Prova2-26112012_Gabarito (1)
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Prova2-26112012_Gabarito (1)


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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Anne, Bruno, Luiz Carlos, Milton,
Monique e Umberto
Data: 26 de novembro de 2012
Segunda Prova
1. Seja A uma matriz n × n. Assinale a alternativa
FALSA:
(a) det(A+B) = det(A) + det(B)
(b) det(3A) = 3n detA
(c) Se as linhas da matriz A são linearmente depen-
dentes então det(A) = 0
(d) det(AT ) = det(A)
2. Seja T : R3 \u2192 R3 a transformação linear dada por
T (x, y, z) = (2x, x + z, z). Assinale a alternativa
FALSA:
(a) Se det(T \u2212 \u3bbI) 6= 0 então \u3bb é um autovalor
de T
(b) Os autovalores de T são 0, 1 e 2
(c) (0, 1, 1) é um autovetor de T associado ao auto-
valor 1
(d) (0, 1, 0) é um autovetor de T associado ao auto-
valor 0
3. Seja P2 o espaço dos polinômios de grau menor ou
igual a dois e V = {p \u2208 P2 : p(1) = 0}. Assinale a
alternativa VERDADEIRA:
(a) V é subespaço vetorial de P2 e {x\u22121, x2\u22121}
é uma base de V
(b) O polinômio p(x) = 2 + x+ x2 pertence a V
(c) V é subespaço vetorial de P2 e tem dimensão
igual a 4
(d) V não é subespaço vetorial de P2
4. Supondo que A e B são matrizes e a multiplicação é
possível, assinale a alternativa FALSA:
(a) Se a primeira e terceira linha de B são
iguais então a primeira e terceira linha de
AB são iguais
(b) Se a primeira e terceira coluna de B são iguais
então a primeira e terceira coluna de AB são
iguais
(c) Se a primeira e terceira linha de A são iguais
então a primeira e terceira linha deAB são iguais
(d) Se A e B são matrizes triângulares inferiores o
produto AB é uma matriz triângular inferior
5. Determine o valor de c para que o sistema linear Ax =
b, A =
\uf8ee\uf8f0 2 2 4\u22122 \u22123 1
0 \u22121 5
\uf8f9\uf8fb
e b =
\uf8ee\uf8f0 4\u22125
c
\uf8f9\uf8fb
tenha solução
(a) \u22121
(b) 9
(c) \u22126
(d) 14
6. Das matrizes abaixo, assinale a que é invertível:
(a)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 1 1 1
1 1 1 0
1 0 1 0
1 0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
(b)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 1 1 1
1 1 1 1
1 0 1 1
1 0 0 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
(c)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 1 1 1
1 1 1 0
1 0 1 0
2 0 2 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
(d)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 1 2 1
1 1 2 0
1 0 0 0
1 0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
7. Assinale a alternativa VERDADEIRA:
(a) As matrizes
{[
1 0
1 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 1
0 1
]
,
[
0 1
1 0
]}
Formam uma base para o espaço das ma-
trizes
2 x 2
(b) Se V e W são subespaços vetoriais de R5 de di-
mensão 3 então o único vetor em comum é o
vetor (0, 0, 0, 0, 0)
(c) A dimensão do espaço das matrizes simétricas
2 x 2 é 4
(d) Se os vetores ~v1, ~v2, ~v3 são linearmente depen-
dentes então os vetores
~w1 = ~v1 + ~v2, ~w2 = ~v1 + ~v3, ~w3 = ~v2 + ~v3 são
linearmente independentes
8. Assinale a alternativa FALSA:
(a) Seja A uma matriz 8x10 e o núcleo de A um
espaço de dimensão 2. O sistema Ax = b
pode não ter solução
(b) Se Ax = b sempre tem pelo menos uma solução
então a única solução de ATx = ~0 é x = ~0
(c) Se A e AT tem o mesmo núcleo então a matriz
A é quadrada
(d) Seja A uma matriz 10x8 e o núcleo de A um
espaço de dimensão 2. O sistema Ax = b pode
não ter solução
Gabarito Pág. 1
9. Seja A uma matriz quadrada. Assinale a alternativa
VERDADEIRA:
(a) Se os autovalores de A são diferentes de
zero, então A é sobrejetiva
(b) Se os autovalores de A são diferentes de zero,
então os coe\ufb01cientes de A são diferentes de zero
(c) Se os coe\ufb01cientes de A são diferentes de zero,
então os autovalores de A são diferentes de zero
(d) Se os coe\ufb01cientes de A são diferentes de zero,
então A é injetiva
10. Seja A uma matriz 2x2. Assinale a alternativa VER-
DADEIRA:
(a) A pode não ter autovetores
(b) A sempre possui dois autovetores linearmente in-
dependentes
(c) A sempre possui dois autovetores
(d) A pode ter apenas um autovetor
11. Os autovalores da matriz
[
5 \u22123
6 \u22124
]
são:
(a) 2 e \u22121
(b) 5 e \u2212 25
(c) 2 e 12
(d) \u22124 e 1
12. Os autovalores da matriz
[\u22125 4
\u22128 7
]
são:
(a) \u22121 e 3
(b) \u22121 e 2
(c) 1 e 2
(d) 1 e \u22123
13. Seja A uma matrix 2 × 2. Assinale a alternativa
FALSA:
(a) Se detA < 0 então os autovalores de A po-
dem ser 0 e 2
(b) Se detA = 0 então 0 é autovalor
(c) A pode não possuir autovetores
(d) A pode ter apenas o autovalor 1 e não ser a ma-
triz identidade
14. Considere
A =
\uf8ee\uf8f01 0 02 0 0
1 3 0
\uf8f9\uf8fb e2 =
\uf8ee\uf8f001
0
\uf8f9\uf8fb .
Marque a alternativa VERDADEIRA:
(a) O sistema Ax = e2 não possui solução
(b) O núcleo de A tem dimensão 2
(c) A possui três autovalores distintos
(d) A é invertível
15. A matriz que representa a transformação linear
T : R3 \u2192 R3 de\ufb01nida por
T (x, y, z) = (2x+ 4y,\u22125x\u2212 3y, 3z) é
(a)
\uf8ee\uf8f0 2 4 0\u22125 \u22123 0
0 0 3
\uf8f9\uf8fb
(b)
\uf8ee\uf8f0 2 \u22125 04 \u22123 0
0 0 3
\uf8f9\uf8fb
(c)
\uf8ee\uf8f0 2 0 4\u22125 0 \u22123
0 3 0
\uf8f9\uf8fb
(d)
\uf8ee\uf8f0 2 0 \u221254 0 \u22123
0 3 0
\uf8f9\uf8fb
Gabarito Pág. 2
Gabarito dos 405 Testes Gerados
Teste 001: 1D 2C 3C 4A 5D 6C 7B 8C 9B 10B 11B 12A 13B 14A 15C
Teste 002: 1D 2D 3B 4B 5B 6B 7B 8C 9D 10D 11C 12C 13A 14D 15A
Teste 003: 1A 2B 3B 4D 5D 6D 7A 8B 9C 10B 11C 12C 13C 14B 15C
Teste 004: 1C 2C 3A 4D 5A 6B 7C 8B 9A 10D 11D 12C 13B 14C 15B
Teste 005: 1C 2C 3D 4A 5D 6B 7D 8D 9D 10B 11B 12A 13C 14B 15C
Teste 006: 1B 2B 3C 4D 5A 6D 7D 8B 9D 10B 11C 12D 13A 14B 15A
Teste 007: 1D 2C 3C 4C 5D 6D 7B 8D 9B 10B 11A 12B 13C 14D 15A
Teste 008: 1B 2C 3A 4A 5B 6B 7D 8C 9D 10D 11D 12C 13C 14A 15B
Teste 009: 1B 2C 3B 4D 5D 6D 7B 8D 9B 10C 11C 12B 13D 14B 15A
Teste 010: 1C 2C 3D 4A 5C 6C 7A 8B 9C 10A 11B 12A 13A 14D 15D
Teste 011: 1B 2C 3A 4D 5A 6D 7A 8D 9B 10A 11C 12B 13A 14C 15D
Teste 012: 1D 2D 3C 4C 5C 6A 7A 8A 9C 10D 11A 12D 13A 14C 15B
Teste 013: 1B 2A 3B 4C 5C 6D 7A 8D 9C 10A 11D 12B 13C 14C 15B
Teste 014: 1C 2C 3A 4B 5D 6C 7D 8A 9A 10C 11A 12C 13D 14A 15D
Teste 015: 1D 2A 3A 4C 5D 6B 7C 8C 9C 10B 11A 12D 13A 14C 15D
Teste 016: 1B 2B 3C 4D 5C 6B 7C 8D 9D 10B 11B 12D 13C 14A 15C
Teste 017: 1D 2C 3C 4D 5C 6C 7A 8B 9B 10C 11A 12D 13B 14D 15B
Teste 018: 1A 2B 3A 4D 5A 6A 7A 8D 9C 10B 11D 12B 13D 14B 15C
Teste 019: 1B 2B 3A 4D 5A 6C 7A 8A 9D 10D 11D 12A 13C 14D 15D
Teste 020: 1B 2B 3C 4B 5C 6C 7C 8C 9D 10A 11D 12D 13B 14B 15B
Teste 021: 1B 2D 3C 4A 5B 6B 7D 8C 9C 10D 11D 12D 13A 14A 15B
Teste 022: 1D 2D 3D 4A 5C 6B 7D 8B 9D 10C 11B 12B 13B 14C 15C
Teste 023: 1A 2B 3B 4B 5A 6C 7A 8C 9A 10A 11C 12B 13C 14C 15B
Teste 024: 1B 2B 3B 4B 5C 6C 7D 8C 9B 10C 11D 12D 13C 14D 15D
Teste 025: 1D 2B 3C 4B 5A 6B 7B 8B 9D 10A 11C 12D 13A 14A 15C
Teste 026: 1C 2A 3A 4B 5D 6A 7A 8B 9D 10B 11A 12C 13B 14C 15B
Teste 027: 1B 2C 3B 4C 5A 6B 7A 8B 9B 10C 11A 12D 13D 14C 15D
Teste 028: 1C 2D 3B 4B 5C 6C 7C 8C 9D 10D 11B 12B 13A 14A 15A
Teste 029: 1C 2D 3A 4B 5C 6C 7A 8D 9B 10A 11C 12C 13B 14D 15B
Teste 030: 1D 2C 3B 4B 5D 6D 7B 8D 9D 10B 11A 12A 13A 14A 15C
Teste 031: 1A 2A 3D 4B 5B 6C 7A 8B 9D 10A 11D 12C 13D 14C 15A
Teste 032: 1C 2A 3B 4A 5A 6A 7B 8C 9A 10B 11C 12B 13B 14D 15C
Teste 033: 1D 2B 3C 4D 5C 6B 7B 8C 9A 10A 11A 12A 13A 14D 15B
Teste 034: 1A 2B 3C 4D 5A 6B 7B 8B 9D 10A 11D 12D 13D 14C 15A
Teste 035: 1C 2B 3B 4C 5B 6C 7B 8D 9D 10B 11C 12C 13A 14A 15A
Teste 036: 1A 2B 3D 4B 5A 6C 7A 8C 9C 10D 11A 12B 13A 14C 15D
Teste 037: 1D 2C 3D 4D 5B 6B 7A 8D 9C 10D 11A 12C 13A 14A 15A
Teste 038: 1B 2B 3B 4C 5A 6D 7A 8B 9A 10A 11C 12B 13D 14A 15C
Teste 039: 1B 2D 3D 4D 5B 6B 7A 8D 9C 10D 11A 12A 13A 14A 15C
Teste 040: 1D 2C 3D 4C 5C 6D 7A 8D 9B 10C 11B 12B 13A 14B 15C
Teste 041: 1B 2C 3B 4D 5B 6B 7B 8C 9C 10C 11D 12C 13A 14A 15A
Teste 042: 1D 2A 3B 4D 5C 6A 7C 8A 9B 10C 11B 12B 13A 14A 15D
Teste 043: 1A 2B 3A 4C 5B 6C 7A 8D 9A 10D 11C 12C 13B 14B 15D
Teste 044: 1B 2D 3C 4D 5C 6D 7D 8D 9C 10B 11C 12C 13A 14D 15A
Teste 045: 1D 2C 3A 4C 5A 6D 7B 8D 9A 10B 11A 12C 13C 14D 15B
Teste 046: 1B 2A 3B 4A 5D 6D 7A 8B 9D 10B 11A 12B 13C 14A 15C
Teste 047: 1B 2D 3A 4B 5B 6A 7C 8B 9A 10D 11C 12A 13A 14C 15C
Teste 048: 1A 2C 3A 4B 5B 6A 7D 8C 9B 10D 11A 12B 13A 14C 15B
Teste 049: 1B 2A 3D 4A 5C 6A 7A 8A 9C 10A 11B 12B 13B 14C 15C
Teste 050: 1B 2D 3C 4A 5B 6D 7B 8A 9D 10D 11C 12D 13C 14B 15B
Teste 051: 1B 2A 3B 4B 5A 6D 7A 8C 9A 10A 11B 12B 13D 14D 15D
Teste 052: 1D 2D 3D 4B 5C 6B 7B 8A 9A 10D 11D 12B 13C 14B 15C
Teste 053: 1C 2A 3C 4C 5B 6B 7A 8C 9B 10B 11C 12D 13A 14D 15B
Teste 054: 1B 2D 3B 4A 5D 6C 7D 8C 9D 10D 11A 12B 13C 14B 15C
Teste 055: 1A 2C 3C 4A 5D 6C 7D 8A 9B 10C 11C 12A 13B 14A 15B
Teste 056: 1A 2B 3C 4D 5A 6C