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# Corr_Regr_2012

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```Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(> |t|)
(Intercept) 2.4230444 0.4809646 5.038 8.55e-05 ***
X 0.0087293 0.0006397 13.646 6.21e-11 ***
Residual standard error: 0.5015 on 18 degrees of freedom Multiple
R-Squared: 0.9119, Adjusted R-squared: 0.907 F-statistic:
186.2 on 1 and 18 DF, p-value: 6.206e \u2212 11
() MRLS 2012 48 / 63
Ana´lise de Regressa\u2dco
Ana´lise de Regressa\u2dco com o R
> anova(fit)
Analysis of Variance Table
Response: Y
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(> F )
X 1 46.834 46.834 186.22 6.206e-11 ***
Residuals 18 4.527 0.251
() MRLS 2012 49 / 63
Ana´lise de Regressa\u2dco
Intervalo de confianc¸a para \u3b20 e \u3b21
Se para o MRLS e´ va´lida a suposic¸a\u2dco de que os \u3b5i \u223c NID(0, \u3c32), enta\u2dco
(\u3b2\u2c61 \u2212 \u3b21)/
\u221a
QMR/Sxx e (\u3b2\u2c60 \u2212 \u3b20)/
\u221a
QMR[
1
n
+
x¯2
Sxx
]
sa\u2dco varia´veis aleato´rias com distribuic¸a\u2dco t-Student com n \u2212 2 graus de
Um intervalo de 100(1\u2212 \u3b1)% de confianc¸a para \u3b21 :
IC (\u3b21; 1\u2212 \u3b1) =
(
\u3b2\u2c61 \u2212 t\u3b12 , n\u22122
\u221a
QMR
Sxx
; \u3b2\u2c61 + t\u3b12 , n\u22122
\u221a
QMR
Sxx
)
() MRLS 2012 50 / 63
Ana´lise de Regressa\u2dco
Intervalo de confianc¸a para \u3b20
De modo similar, um intervalo de 100(1\u2212 \u3b1)% de confianc¸a para \u3b20 e´
IC (\u3b20; 1\u2212 \u3b1) =
\uf8eb\uf8ed\u3b2\u2c60 \u2212 t\u3b1
2
, n\u22122
\u221a
QMR[
1
n
+
x¯2
Sxx
]
\u3b2\u2c60 + t\u3b1
2
, n\u22122
\u221a
QMR[
1
n
+
x¯2
Sxx
]
\uf8f6\uf8f8
A seguir e´ obtido um intervalo de 95% de confianc¸a para a inclinac¸a\u2dco do
MRLS com os dados do exemplo 1,
() MRLS 2012 51 / 63
Ana´lise de Regressa\u2dco
Relembre que n = 20, \u3b2\u2c61 = 0, 00873, Sxx = 614, 603 e QMR = 0, 2513.
Para 1\u2212 \u3b1 = 0, 95, tem-se t0,025, 18 = 2, 101.
IC (\u3b21; 0, 95) = (\u3b2\u2c61 \u2212 E ; \u3b2\u2c61 + E )
E = t0,025,18
\u221a
QMR
Sxx
= 2, 101
\u221a
0,2513
614.603 = 0, 00134
IC (\u3b21; 0, 95) = (0, 00873\u2212 0, 00134; 0, 00873 + 0, 00134)
= (0, 00739; 0, 01007)
() MRLS 2012 52 / 63
Ana´lise de Regressa\u2dco
Intervalo de confianc¸a para resposta me´dia
O interesse consiste em estimar um intervalo de confianc¸a para
E (Y |X = x0) = µY |x0 = \u3b20 + \u3b21x0.
Um estimador pontual de µY |x0 e´
µ\u2c6Y |xo = Y\u2c6 = \u3b2\u2c60 + \u3b2\u2c61x0.
Se \u3b5i \u223c NID(0, \u3c32) e´ va´lida, pode-se demonstrar
T =
µ\u2c6Y |xo \u2212 µY |xo\u221a
QMR
[
1
n +
(x0\u2212x¯)2
Sxx
] \u223c t(n \u2212 2)
() MRLS 2012 53 / 63
Ana´lise de Regressa\u2dco
Int. conf. 100(1\u2212 \u3b1)% para µY |x0
IC (µ\u2c6Y |x ; 1\u2212 \u3b1) =
(
µ\u2c6Y |xo \u2212 E ; µ\u2c6Y |xo + E
)
onde E = t\u3b1
2
, n\u22122
\u221a
QMR[ 1n +
(x0\u2212x¯)2
Sxx
]
Exemplo: Suponha que tem-se interesse em construir um intervalo de
95% de confianc¸a da venda, me´dia, semanal para todos supermercados
com 600 clientes.
No modelo ajustado µ\u2c6Y |x0 = 2, 423 + 0, 00873x0. Para x0 = 600, obte´m-se
µ\u2c6Y |x0 = 7, 661.
() MRLS 2012 54 / 63
Ana´lise de Regressa\u2dco
Int. conf. 100(1\u2212 \u3b1)% para µY |x0
Tambe´m, x¯ = 731, 15, QMR = 0, 2513, Sxx = 614.603, n = 20
e 1\u2212 \u3b1 = 0, 95 \u21d2 t0,05,18 = 2, 101.
E = 2, 101
\u221a
0, 2513[ 120 +
(600\u2212731,15)2
614.603 ] = 0, 292
IC (µY |x0 ; 0, 95) = (7, 661\u2212 0, 292; 7, 661 + 0, 292)
= (7, 369; 7, 935)
() MRLS 2012 55 / 63
Ana´lise de Regressa\u2dco
Previsa\u2dco de novas observac¸o\u2dces
Uma aplicac¸a\u2dco muito importante de um modelo de regressa\u2dco e´ a previsa\u2dco
de novas ou futuras observac¸o\u2dces de Y , (Y0) correspondente a um dado
valor da varia´vel explicativa X , x0, enta\u2dco
Y\u2c60 = \u3b2\u2c60 + \u3b2\u2c61x0
e´ o melhor estimador pontual de Y0.
Um intervalo de 100(1\u2212 \u3b1)% de confianc¸a para uma futura observac¸a\u2dco e´
IC (Y0; 1\u2212 \u3b1) = (Y\u2c6 \u2212 E ; Y\u2c6 + E )
onde E = t\u3b1
2
, n\u22122
\u221a
QMR[1 + 1n +
(x0\u2212x¯)2
Sxx
]
() MRLS 2012 56 / 63
Ana´lise de Regressa\u2dco
Exemplo
Suponha agora, tem-se interesse em encontrar um intervalo de previsa\u2dco de
95% das vendas semanais de um supermercado com 600 clientes.
Considerando os dados do exemplo 1, Y\u2c6 = 7, 661 e o intervalo de predic¸a\u2dco
e´: E = 2, 101
\u221a
0, 2513[1 + 120 +
(600\u2212731,15)2
614.603 ] = 1, 084
IC (Y0; 0, 95) = (7, 661\u2212 1, 084; 7, 661 + 1, 084)
= (6, 577; 8, 745).
() MRLS 2012 57 / 63
Ana´lise de Regressa\u2dco
Ana´lise residual,
Coeficiente de determinac¸a\u2dco
Os res´\u131duos de um modelo de regressa\u2dco sa\u2dco definidos como
ei = yi \u2212 y\u2c6i , i = 1, . . . , n
onde yi e´ uma observac¸a\u2dco real de Y e y\u2c6i e´ o valor correspondente
estimado atrave´s do modelo de regressa\u2dco.
di =
ei\u221a
QMR
, i = 1, . . . , n
() MRLS 2012 58 / 63
Ana´lise de Regressa\u2dco
Gra´fico de res´\u131duos
() MRLS 2012 59 / 63
Ana´lise de Regressa\u2dco
Gra´fico de res´\u131duos do exemplo
() MRLS 2012 60 / 63
Ana´lise de Regressa\u2dco
Coeficiente de Determinac¸a\u2dco
R2 =
SQreg
SQT
= 1\u2212 SQR
SQT
recebe o nome de coeficiente de determinac¸a\u2dco que e´ usado para julgar a
observac¸o\u2dces da varia´vel resposta Y , que e´ explicada pela varia´vel
independente X no modelo de regressa\u2dco.
() MRLS 2012 61 / 63
Ana´lise de Regressa\u2dco
Exemplo
definic¸a\u2dco tem-se:
R2 =
SQreg
SQT
=
46, 8371
51, 3605
= 0, 912
na varia´vel resposta Y (vendas semanais). Isto e´, 91,2% da variabilidade
de Y e´ explicada pela varia´vel regressora X (nu´mero de clientes).
() MRLS 2012 62 / 63
Bibliografia
Bibliografia
Devore, J.L. Probabilidade e Estat´\u131stica para Engenharia e Cie\u2c6ncias.
Sa\u2dco Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.
Montgomery, D.C. & Runger, G. C. Estat´\u131stica Aplicada e
Probabilidade para Engenheiros. Editora LTC, 2006.
R Development Core Team . R: A Language and Environment for
Statis- tical Computing. R Foundation for Statistical Computing,
Vienna, Austria, 2008.
() MRLS 2012 63 / 63
Introdução
Análise de Correlação
Análise de Regressão
Bibliografia```