u2212=\u2212=
 
Assim, se existem 2n amostras, a DFT pode ser computada através do uso de uma 
série de estágios da operação \u201cButterfly\u201d os quais se repetem conforme o número de bits 
utilizado. A figura 5.2 mostra este processo: 
 
Figura 5.2: Uso da Operação \u201cButterfly\u201d para Computar uma FFT de 8-pontos 
 50
 Estas séries de operações podem ser mais facilmente implementadas se os valores 
de entradas forem seqüenciados corretamente. A análise da representação binária dos 
valores de entrada revelam um padrão