Prova1-31102012_Gabarito
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Prova1-31102012_Gabarito


DisciplinaÁlgebra Linear II1.004 materiais8.160 seguidores
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UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Anne, Bruno, Luiz Carlos, Milton, Mo-
nique e Umberto
Data: 31 de outubro de 2012
Primeira Prova
1. Seja P3 o espaço dos polinômios de grau menor ou
igual a 3. A dimensão de P3 é:
(a) 4
(b) 3
(c) 5
(d) 6
2. O sistema linear representado pela matriz aumentada\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 2 1 1
3 3 2 1
1 2 1 \u22121
4 5 3 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb possui solução única.
A soma dos componentes do vetor solução é:
(a) 0
(b) 2
(c) \u22121
(d) 1
3. Sejam ~v e ~w tais que ~v 6= ~w e ~v 6= ~0. Assinale a
afirmativa FALSA:
(a) O conjunto {~v, ~w} é sempre linearmente in-
dependente.
(b) O conjunto de vetores {~v, ~w,~v + ~w} é sempre
linearmente dependente.
(c) O conjunto {~0} é linearmente dependente.
(d) O conjunto {~v} é sempre linearmente indepen-
dente.
4. Seja V o espaço gerado pelos vetores ~v1, ~v2, ~v3 e ~v
um elemento qualquer de V . Assinale a afirmativa
VERDADEIRA:
(a) Existe a, b, c \u2208 R tal que ~v = a~v1 + b~v2 + c~v3.
(b) O conjunto {~v1, ~v2} não pode gerar V .
(c) O conjunto {~v1, ~v2, ~v3, ~v} não é um conjunto ge-
rador de V .
(d) O conjunto {~v1, ~v2, ~v3} é uma base de V .
5. Seja A =
\uf8ee\uf8f02 1 01 1 0
1 1 1
\uf8f9\uf8fb
A soma dos elementos da diagonal da matriz inversa
é:
(a) 4
(b) 5
(c) 3
(d) 2
6. Seja A uma matriz 4 × 4 tal que sua inversa é dada
por \uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 0 1 \u22121
0 2 5 \u22122
1 \u22121 2 \u22123
0 0 1 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
Então, a única solução do sistema linear Ax = b, onde
b = (0, 1,\u22121, 0), é dada por
(a) x = (\u22121,\u22123,\u22123,\u22121)
(b) x = (0, 0, 0, 0)
(c) x = (0, 1,\u22121, 0)
(d) x = (\u22123,\u22121, 0, 2)
7. Considere a transformação linear T : R3 \u2192 R5 defi-
nida por T (x, y, z) = (x,\u2212y+ z, 2x, z, z+ y). A única
matriz A que representa essa transformação, ou seja,
tal que T (~v) = A~v, é dada por
(a)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 0 0
0 \u22121 1
2 0 0
0 0 1
0 1 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
(b)
\uf8ee\uf8f0 1 0 2 0 00 \u22121 0 0 1
0 1 0 1 1
\uf8f9\uf8fb .
(c)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 0 0
\u22121 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
(d)
\uf8ee\uf8f0 1 \u22121 0 0 00 0 1 0 0
0 0 0 0 1
\uf8f9\uf8fb .
8. Seja T : R2 \u2192 R2 a transformação linear definida por
T (x, y) = (2x, 3y). Pode-se afirmar que:
(a) A inversa de T existe e é dada por
T\u22121(x, y) = (x/2, y/3).
(b) T não possui inversa.
(c) A inversa de T existe e é dada por T\u22121(x, y) =
(3x, 2y).
(d) A inversa de T existe e é dada por T\u22121(x, y) =
(\u22122x,\u22123y).
9. Considere o seguinte sistema linear:\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 33
x2 \u2212 x3 + x4 \u2212 179x5 + 23x6 = \u22121
x3 + 179x4 = 6
27x4 \u2212 x5 + x6 = 0
\u2212x5 + 20x6 = 198
\u22125x6 = 79.
Assinale a alternativa correta:
(a) O sistema possui solução única.
(b) O sistema não possui solução.
(c) O sistema possui infinitas soluções.
(d) O vetor nulo é solução do sistema.
Gabarito Pág. 1
10. Considere o seguinte sistema linear:\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x1 \u2212 3x2 + 3x3 = 0\u22123x1 + 5x2 \u2212 x3 = 0
x1 \u2212 2x2 + x3 = 0
A dimensão do conjunto solução desse sistema linear
é:
(a) 1
(b) 0
(c) 2
(d) 3
11. Seja T : R4 \u2192 R5 uma transformação linear injetiva.
Pode-se afirmar que a dimensão de ImT é igual a:
(a) 4
(b) 5
(c) 1
(d) 0
12. Seja T : R2 \u2192 R3 uma transformação linear. Sabendo
que T (2, 0) = (0, 0, 4) e T (1, 2) = (0, 0, 4) assinale a
afirmativa FALSA:
(a) T (3, 2) = (0, 0, 4).
(b) T não é sobrejetiva.
(c) T (x, y) = (0, 0, 2x+ y), para todo (x, y) \u2208 R2.
(d) T não é injetiva.
13. A projeção ortogonal do vetor (1, 2) sobre a reta cuja
direção é dada pelo vetor (2, 1) é:
(a) ( 85 ,
4
5 )
(b) ( 43 ,
2
3 )
(c) (
\u221a
5
5 ,
2
\u221a
5
5 )
(d) ( 2
\u221a
5
5 ,
\u221a
5
5 )
14. Seja T uma transformação linear de Rn em Rm. As-
sinale a afirmativa Falsa:
(a) Se m > n, T pode ser sobrejetiva.
(b) Se m < n, T nunca é injetiva.
(c) Se m 6= n, T pode ser injetiva.
(d) Se m = n, T pode ser bijetiva.
15. Quantas colunas linearmente independentes tem a
matriz
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 5 7 9 11 13 15 17 19
5 8 11 14 17 20 23 26 29
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5
16. Assinale a afirmativa Verdadeira:
(a) Todo subconjunto de um conjunto linear-
mente independente é linearmente inde-
pendente.
(b) Todo subconjunto de um conjunto linearmente
dependente é linearmente dependente.
(c) A interseção de dois conjuntos linearmente inde-
pendentes pode ser linearmente dependente.
(d) A união de dois conjuntos linearmente indepen-
dentes é linearmente independente.
Gabarito Pág. 2
Gabarito dos 447 Testes Gerados
Teste 001: 1D 2C 3C 4A 5B 6A 7C 8D 9D 10D 11B 12A 13B 14C 15B 16C
Teste 002: 1B 2A 3C 4C 5A 6A 7A 8D 9C 10C 11C 12C 13D 14A 15D 16D
Teste 003: 1C 2C 3C 4B 5C 6B 7C 8C 9D 10A 11B 12D 13A 14A 15A 16A
Teste 004: 1D 2C 3D 4B 5C 6C 7D 8D 9A 10B 11C 12A 13B 14D 15A 16D
Teste 005: 1C 2B 3A 4C 5C 6A 7B 8A 9A 10D 11C 12C 13A 14D 15C 16D
Teste 006: 1B 2C 3C 4D 5D 6D 7A 8D 9C 10A 11B 12D 13C 14C 15C 16B
Teste 007: 1D 2C 3C 4C 5D 6C 7C 8C 9D 10B 11B 12A 13B 14D 15D 16A
Teste 008: 1B 2B 3D 4A 5B 6D 7B 8C 9C 10C 11B 12C 13B 14C 15D 16C
Teste 009: 1B 2B 3B 4D 5B 6A 7B 8D 9C 10C 11A 12D 13C 14D 15B 16D
Teste 010: 1C 2B 3B 4C 5C 6D 7B 8C 9B 10C 11B 12C 13B 14D 15A 16A
Teste 011: 1B 2C 3B 4B 5D 6C 7A 8D 9A 10A 11C 12A 13B 14D 15C 16C
Teste 012: 1B 2A 3A 4D 5D 6A 7A 8B 9B 10C 11C 12D 13A 14B 15D 16C
Teste 013: 1C 2A 3D 4A 5A 6A 7D 8B 9B 10A 11D 12A 13D 14D 15C 16B
Teste 014: 1A 2B 3C 4A 5C 6C 7D 8A 9D 10D 11D 12B 13D 14B 15A 16C
Teste 015: 1D 2B 3D 4D 5C 6B 7D 8D 9A 10B 11B 12D 13C 14B 15A 16A
Teste 016: 1B 2D 3B 4A 5C 6C 7B 8C 9B 10B 11A 12C 13B 14C 15D 16A
Teste 017: 1B 2D 3D 4C 5C 6D 7B 8D 9A 10A 11D 12A 13C 14B 15C 16D
Teste 018: 1A 2A 3C 4D 5D 6C 7C 8A 9A 10C 11B 12D 13B 14C 15B 16A
Teste 019: 1A 2B 3B 4D 5B 6C 7D 8C 9D 10C 11C 12B 13A 14D 15D 16A
Teste 020: 1C 2D 3A 4A 5D 6B 7A 8C 9A 10D 11C 12C 13C 14D 15B 16A
Teste 021: 1D 2C 3C 4A 5C 6C 7D 8B 9B 10A 11D 12C 13C 14D 15B 16B
Teste 022: 1A 2A 3C 4A 5C 6C 7C 8D 9B 10C 11B 12A 13C 14B 15D 16D
Teste 023: 1C 2D 3B 4B 5B 6C 7A 8C 9A 10A 11D 12D 13D 14B 15A 16C
Teste 024: 1C 2B 3C 4B 5D 6D 7A 8C 9C 10A 11B 12B 13C 14B 15D 16A
Teste 025: 1C 2D 3C 4D 5A 6B 7C 8A 9D 10D 11A 12D 13A 14C 15C 16B
Teste 026: 1C 2A 3B 4A 5D 6A 7A 8B 9B 10C 11B 12D 13C 14A 15B 16A
Teste 027: 1D 2D 3D 4D 5A 6A 7A 8D 9D 10B 11A 12A 13A 14C 15C 16B
Teste 028: 1B 2D 3B 4D 5A 6D 7D 8D 9B 10A 11A 12A 13A 14C 15D 16A
Teste 029: 1B 2C 3A 4A 5C 6A 7B 8B 9D 10A 11B 12D 13B 14D 15D 16B
Teste 030: 1B 2B 3C 4D 5D 6B 7C 8B 9A 10C 11D 12A 13C 14C 15C 16A
Teste 031: 1B 2C 3B 4D 5B 6A 7A 8B 9D 10C 11D 12C 13C 14B 15D 16C
Teste 032: 1B 2D 3C 4A 5C 6C 7D 8A 9C 10B 11C 12C 13A 14B 15B 16A
Teste 033: 1B 2D 3D 4D 5D 6D 7C 8B 9B 10B 11C 12C 13A 14D 15C 16C
Teste 034: 1D 2A 3A 4C 5C 6A 7C 8D 9C 10A 11D 12D 13B 14D 15B 16A
Teste 035: 1C 2B 3A 4A 5B 6C 7D 8B 9D 10D 11A 12D 13B 14B 15C 16A
Teste 036: 1C 2C 3C 4A 5D 6C 7C 8C 9D 10B 11B 12A 13D 14B 15A 16A
Teste 037: 1D 2C 3C 4C 5D 6D 7A 8C 9A 10C 11C 12B 13A 14A 15D 16B
Teste 038: 1D 2B 3D 4A 5D 6D 7C 8C 9A 10C 11D 12B 13B 14B 15D 16B
Teste 039: 1C 2D 3B 4A 5C 6A 7C 8C 9B 10C 11A 12D 13C 14D 15B 16B
Teste 040: 1A 2A 3C 4B 5A 6A 7C 8A 9B 10D 11B 12A 13B 14C 15D 16C
Teste 041: 1B 2A 3C 4C 5D 6D 7C 8A 9B 10D 11A 12B 13B 14C 15A 16D
Teste 042: 1C 2B 3B 4D 5A 6B 7A 8B 9D 10A 11C 12D 13D 14B 15B 16A
Teste 043: 1A 2A 3D 4C 5A 6D 7A 8C 9D 10B 11B 12D 13D 14A 15A 16B
Teste 044: 1A 2A 3C 4D 5A 6B 7B 8C 9B 10B 11C 12A 13B 14B 15C 16A
Teste 045: 1A 2D 3B 4C 5D 6C 7C 8D 9D 10B 11A 12D 13D 14B 15A 16B
Teste 046: 1A 2B 3D 4C 5D 6A 7A 8D 9C 10C 11B 12D 13A 14A 15D 16D
Teste 047: 1B 2D 3C 4A 5A 6A 7B 8A 9A 10B 11B 12C 13B 14C 15C 16C
Teste 048: 1C 2D 3D 4B 5C 6B 7B 8B 9D 10C 11D 12B 13B 14D 15C 16C
Teste 049: 1D 2B 3A 4A 5C 6D 7C 8C 9C 10B 11D 12A 13D 14A 15D 16D
Teste 050: 1A 2B 3D 4A 5B 6C 7C 8D 9C 10A 11B 12D 13A 14B 15D 16A
Teste 051: 1A 2A 3D 4C 5B 6D 7C 8C 9B 10C 11B 12B 13C 14B 15A 16A
Teste 052: 1B 2C 3C 4C 5D 6C 7B 8D 9B 10B 11A 12C 13D 14A 15B 16A
Teste 053: 1C 2B 3C 4C 5D 6D 7C 8C 9B 10B 11A 12D 13B 14C 15B 16B
Teste 054: 1D 2B 3A 4C 5A 6D 7B 8C 9B 10C 11C 12B 13A 14C 15D 16C
Teste 055: 1D 2B 3C 4B 5A 6A 7B 8B 9A 10C 11C 12C 13A 14B 15D 16D
Teste 056: 1A 2A 3B 4D 5B 6D 7A 8A 9C 10B 11B 12C 13A 14A 15B 16C
Gabarito Pág. 1
Teste 057: 1B 2B 3B 4B 5B 6B 7C 8D 9A 10A 11A 12C 13A 14A 15A 16C
Teste 058: