Livro Estatistica Basica
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Livro Estatistica Basica

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tipo são chamados probabilísticos ou aleatórios. Eles são o objeto de

estudo da área da Matemática chamada Teoria das Probabilidades. São fenômenos que

podem ser descritos por modelos probabilísticos. Os experimentos aleatórios não

produzem sempre o mesmo resultado, mas tem um comportamento estatisticamente

regular, no sentido de que, considerando um número grande de realizações, cada resultado

possível ocorre numa freqüência que pode ser avaliada. Assim, se lançarmos uma moeda

equilibrada, repetidamente, um grande número de vezes, nossa intuição e nossa experiência

nos levam a esperar que a quantidade de vezes de dar “cara” na face de cima será,
aproximadamente, igual à de dar “coroa”.

Esses aspectos de regularidade dos experimentos aleatórios, investigados e

analisados, permitem a construção de um modelo matemático e a atribuição, a cada

resultado possível, de um número que reflita a “chance de ocorrência” desse resultado. Por
exemplo, é comum ouvirmos uma frase como “há uma chance de 65% de chover amanhã”.
Mas o que isso quer dizer?

Quando nos referimos a algum experimento, devemos explicitar dois componentes:

a ação a ser executada e o resultado a ser observado. Explicando melhor: um experimento é

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Disciplina: Probabilidade e Estatística

Marcelo Abrahão de Mattos

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uma ação que pode ser repetida e um certo resultado que queremos observar. Por exemplo,

o experimento de jogar um dado (ação) e observar a face que cai voltada para cima

(resultado).

Observe que dois experimentos diferentes podem consistir da mesma ação, mas

com resultados observáveis diferentes. Por exemplo:

- experimento A: lançamos dois dados e observamos a maior das faces que caem

para cima;

- experimento B: lançamos dois dados e observamos a soma das faces que caem

para cima.

Os experimentos A e B são diferentes, embora a ação tenha sido a mesma (jogar

dois dados).

18. Espaço Amostral

O espaço amostral representa, na Teoria das Probabilidades, o mesmo papel que o

conjunto universo representa na Teoria dos Conjuntos. Portanto, o espaço amostral é o

conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. É representado pela

letra “S” e seu número de elementos por n(S).

Ex.:

 No lançamento de uma moeda:

 S = {cara, coroa}, n(S) = 2

 No lançamento de um dado:

 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6

Quando considerarmos um experimento composto de mais de uma ação, por

exemplo,

 lançar um dado duas vezes e anotar o par resultante;

 lançar um dado seguido de uma moeda e anotar o par obtido;

 retirar duas cartas de um baralho de 52 cartas e observar os naipes etc.,

o princípio multiplicativo será muito útil no cálculo do número de elementos do

espaço amostral.

Ex.:

 Quantos são os resultados possíveis na loteria esportiva?

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A loteria esportiva é composta de 13 jogos. Para cada jogo, é claro, são possíveis

três resultados. Logo,

S = 3 x ...x 3 = 313

 O lançamento de 3 dados possui 6 x 6 x 6 = 216 resultados possíveis.

19. Retirada com e sem reposição

Quando realizamos um experimento em que retiramos algo mais de uma vez,

devemos sempre observar se o objeto retirado é ou não reposto antes da próxima retirada.

Uma retirada com reposição é um experimento diferente de uma retirada sem reposição.

20. Evento

 Evento de um experimento aleatório é qualquer subconjunto do espaço amostral

desse experimento.

21. Evento impossível

É um evento que nunca ocorre. E = { }.

22. Evento Elementar

 É todo subconjunto unitário do espaço amostral de um experimento.

23. Evento certo

É um evento que sempre ocorre. E = S.

24. Combinação de Eventos

A partir de eventos podemos obter novos eventos, usando as operações de união,

interseção e diferença de conjuntos. Relembrando: sendo A e B dois eventos de um espaço

amostral S (isto é, A e B subconjuntos de S), temos:

 AUB é o evento que ocorre se, e somente se, A ocorrer ou B ocorrer.

 A∩B é o evento que ocorre se, e somente se, A ocorrer e B ocorrer.

 A – B é o evento que ocorre se, e somente se, A ocorrer e B não ocorrer.

 AC ou
A

 indica o evento complementar de A, ou seja, o evento que ocorre se, e

somente se, A não ocorrer.

Ex.:

Lançamos um dado e observamos o número que aparece em cima. O espaço

amostral desse experimento é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Consideremos os eventos:

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A: “um número par ocorrer” A = {2, 4, 6}.

B: “um número ímpar ocorrer” B = {1, 3, 5}.

C: “um número primo ocorrer” C = {2, 3, 5}.

Então:

AUC = {2, 3, 4, 5, 6} é o evento “um número par ou um número primo ocorrerem”.
B∩C = {3, 5} é o evento “um número ímpar e primo ocorrerem”.
Cc = {1, 4, 6} é o evento “um número primo não ocorrerem”.

Ex.:

Lancemos uma moeda três vezes e observamos a seqüência de caras (K) e coroas

(C) que aparecem. O espaço amostral S consiste de oito elementos: S={KKK, KKC, KCK,

KCC, CKK, CKC, CCK, CCC}. Consideremos os eventos:

A: “duas ou mais coroas aparecem consecutivamente” A = {CCC, KCC, CCK}.

B: “todos os lançamentos apresentam resultados iguais” B = {KKK, CCC}.

Então:

A∩B = {CCC} é o evento elementar em que somente coroas aparecem.

25. Probabilidade de um Evento Elementar

Considere um experimento aleatório cujo espaço amostral é S = {e1, e2, e3,..., en}.

A probabilidade de ocorrência de cada evento elementar {ek}, 1 ≤ k ≤ n, desse
experimento é um número real Pk que satisfaz as condições:

1ª) Pk 0 , para todo k pertencente a {1, 2,...,n};

2ª)
1

1

nk

k

kP , isto é, P1 + P2 + P3 + ... + Pn = 1 (a soma das probabilidades de

todos os eventos elementares é igual a 1).

Ex.:

Através de estudos genéticos uma gestante descobriu que a probabilidade de seu

filho nascer com olhos escuros é o triplo da probabilidade dele nascer com olhos claros,

independente do sexo. Qual a probabilidade da gestante ter uma criança de olhos escuros?

O espaço amostral é composto de apenas dois eventos elementares:

S = {olhos escuros, olhos claros}.

Os eventos são:

E1 = {olhos escuros}

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E2 = {olhos claros}

Como a probabilidade de ocorrer E1 é o triplo da probabilidade de ocorrer E2, tem-

se:

P(E2) = x → P(E1) = 3x
P(E1) + P(E2) = 1

3x + x = 1 → x = ¼

Como P(E1) = 3x → P(E1) = ¾

A probabilidade de a criança ter os olhos escuros é de ¾ ou 75%.

PROBABILIDADE
26. Conceito

 É a chance de um evento ocorrer quando o espaço amostral tem resultado

igualmente provável (lançamento de moeda, lançamento de dados, extração de cartas de

um baralho etc.).

Npossíveisresultadosden
resultadocadaP

1

º

1
)(

É necessário identificar primeiro o número de resultados “favoráveis” e em seguida
dividi-lo pelo total de casos possíveis no espaço amostral. Em outras palavras, a

probabilidade de um evento A ocorrer é:

possíveisresultadosden

Aeventoaofavoráveisresultadosden
AP

º

º
)(

 =
)(

)(

Sn

An
, 0 ≤ P(A) ≤ 1

Ex.:

 Se cada carta de um baralho de 52 cartas tem a mesma chance de ser
escolhida, então
JUNIOR PLACAS fez um comentário
  • Ariosvaldo, eu não consigo baixar o arquivo, você poderia me enviar por email?
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    Julio Cabral fez um comentário
  • bom livro
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