Livro Estatistica Basica
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Livro Estatistica Basica

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Estácio de Sá

Disciplina: Probabilidade e Estatística

Marcelo Abrahão de Mattos

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 di xi x
 DM = ----------- = ----------------
 n n

Empregado A

 di 2
DM = ----------- = ----- = 0,4
 n 5

Empregado B

 di 42
DM = ----------- = ----- = 8,4
 n 5

Variância amostral (s2)
 É usada quando o estudo é feito por amostragem.

 (xi x)2
s2 = ----------------

 n – 1

Variância – para dados agrupados sem e com classes

Variância populacional:

 (xi x)2 . fi
2 = ---------------------

 N

Variância amostral:

 (xi x)2 . fi
s2 = ---------------------

 n – 1
OBS: quando os dados forem uma amostra, usa-se o denominador n – 1 na fórmula da
variância, pois se obtém uma estimativa melhor do parâmetro da população. Quando a
amostra for grande (n > 30) não há diferença entre usar n – 1 ou n.

o Desvio-padrão
 É a raiz quadrada da variância.
 Na fórmula original para o cálculo da variância, observa-se que é uma
soma de quadrados. Por exemplo, se a unidade original for metro (m) o resultado será
metro ao quadrado (m2). Para retornar a unidade de medida original, extrai-se a raiz
quadrada da variância, passando a chamar-se de desvio-padrão.

Desvio-padrão populacional

 = √ 2

Desvio-padrão amostral

s = √s2

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12.1.2. Medida de dispersão relativa

o Coeficiente de variação (CV)

É uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em termos
relativos do grau de concentração em torno da média de séries distintas.

População

CV = ------ x 100

 x

ou

Amostra
 s

CV = ------ x 100
 X

O coeficiente de variação é expresso em porcentagem.
Duas maneiras de analisar o CV:

Pequena dispersão: CV 10%

Média dispersão: 10% CV 20%

Grande dispersão: CV 20%

Baixa dispersão: CV 15%

Média dispersão: 15% CV 30%

Grande dispersão: CV 30%

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PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM

Uma pessoa mora em Nova Iguaçu e trabalha em Copacabana. Ela vai trabalhar

todos os dias usando apenas transporte coletivo. Esta pessoa vai Nova Iguaçu ao Centro do

Rio tomando ônibus, van ou trem. Do Centro do Rio, pode ir a Copacabana de ônibus, van

ou metrô. Levando em conta apenas estas possibilidades, de quantas maneiras ela poderá ir

de casa ao trabalho?

Neste caso podemos contar facilmente todas as 9 possibilidades:

{(V,V), (V,O), (V,M), (O,V), (O,O), (O,M), (T,V), (T,O), (T,M)},

onde usamos uma notação em que, por exemplo, (T, M) indica que ela toma o

primeiro percurso e, em seguida, o metrô.

Em geral a solução de problemas deste tipo se baseia no princípio multiplicativo,

também chamado de princípio fundamental da contagem.

Suponha que existam N1 maneiras de se realizar uma tarefa T1 e N2 maneiras de se

realizar uma tarefa T2. Então há N1 x N2 maneiras de se realizar a tarefa T1 seguida da

tarefa T2.

Exemplo 1

Na discussão acima, T1 é a tarefa de ir de Nova Iguaçu ao Centro do Rio e N1 = 3

(há 3 possibilidades de se fazer isto). Da mesma forma, T2 é a tarefa de ir do Centro do

Rio a Copacabana, e há N2 = 3 possibilidades de se realizar esta tarefa. No total, há:

N1 x N2 = 3 x 3 = 9 possibilidades

Exemplo 2

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Um aluno se prepara para ingressar no ensino superior. Ele pode escolher entre 10

universidades. Se cada uma delas tiver 15 cursos, quantas possibilidades de cursos há para

este aluno?

10 x 15 = 150 cursos diferentes

O princípio acima pode ser estendido para a situação em que temos várias tarefas, o

que é chamado Princípio da Multiplicação Generalizado.

Se uma tarefa T1 pode ser feita de N1 maneiras, uma tarefa T2 de N2 maneiras, ... ,

uma tarefa Tk de Nk maneiras, então o número de maneiras de realizar T1, T2, ... , Tk, em

seqüência, é N1 x N2 X ... X Nk. 6

Exemplo 3

Em um jogo de "cara ou coroa", uma moeda é lançada 3 vezes. Qual o número de

resultados possíveis?

Cada lançamento tem dois resultados possíveis: cara ou coroa, que representaremos

por C e Cr, respectivamente.

Como foi lançada 3 vezes, há 2 x 2 x 2 = 8 resultados possíveis. Podemos ver os

resultados possíveis no diagrama:

No diagrama anterior foi utilizada uma notação por termos ordenados em que, por

exemplo, (C, Cr, C) indica que os resultados dos 3 lançamentos foram, nesta ordem, cara,

coroa e cara.

Quantos resultados têm exatamente 2 caras?

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Inspecionando os 8 resultados possíveis, vemos que há 3 resultados com exatamente

2 caras.

Mas, e no caso de um número maior de lançamentos? Não poderemos, em

geral, responder a pergunta inspecionando todas os resultados possíveis.

Em qualquer caso, o Princípio Multiplicativo permite dizer quantos resultados

possíveis há no total. Se uma moeda for lançada N vezes, temos:

2 x 2 x 2 x ... 2 = 2
N
 resultados possíveis.

13. Permutações

Para entender o que é permutação, vamos começar com um exemplo. Um pai quer

tirar uma fotografia de seus 3 filhos, mas não consegue colocar os 3 garotos em ordem:

todos querem ficar no meio e ninguém quer car nos lados.

O pai poderia obrigá-los à força, mas como é paciente e educador moderno ele

decide tirar uma foto de cada ordenação possível dos 3 meninos. Quantas fotos o paciente

pai deverá tirar?

Os garotos se chamam André (A), João (J) e Pedro (P). É fácil lista". todas as

ordenações possíveis. Elas são as seguintes:

São, portanto, 6 ordenações possíveis.

AJP, APJ, JAP, JPA, PAJ e PJA

Dado um conjunto de objetos distintos, uma permutação do conjunto é uma

ordenação dos elementos deste conjunto.

No exemplo acima, o conjunto

{A, J, P}

possui 6 permutações, que são as listadas acima.

Uma maneira de calcular quantas são as permutações de um conjunto sem ter que

listá-las é usar o princípio multiplicativo.

Voltando ao nosso exemplo do pai com paciência de Jó, são 3 posições na foto, as

quais representamos com 3 traços:

____ ____ ____

De quantas maneiras podemos preencher a primeira posição? De 3 maneiras, pois

são 3 crianças. Uma vez escolhido quem fica na primeira posição, temos 2 escolhas

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possíveis para a segunda posição, pois restaram 2. crianças. Depois disto, resta somente

uma criança, o que dá apenas 1 escolha para a terceira posição.

Usando o princípio multiplicativo (e a paciência do pai), o número de ordenações

possíveis é:

3 x 2 x 1 = 6

E se fossem 6 crianças, quantas fotos teriam que
JUNIOR PLACAS fez um comentário
  • Ariosvaldo, eu não consigo baixar o arquivo, você poderia me enviar por email?
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    Julio Cabral fez um comentário
  • bom livro
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