Exercicios_lista05-forças_axiaisb_GABARITO
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Exercicios_lista05-forças_axiaisb_GABARITO


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Resistência dos Materiais Exercícios de Forças Axiais 
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Exemplo 1- A barra composta de aço A-36 (E=29000 ksi) mostrada na figura abaixo 
está composta por dois segmentos, AB e BD, com áreas da seção transversal AAB=1 
pol
2
 e ABD=2 pol
2
. Determinar o deslocamento vertical da extremidade A e o 
deslocamento de B em relação a C. 
 
 
Solução: 
Dados: 
Eaço = 29000 ksi = 29\uf0b410
6
 psi = 29\uf0b4106 lbf/pol2 
 
Aab = 1 pol
2 
Abd = 2 pol
2 
 
LAB = 2,0 pés = 24 pol 
LBC = 1,5 pés = 18 pol 
LCD = 1,0 pés = 12 pol 
 
PAB = 15 kip = 15000 lbf 
PBC = 7 kip = 7000 lbf 
PCD = \u20139 kip = \u20139000 lbf 
 
 
pol002172,0
21029
187000
AE
LP
AE
LN
pol01272,0
21029
129000
21029
187000
11029
2415000
AE
LP
AE
LP
AE
LP
AE
LN
6B
aço
BCBC
B
n
1i ii
ii
666A
bdaço
CDCD
bdaço
BCBC
abaço
ABAB
A
n
1i ii
ii
\uf03d
\uf0b4\uf0b4
\uf0b4
\uf03d\uf064\uf0de\uf03d\uf064\uf0de\uf03d\uf064
\uf03d
\uf0b4\uf0b4
\uf0b4
\uf02d
\uf0b4\uf0b4
\uf0b4
\uf02b
\uf0b4\uf0b4
\uf0b4
\uf03d\uf064\uf0de
\uf0de\uf02b\uf02b\uf03d\uf064\uf0de\uf03d\uf064
\uf0e5
\uf0e5
\uf03d
\uf03d
 
 
Resposta: O deslocamento da extremidade A é de 0,0127 pol e o deslocamento de B em relação a 
C é de 0,00217 pol. 
 
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4.4. O eixo de bronze C86100 está submetido às cargas axiais mostradas. Determinar 
o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D se os diâmetros de 
cada segmento são dAB = 0,75 pol, dBC = 2 pol e dCD = 0,5 pol. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
Utilizando módulo de elasticidade do bronze = 15×10
6
 psi e as unidades libra-força e polegada, temos: 
pol128,0
4
5,0
1015
368000
4
2
1015
1206000
4
75,0
1015
482000
AE
LN
AE
LN
AE
LN
AE
LN
2
6
2
6
2
6
A
bdCu
CDCD
bdCu
BCBC
abCu
ABAB
ADCDBCAB
n
1i ii
ii
AD
\uf03d
\uf070
\uf0b4\uf0b4
\uf0b4
\uf02d
\uf070
\uf0b4\uf0b4
\uf0b4
\uf02b
\uf070
\uf0b4\uf0b4
\uf0b4
\uf03d\uf064\uf0de
\uf0de\uf02b\uf02b\uf03d\uf064\uf0de\uf064\uf02b\uf064\uf02b\uf064\uf03d\uf03d\uf064 \uf0e5
\uf03d
 
 
 
Resposta: O deslocamento da extremidade A em relação a D é de 0,128 pol. 
 
2 kip 
6 kip 
8 kip 
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4.6- O conjunto consiste de uma haste CB de aço A-36 e de uma haste BA de 
alumínio 6061-T6, cada uma com diâmetro de 1 pol. Se a haste está sujeita a uma 
carga axial P1 = 12 kip em A e P2 = 18 kip na conexão B, determinar o deslocamento 
da conexão e da extremidade A. O comprimento de cada segmento sem alongamento 
é mostrado na figura. Desprezar o tamanho das conexões em B e C e supor que sejam 
rígidas. 
 
Solução: 
Dados: 
Eaço = 29000 ksi = 29\uf0b410
6
 psi = 29\uf0b4106 lbf/pol2 
Ealumínio = 10000 ksi = 10\uf0b410
6
 psi = 10\uf0b4106 lbf/pol2 
 
 
d = 1 pol 
LAB = 4 pés = 48 pol 
LBC = 2 pés = 24 pol 
NAB = P1 = 12 kip = 12000 lbf 
NBC = P1-P2 = 12-18 = -6 kip = -6000 lbf 
 
 
pol00632,0
785398,01029
246000
AE
LN
AE
LN
pol0670,0
785398,01029
246000
785398,01010
4812000
AE
LN
AE
LN
AE
LN
pol785398,0
4
)pol1(
4
d
A
6B
aço
BCBC
B
n
1i ii
ii
66A
aço
BCBC
alumínio
ABAB
A
n
1i ii
ii
2
22
\uf02d\uf03d
\uf0b4\uf0b4
\uf0b4\uf02d
\uf03d\uf064\uf0de\uf03d\uf064\uf0de\uf03d\uf064
\uf03d
\uf0b4\uf0b4
\uf0b4\uf02d
\uf02b
\uf0b4\uf0b4
\uf0b4
\uf03d\uf064\uf0de\uf02b\uf03d\uf064\uf0de\uf03d\uf064
\uf03d
\uf070
\uf03d
\uf070
\uf03d
\uf0e5
\uf0e5
\uf03d
\uf03d
 
 
 
Resposta: O deslocamento da extremidade A é de 0,0670 pol e o deslocamento da conexão é de 
-0,00632 pol. 
 
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4.8- A junta é feita de três chapas de aço A-36 ligadas pelas suas costuras. 
Determinar o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D quando a 
junta é submetida às cargas axiais mostradas. Cada chapa tem espessura de 6 mm. 
 
Solução: 
 
Dados: 
 
a) Esforços normais: 
NAB = NBC = NCD = 50 kN 
 
b) Comprimentos: 
LAB = 600 mm 
LBC = 200 mm 
LCD = 800 mm 
 
c) Módulos de Elasticidade: 
EAB = EBC = ECD = 200 GPa = 200 kN/mm
2
 
 
d) Áreas das seções transversais: 
AAB = 6 mm × 100 mm = 600 mm
2
 
ABC = 3 × (6 mm × 100 mm) = 1800 mm
2
 
ACD = 2 × (6 mm × 100 mm) = 1200 mm
2
 
 
 
Assim: 
mm44444,0
1200200
80050
1800200
20050
600200
60050
AE
LN
AE
LN
AE
LN
AE
LN
AD
CDCD
CDCD
BCBC
BCBC
ABAB
ABAB
CDBCABAD
n
1i ii
ii
\uf03d
\uf0b4
\uf0b4
\uf02b
\uf0b4
\uf0b4
\uf02b
\uf0b4
\uf0b4
\uf03d\uf064
\uf0de\uf02b\uf02b\uf03d\uf064\uf02b\uf064\uf02b\uf064\uf03d\uf064\uf0de\uf03d\uf064 \uf0e5
\uf03d 
 
 
 
Resposta: O deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D quando a junta é 
submetida às cargas axiais indicadas é 0,444 mm. 
 
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Exemplo2 \u2013 Um elemento é feito de um material com peso específico \uf067 e módulo de 
elasticidade E. Supondo que ele tenha formato de cone e as dimensões mostradas na 
figura abaixo, determinar a distância que sua extremidade é deslocada devido à 
gravidade quando suspenso na posição vertical. 
 
 
Solução: 
Força Interna. A força axial interna varia ao longo do elemento, visto que depende do peso W(y) de um 
segmento do elemento abaixo de qualquer seção. Então, para calcular o deslocamento devemos usar a 
equação integral. Na seção localizada a uma distância y da extremidade inferior, o raio x, em função de y, é 
determinado por proporção. Isto é: 
y
L
r
x
L
r
y
x 00 \uf03d\uf0de\uf03d
 
O volume de um cone com raio da base x e altura y é: 
3
2
2
0
2
02 y
L3
r
Vy
L
r
y
3
xy
3
V
\uf070
\uf03d\uf0de\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6\uf070
\uf03d
\uf070
\uf03d
 
Como W = \uf020\uf067V, a força interna na seção torna-se: 
3
2
2
0 y
L3
r
)y(P
\uf070\uf067
\uf03d
 
Deslocamento. A área da seção transversal também é função de y. Logo, 
2
2
2
02 y
L
r
x)y(A
\uf070
\uf03d\uf070\uf03d
 
Aplicando a equação integral para cálculo do alongamento entre os limites y=0 e y=L, temos: 
E6
L
dyy
E3
y
L
r
E
dyy
L3
r
)y(AE
dy)y(P 2
L
0
L
0 2
2
2
0
3
2
2
0
L
0
\uf067
\uf03d\uf064\uf0de
\uf067
\uf03d
\uf070
\uf070\uf067
\uf03d\uf03d\uf064 \uf0f2\uf0f2\uf0f2 
Resposta: A extremidade do cone se deslocará de \uf067L2/(6E) devido à gravidade quando suspenso na 
posição vertical 
 
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4.28. A haste é ligeiramente cônica e tem comprimento L. Está suspensa do teto e 
suporta uma carga P em sua extremidade. Mostrar que o deslocamento de sua 
extremidade devido a essa carga é \uf064 = PL/(\uf070Er1r2). Desprezar o peso do material. O 
módulo de elasticidade é E. 
 
Solução: 
Variação do raio r(x): da extremidade livre da haste (x=0) até o apoio (x=L) 
1
12 rx
L
rr
)x(r \uf02b
\uf02d
\uf03d
 
 
Área da seção transversal distante x da extremidade: 
\uf028 \uf02921122
2
1
122 Lrxrr
L
)x(Arx
L
rr
)x(r)x(A \uf02b\uf02d
\uf070
\uf03d\uf05c\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02b
\uf02d
\uf070\uf03d\uf070\uf03d
 
 
Deslocamento da extremidade livre ou alongamento da haste: 
\uf028 \uf029\uf05b \uf05d \uf028 \uf029\uf05b \uf05d \uf028 \uf029
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029
21
21
12
12
2
21
21
12
2
1212
2
L
012112
2L
0
2
1122
L
0
rrE
LP
Lrr
rr
rrE
LP
Lrr
rr
rrE
LP
Lr
1
Lr
1
rrE
LP
rr
1
Lrxrr
1
E
LP
Lrxrr
L
E
dxP
)x(AE
dxP
\uf070
\uf03d\uf064\uf05c
\uf0f7\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02d
\uf02d\uf070
\uf03d\uf0f7\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02d
\uf02d\uf070
\uf02d\uf03d\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02d
\uf02d\uf070
\uf02d\uf03d
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02d
\uf0d7
\uf02b\uf02d\uf070
\uf02d\uf03d
\uf02b\uf02d
\uf070
\uf03d\uf03d\uf064 \uf0f2\uf0f2
 
 
Resposta: O deslocamento da extremidade da haste devido a carga P é \uf064 = PL/(\uf070Er1r2), c.q.d.