Livro Estatistica Basica
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a probabilidade de se extrair cada uma delas é de 1/52: P(A) 
= 1 carta / 52 cartas = 1/52 
 
 O lançamento de uma moeda tem dois resultados possíveis: cara ou coroa. 
Se os dois resultados são igualmente prováveis, então a probabilidade de sair 
cara é P(cara) = ½ e a probabilidade de sair coroa é P(coroa) = ½. 
 
 Determinar a probabilidade de extrair uma das quatro damas de um baralho 
de 52 cartas ou a de obter um número menor que 4 num lance de dado. A 
probabilidade da extração de uma dama é P(dama) = 
cartas
damas
52
4
 = 
52
4
=
13
1
 
 
 Um dado não viciado é lançado. Qual a probabilidade de ocorrer: 
Universidade Estácio de Sá 
Disciplina: Probabilidade e Estatística 
Marcelo Abrahão de Mattos 
 
 
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a) Um número primo (evento A)? 
 
A = {2,3,5} 
Logo: P(A) = P(2) + P(3) + P(5) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 
 
b) Um quadrado perfeito (evento B)? 
 
B = {1,4} 
Logo: P(B) = P(1) + P(4) = 1/6 +1/6 = 2/6 = 1/3 
 
 Uma moeda é lançada duas vezes seguidas. Qual a probabilidade de se obter 
cara em pelo menos um desses lançamentos? 
 
S = {(K, K),(K, C),(C, K),(C, C)} n(S) = 4 
A = {(K, K),(K, C),(C, K)} n(A) = 3 
Portanto, P(A) = 
)(
)(
Sn
An
 
4
3
 
 
 Uma caixa contém 5 bolas vermelhas, 3 bolas brancas e 4 bolas pretas. 
Sorteando-se uma das bolas ao acaso, qual é a probabilidade dela ser: 
 
a) branca (evento A)? 
b) preta (evento B)? 
 
O experimento tem 12 resultados possíveis, ou seja, n(S) = 12. 
 
Como há 3 bolas brancas na caixa, há 3 casos favoráveis à ocorrência do 
evento A, isto é, n(A) = 3. Portanto, P(A) = 
4
1
12
3
. 
 
Como há 4 casos favoráveis à ocorrência de B, ou seja, n(B) = 4, temos: 
P(B) =
3
1
12
4
. 
 
 
27. Probabilidade da União de Eventos (regra da adição) 
 
 
 Sejam A e B eventos associados ao espaço amostral S de um experimento 
aleatório. Como eventos são conjuntos, temos que: 
 
 n(AUB) = n(A) + n(B) - n(A\u2229B) (1) 
 
Dividindo (1) por n(S), temos: 
 
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
Sn
BAn
Sn
Bn
Sn
An
Sn
BAn
 
Universidade Estácio de Sá 
Disciplina: Probabilidade e Estatística 
Marcelo Abrahão de Mattos 
 
 
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Logo: 
)()()()( BAPBPAPBAP
 
 
Ex.: 
 
Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Sorteando-se uma das bolas, qual 
é a probabilidade de sair um número par ou um múltiplo de 3? 
 
S = {1,2,3,...,18,19,20}. Portanto, n(S) = 20. 
 
Se A é o evento \u201csair um número par\u201d, então A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} 
e n(A) = 10. 
 
Se B é o evento: \u201csair um múltiplo de 3\u201d, então B = {3, 6, 9, 12, 15, 18} e n(B) = 6. 
 
Ocorrer o evento A ou o evento B significa ocorrer qualquer um dos elementos que 
figuram em qualquer um dos conjuntos A e B, ou seja, ocorrer o evento AUB. 
 
De (1) temos n(AUB) = n(A) + n(B) - n(A\u2229B) = 10 + 6 - 3 = 13. 
 
 
Como n(S) = 20, concluímos que 
20
13
)(
)(
)(
Sn
BAn
BAP
. 
 
 
28. Probabilidade de Não Ocorrer um Evento 
 
Seja A um evento associado ao espaço amostral S de um experimento aleatório. O 
evento complementar de A é indicado A
c
, e indica a não ocorrência de A. 
 
Ex.: 
 
Um dado é lançado. Considerando o evento A = \u201cobter um quadrado perfeito\u201d, 
então A = {1,4} e n(A) = 2. Portanto 
6,5,3,2cA
 e 
4)( cAn
. 
Nota-se que A e A
c
 são mutuamente exclusivos, ou seja, se um evento ocorre o 
outro não ocorre. Portanto, 
SAA c
. De fato cAA {1,2,3,4,5,6}. 
Além disso, 
1)()( SPAAP c
, isto é, 
1)()()( cc AAPAPAP
. Mas 
como 
0)( cAAP
, já que A e A
c
 são mutuamente exclusivos, concluímos que 
)(1)(1)()( APAPAPAP cc
. 
Como n(S) = 6, n(A) = 2 e n(B) = 4, temos 
3
1
6
2
)(AP
, 
3
2
6
4
)( cAP
. Logo, 
1
3
2
3
1
)()( cAPAP
 
 
 
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Disciplina: Probabilidade e Estatística 
Marcelo Abrahão de Mattos 
 
 
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29. Produto de Probabilidades (regra da multiplicação) 
 
Duas cartas serão retiradas de um baralho comum uma após a outra sem reposição 
da primeira. Qual é a probabilidade de se obterem duas cartas de paus? 
 
1º) Indiquemos estes dois eventos: A: a 1a carta é de paus e B: a 2a carta é de paus. 
 
2º) Obter \u201cduas cartas de paus\u201d significa ocorrer A e ocorrer B, isto é, calcular a 
probabilidade de ocorrer A\u2229B. Para tanto, vamos aplicar a relação P(A\u2229B) = P(A) x 
P(B/A). 
 
3º) 1a retirada: P(A) = 13/52. 
 
4º) Vamos calcular P(B/A), a probabilidade de que a 2a carta seja de paus supondo 
que a 1a carta é de paus. Ora, se por suposição a 1a carta é de paus, como não há reposição 
da mesma, restaram 51 cartas no baralho, das quais 12 são de paus. Assim: P(B/A) = 
12/51. 
 
Portanto, P(A\u2229B) = P(A) x P(B/A) = 1/17. 
 
 
30. Variável Aleatória 
 
Os resultados de um experimento aleatório podem ser numéricos ou não. 
Experimentos como: 
 
 anotar os tempos em uma maratona, 
 medir a taxa de precipitação pluviométrica durante um período, 
 lançar uma moeda três vezes e anotar a quantidade de coroas que ocorrem, 
 
têm seus espaços amostrais constituídos de números. Muitos experimentos, porém, 
possuem resultados qualitativos (e não quantitativos). Por exemplo: 
 
 entrevistar um eleitor, antes de uma eleição, para conhecer sua preferência, 
 inspecionar uma lâmpada para verificar se é ou não defeituosa, 
 lançar uma moeda e observar se dá cara ou coroa. 
 
Podemos, então, classificar os resultados de um experimento como quantitativos ou 
qualitativos. Os estatísticos trabalham com os dois tipos, embora os quantitativos sejam 
mais comuns. 
 
Em certos casos, é possível converter dados qualitativos em quantitativos, 
associando um valor numérico a cada resultado. 
 
Suponhamos um espaço amostral S e que a cada ponto amostral seja atribuído um 
número. Fica, então, definida uma função chamada variável aleatória. 
 
Muitas vezes não estamos interessados propriamente no resultado de um 
experimento aleatório, mas em alguma característica numérica a ele associada. 
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Marcelo Abrahão de Mattos 
 
 
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Assim, se o espaço amostral relativo ao "lançamento simultâneo de duas moedas" é 
S = {(ca, ca), (ca, co), (co, ca), (co, co)} e se x representa o "número de caras" que 
aparecem, a cada ponto amostral podemos associar um número para x, de acordo com a 
tabela abaixo (x é a variável aleatória associada ao número de caras observado): 
 
 
 Ponto Amostral x 
(ca, ca) 2 
(ca, co) 1 
(co, ca) 1 
(co, co) 0 
 
Da mesma maneira podemos associar o experimento \u201cretirada de uma lâmpada de 
um lote e observar se é (sim) ou não (não) defeituosa\u201d. Espaço amostral S = {sim, não}e o 
resultado numérico que podemos definir é contar o número de lâmpadas defeituosas, isto é: 
 
 
 Ponto amostral x 
sim 1 
não 0 
 
 
 Temos, então, a seguinte definição: 
 
Variável aleatória é uma função numérica definida em um espaço amostral. 
 
 
31. Valor esperado de uma variável aleatória 
 
Suponha que lancemos um dado equilibrado 300 vezes e anotemos o resultado da 
face de cima. Queremos determinar a média dos valores observados. 
 
Como os resultados possíveis são equiprováveis, é de se esperar que cada um ocorra 
uma quantidade de vezes próximo de 50 (já que são 300 lançamentos e 6 resultados 
possíveis). A média dos valores deve ser então, um valor próximo de: 
 
Média = 
5,3
300
506505504503502501 xxxxxx
 
 
Note que: 
 
Média = (1x1/6)+(2x1/6)+(3x1/6)+(4x1/6)+(5x1/6)+(6x1/6)
JUNIOR
JUNIOR fez um comentário
Ariosvaldo, eu não consigo baixar o arquivo, você poderia me enviar por email?
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Julio
Julio fez um comentário
bom livro
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