Prova2-26112012_Gabarito (1)
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Prova2-26112012_Gabarito (1)

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Universidade Federal do Rio de Janeiro

Instituto de Matemática

Disciplina: Álgebra Linear II

Professor: Anne, Bruno, Luiz Carlos, Milton,

Monique e Umberto

Data: 26 de novembro de 2012

Segunda Prova

1. Seja A uma matriz n × n. Assinale a alternativa
FALSA:

(a) det(A+B) = det(A) + det(B)

(b) det(3A) = 3n detA

(c) Se as linhas da matriz A são linearmente depen-
dentes então det(A) = 0

(d) det(AT ) = det(A)

2. Seja T : R3 → R3 a transformação linear dada por
T (x, y, z) = (2x, x + z, z). Assinale a alternativa
FALSA:

(a) Se det(T − λI) 6= 0 então λ é um autovalor
de T

(b) Os autovalores de T são 0, 1 e 2

(c) (0, 1, 1) é um autovetor de T associado ao auto-
valor 1

(d) (0, 1, 0) é um autovetor de T associado ao auto-
valor 0

3. Seja P2 o espaço dos polinômios de grau menor ou
igual a dois e V = {p ∈ P2 : p(1) = 0}. Assinale a
alternativa VERDADEIRA:

(a) V é subespaço vetorial de P2 e {x−1, x2−1}
é uma base de V
(b) O polinômio p(x) = 2 + x+ x2 pertence a V
(c) V é subespaço vetorial de P2 e tem dimensão
igual a 4

(d) V não é subespaço vetorial de P2

4. Supondo que A e B são matrizes e a multiplicação é
possível, assinale a alternativa FALSA:

(a) Se a primeira e terceira linha de B são
iguais então a primeira e terceira linha de

AB são iguais

(b) Se a primeira e terceira coluna de B são iguais
então a primeira e terceira coluna de AB são
iguais

(c) Se a primeira e terceira linha de A são iguais
então a primeira e terceira linha deAB são iguais

(d) Se A e B são matrizes triângulares inferiores o
produto AB é uma matriz triângular inferior

5. Determine o valor de c para que o sistema linear Ax =

b, A =

 2 2 4−2 −3 1
0 −1 5


e b =

 4−5
c


tenha solução

(a) −1
(b) 9

(c) −6
(d) 14

6. Das matrizes abaixo, assinale a que é invertível:

(a)


1 1 1 1
1 1 1 0
1 0 1 0
1 0 0 0



(b)


1 1 1 1
1 1 1 1
1 0 1 1
1 0 0 1



(c)


1 1 1 1
1 1 1 0
1 0 1 0
2 0 2 0



(d)


1 1 2 1
1 1 2 0
1 0 0 0
1 0 0 0


7. Assinale a alternativa VERDADEIRA:

(a) As matrizes

{[
1 0
1 0

]
,

[
0 0
1 0

]
,

[
0 1
0 1

]
,

[
0 1
1 0

]}
Formam uma base para o espaço das ma-

trizes

2 x 2

(b) Se V e W são subespaços vetoriais de R5 de di-
mensão 3 então o único vetor em comum é o
vetor (0, 0, 0, 0, 0)

(c) A dimensão do espaço das matrizes simétricas

2 x 2 é 4

(d) Se os vetores ~v1, ~v2, ~v3 são linearmente depen-
dentes então os vetores

~w1 = ~v1 + ~v2, ~w2 = ~v1 + ~v3, ~w3 = ~v2 + ~v3 são
linearmente independentes

8. Assinale a alternativa FALSA:

(a) Seja A uma matriz 8x10 e o núcleo de A um
espaço de dimensão 2. O sistema Ax = b
pode não ter solução

(b) Se Ax = b sempre tem pelo menos uma solução
então a única solução de ATx = ~0 é x = ~0

(c) Se A e AT tem o mesmo núcleo então a matriz
A é quadrada

(d) Seja A uma matriz 10x8 e o núcleo de A um
espaço de dimensão 2. O sistema Ax = b pode
não ter solução

Gabarito Pág. 1

9. Seja A uma matriz quadrada. Assinale a alternativa
VERDADEIRA:

(a) Se os autovalores de A são diferentes de
zero, então A é sobrejetiva

(b) Se os autovalores de A são diferentes de zero,
então os coeficientes de A são diferentes de zero

(c) Se os coeficientes de A são diferentes de zero,
então os autovalores de A são diferentes de zero

(d) Se os coeficientes de A são diferentes de zero,
então A é injetiva

10. Seja A uma matriz 2x2. Assinale a alternativa VER-
DADEIRA:

(a) A pode não ter autovetores

(b) A sempre possui dois autovetores linearmente in-
dependentes

(c) A sempre possui dois autovetores

(d) A pode ter apenas um autovetor

11. Os autovalores da matriz

[
5 −3
6 −4

]
são:

(a) 2 e −1
(b) 5 e − 25
(c) 2 e 12
(d) −4 e 1

12. Os autovalores da matriz

[−5 4
−8 7

]
são:

(a) −1 e 3
(b) −1 e 2
(c) 1 e 2

(d) 1 e −3

13. Seja A uma matrix 2 × 2. Assinale a alternativa
FALSA:

(a) Se detA < 0 então os autovalores de A po-
dem ser 0 e 2

(b) Se detA = 0 então 0 é autovalor

(c) A pode não possuir autovetores

(d) A pode ter apenas o autovalor 1 e não ser a ma-
triz identidade

14. Considere

A =

1 0 02 0 0
1 3 0

 e2 =
01
0

 .
Marque a alternativa VERDADEIRA:

(a) O sistema Ax = e2 não possui solução

(b) O núcleo de A tem dimensão 2

(c) A possui três autovalores distintos

(d) A é invertível

15. A matriz que representa a transformação linear

T : R3 → R3 definida por
T (x, y, z) = (2x+ 4y,−5x− 3y, 3z) é

(a)

 2 4 0−5 −3 0
0 0 3


(b)

 2 −5 04 −3 0
0 0 3


(c)

 2 0 4−5 0 −3
0 3 0


(d)

 2 0 −54 0 −3
0 3 0



Gabarito Pág. 2

Gabarito dos 405 Testes Gerados

Teste 001: 1D 2C 3C 4A 5D 6C 7B 8C 9B 10B 11B 12A 13B 14A 15C

Teste 002: 1D 2D 3B 4B 5B 6B 7B 8C 9D 10D 11C 12C 13A 14D 15A

Teste 003: 1A 2B 3B 4D 5D 6D 7A 8B 9C 10B 11C 12C 13C 14B 15C

Teste 004: 1C 2C 3A 4D 5A 6B 7C 8B 9A 10D 11D 12C 13B 14C 15B

Teste 005: 1C 2C 3D 4A 5D 6B 7D 8D 9D 10B 11B 12A 13C 14B 15C

Teste 006: 1B 2B 3C 4D 5A 6D 7D 8B 9D 10B 11C 12D 13A 14B 15A

Teste 007: 1D 2C 3C 4C 5D 6D 7B 8D 9B 10B 11A 12B 13C 14D 15A

Teste 008: 1B 2C 3A 4A 5B 6B 7D 8C 9D 10D 11D 12C 13C 14A 15B

Teste 009: 1B 2C 3B 4D 5D 6D 7B 8D 9B 10C 11C 12B 13D 14B 15A

Teste 010: 1C 2C 3D 4A 5C 6C 7A 8B 9C 10A 11B 12A 13A 14D 15D

Teste 011: 1B 2C 3A 4D 5A 6D 7A 8D 9B 10A 11C 12B 13A 14C 15D

Teste 012: 1D 2D 3C 4C 5C 6A 7A 8A 9C 10D 11A 12D 13A 14C 15B

Teste 013: 1B 2A 3B 4C 5C 6D 7A 8D 9C 10A 11D 12B 13C 14C 15B

Teste 014: 1C 2C 3A 4B 5D 6C 7D 8A 9A 10C 11A 12C 13D 14A 15D

Teste 015: 1D 2A 3A 4C 5D 6B 7C 8C 9C 10B 11A 12D 13A 14C 15D

Teste 016: 1B 2B 3C 4D 5C 6B 7C 8D 9D 10B 11B 12D 13C 14A 15C

Teste 017: 1D 2C 3C 4D 5C 6C 7A 8B 9B 10C 11A 12D 13B 14D 15B

Teste 018: 1A 2B 3A 4D 5A 6A 7A 8D 9C 10B 11D 12B 13D 14B 15C

Teste 019: 1B 2B 3A 4D 5A 6C 7A 8A 9D 10D 11D 12A 13C 14D 15D

Teste 020: 1B 2B 3C 4B 5C 6C 7C 8C 9D 10A 11D 12D 13B 14B 15B

Teste 021: 1B 2D 3C 4A 5B 6B 7D 8C 9C 10D 11D 12D 13A 14A 15B

Teste 022: 1D 2D 3D 4A 5C 6B 7D 8B 9D 10C 11B 12B 13B 14C 15C

Teste 023: 1A 2B 3B 4B 5A 6C 7A 8C 9A 10A 11C 12B 13C 14C 15B

Teste 024: 1B 2B 3B 4B 5C 6C 7D 8C 9B 10C 11D 12D 13C 14D 15D

Teste 025: 1D 2B 3C 4B 5A 6B 7B 8B 9D 10A 11C 12D 13A 14A 15C

Teste 026: 1C 2A 3A 4B 5D 6A 7A 8B 9D 10B 11A 12C 13B 14C 15B

Teste 027: 1B 2C 3B 4C 5A 6B 7A 8B 9B 10C 11A 12D 13D 14C 15D

Teste 028: 1C 2D 3B 4B 5C 6C 7C 8C 9D 10D 11B 12B 13A 14A 15A

Teste 029: 1C 2D 3A 4B 5C 6C 7A 8D 9B 10A 11C 12C 13B 14D 15B

Teste 030: 1D 2C 3B 4B 5D 6D 7B 8D 9D 10B 11A 12A 13A 14A 15C

Teste 031: 1A 2A 3D 4B 5B 6C 7A 8B 9D 10A 11D 12C 13D 14C 15A

Teste 032: 1C 2A 3B 4A 5A 6A 7B 8C 9A 10B 11C 12B 13B 14D 15C

Teste 033: 1D 2B 3C 4D 5C 6B 7B 8C 9A 10A 11A 12A 13A 14D 15B

Teste 034: 1A 2B 3C 4D 5A 6B 7B 8B 9D 10A 11D 12D 13D 14C 15A

Teste 035: 1C 2B 3B 4C 5B 6C 7B 8D 9D 10B 11C 12C 13A 14A 15A

Teste 036: 1A 2B 3D 4B 5A 6C 7A 8C 9C 10D 11A 12B 13A 14C 15D

Teste 037: 1D 2C 3D 4D 5B 6B 7A 8D 9C 10D 11A 12C 13A 14A 15A

Teste 038: 1B 2B 3B 4C 5A 6D 7A 8B 9A 10A 11C 12B 13D 14A 15C

Teste 039: 1B 2D 3D 4D 5B 6B 7A 8D 9C 10D 11A 12A 13A 14A 15C

Teste 040: 1D 2C 3D 4C 5C 6D 7A 8D 9B 10C 11B 12B 13A 14B 15C

Teste 041: 1B 2C 3B 4D 5B 6B 7B 8C 9C 10C 11D 12C 13A 14A 15A

Teste 042: 1D 2A 3B 4D 5C 6A 7C 8A 9B 10C 11B 12B 13A 14A 15D

Teste 043: 1A 2B 3A 4C 5B 6C 7A 8D 9A 10D 11C 12C 13B 14B 15D

Teste 044: 1B 2D 3C 4D 5C 6D 7D 8D 9C 10B 11C 12C 13A 14D 15A

Teste 045: 1D 2C 3A 4C 5A 6D 7B 8D 9A 10B 11A 12C 13C 14D 15B

Teste 046: 1B 2A 3B 4A 5D 6D 7A 8B 9D 10B 11A 12B 13C 14A 15C

Teste 047: 1B 2D 3A 4B 5B 6A 7C 8B 9A 10D 11C 12A 13A 14C 15C

Teste 048: 1A 2C 3A 4B 5B 6A 7D 8C 9B 10D 11A 12B 13A 14C 15B

Teste 049: 1B 2A 3D 4A 5C 6A 7A 8A 9C 10A 11B 12B 13B 14C 15C

Teste 050: 1B 2D 3C 4A 5B 6D 7B 8A 9D 10D 11C 12D 13C 14B 15B

Teste 051: 1B 2A 3B 4B 5A 6D 7A 8C 9A 10A 11B 12B 13D 14D 15D

Teste 052: 1D 2D 3D 4B 5C 6B 7B 8A 9A 10D 11D 12B 13C 14B 15C

Teste 053: 1C 2A 3C 4C 5B 6B 7A 8C 9B 10B 11C 12D 13A 14D 15B

Teste 054: 1B 2D 3B 4A 5D 6C 7D 8C 9D 10D 11A 12B 13C 14B 15C

Teste 055: 1A 2C 3C 4A 5D 6C 7D 8A 9B 10C 11C 12A 13B 14A 15B

Teste 056: 1A 2B 3C 4D 5A 6C