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Ana´lise De Varia\u2c6ncia Com Dois Fatores
Profa: Gladys Cacsire Barriga
Universidade Estadual Paulista-FEB
3 de outubro de 2012
Gladys D. Cacsire (Dep-Feb) Ana´lise De Varia\u2c6ncia Com Dois Fatores 2012 1 / 33
Delineamento de experimentos em blocos ao acaso
Delineamento de experimentos em blocos ao acaso
(DBCA)
Em muitos problemas de investigac¸a\u2dco e´ necessa´rio delinear
experimentos nos que se pode controlar sistematicamente a
variabilidade produzidas pelas diversas fontes entranhas.
Exemplo
Suponha que desejamos determinar as diferenc¸as de produtividade de, a
novas maquinas de diferentes marcas(tratamentos), com a finalidade de isolar
os poss\u131´veis efeitos devidos a`s diferenc¸as na eficie\u2c6ncia entre opera´rios
(blocos) escolhemos aleatoriamente b opera´rios, e logo, alocamos cada
opera´rio a`s maquinas rotativamente ao acaso de modo que cada opera´rio
sorteado trabalhe em todas as maquinas, a ide´ia ba´sica aqui e´ comparar os
n\u131´veis dos tratamentos (maquinas) dentro de um bloco (material experimental)
relativamente homoge\u2c6neo (o mesmo opera´rio) e logo repetir a comparac¸a\u2dco de
outro bloco e assim sucessivamente.
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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso
O procedimento geral de um DBCA consiste em selecionar b blocos e
realizar uma replica completa do experimento em cada um deles. Na
Tabela, aparecem os dados que se obte´m ao aplicar um DBCA.
Tabela: Dados Experimentais de um DBCA com a tratamentos e b blocos
Blocos
Tratamentos 1 2 3 . . . b Total (Yi.) Me´dia (Y¯i.)
1 Y11 Y12 Y13 . . . Y1b Y1. Y¯1.
2 Y21 Y22 Y23 . . . Y2b Y2. Y¯2.
3 Y31 Y32 Y33 . . . Y3b Y3. Y¯3.
...
...
...
... . . .
...
...
...
a Ya1 Ya2 Ya3 . . . Yab Ya. Y¯a.
Total (Y.j ) Y.1 Y.2 Y.3 . . . Y.b Y..
Me´dia (Y¯.j ) Y¯.1 Y¯.2 Y¯.3 . . . Y¯.b Y¯..
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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA
O modelo ANOVA em um DBCA
No modelo estat\u131´stico de um DBCA a observac¸a\u2dco na ce´lula (ij)
pode-se representar como:
Yij = µij + \u3b5ij = µ+ \u3b1i + \u3b2j + \u3b5ij , i = 1, . . . ,a, j = 1, . . . ,b (1)
µ e´ a me´dia global,
\u3b1i e´ o efeito do i-e´simo tratamento,
\u3b2j e´ o efeito do j-e´simo bloco,
µij = µ+ \u3b1i + \u3b2j e´ a me´dia de ce´lula (ij) e
\u3b5ij e´ a componente aleato´ria (ou erro aleato´rio), tal que,
\u3b5ij \u223c NID(0, \u3c32).
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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA
O modelo ANOVA em um DBCA
Inicialmente consideraremos que o efeito de tratamentos e blocos sa\u2dco
considerados como fatores fixos. Ja´ que, os efeitos de tratamento e de
bloco se consideram como a desvios da me´dia geral,
portanto,
a\u2211
i=1
\u3b1i = 0 e
b\u2211
j=1
\u3b2j = 0.
Se \u3b5ij \u223c NID(0, \u3c32) implica que Yij \u223c NI(µ+ \u3b1i + \u3b2j , \u3c32). Da\u131´ pode-se
demostrar que:
(i) Y¯i. \u223c NI(µ+ \u3b1i., \u3c32/b) = NI(µi., \u3c32/b), µi. = µ+ \u3b1i
(ii) Y¯.j \u223c NI(µ+ \u3b2j., \u3c32/a) = NI(µ.j , \u3c32/a), µ.j = µ+ \u3b1.j
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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA
O interesse em um modelo ANOVA num DBCA o interesse e´ testar o
efeito de tratamentos. Isto e´,
H0 : µ1. = µ2. = . . . , µa. = µ
H1 : Ao menos um µi. 6= µk ., i 6= k = 1, . . . ,a
se H0 for verdadeiro a me´dia do i-e´simo tratamento e´ igual a` me´dia
global µ. Uma forma equivalente de expressar as hipo´teses anteriores
em termos do efeito do i-e´simo tratamento, \u3b1i , e´ a seguinte:
H0 : \u3b11 = \u3b12 = · · · = \u3b1a = 0
H1 : Ao menos um \u3b1i 6= 0, para i = 1, . . . ,a
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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA
A ana´lise de varia\u2c6ncia pode ser estendido ao DBCA com um fator. O
procedimento utiliza a identidade da soma de quadrados que divide, a`
soma de quadrados do total corrigido em tre\u2c6s componentes:
a\u2211
i=1
ni\u2211
j=1
(Yij \u2212 Y¯..)2\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
SQT
= b
a\u2211
i=1
(Y¯i. \u2212 Y¯..)2\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
SQTratamentos
+ a
b\u2211
j=1
(Y¯.j \u2212 Y¯..)2\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
SQBlocos
+
a\u2211
i=1
b\u2211
j=1
(Yij \u2212 Y¯i. \u2212 Y¯.j + Y¯..)2\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
SQR
(2)
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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA
A identidade da soma de quadrados se pode escrever em forma
simbo´lica como segue:
SQT = SQTratamentos + SQBlocos + SQR
SQT e´ a soma de quadrados do total com ab \u2212 1 graus de
liberdade,
SQtratamentos e´ a soma de quadrados dos tratamentos com a\u2212 1
graus de liberdade e
SQR e´ a soma de quadrados do erro com (a\u2212 1)(b \u2212 1) graus de
liberdade.
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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA
Para o DBCA, os quadrados me´dios sa\u2dco:
QMTratamentos =
SQtratamentos
a\u2212 1
QMBlocos =
SQblocos
b \u2212 1
QMR = =
SQR
(a\u2212 1)(b \u2212 1)
Se \u3b5ij \u223c NID(0, \u3c32) e´ verificada e os efeito de tratamentos e de blocos
sa\u2dco fixos, pode-se mostrar:
E(QMTratamentos) = \u3c32 +
b
a\u2211
i=1
\u3b1i
a\u2212 1
E(QMBlocos) = \u3c32 +
a
b\u2211
j=1
\u3b2j
b \u2212 1
E(QMR) = = \u3c32
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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA
Portanto, se hipo´teses nula H0 e´ verdadeira todos \u3b1i sa\u2dco iguais a zero,
enta\u2dco o QMTratamentos e´ um estimador na\u2dco viciado de \u3c32, enquanto, se
H0 na\u2dco e´ verdadeira, enta\u2dco o QMTratamentos sobreestima \u3c32. O
quadrado me´dio do erro (QMR), sempre e´ um estimador na\u2dco viciado
de \u3c32. Para provar a igualdade das me´dias de tratamentos usa-se a
estat\u131´stica:
F =
QMtratamentos
QMR
(3)
que tem distribuic¸a\u2dco F-Snedecor com a\u2212 1 e (a\u2212 1)(b \u2212 1) graus de
liberdade se a hipo´teses nula e´ verdadeira. A hipo´tese nula rejeita-se
com um n\u131´vel de significa\u2c6ncia \u3b1 se o valor da estat\u131´stica observada (3)
e´
Fobs > f\u3b1,a\u22121,(a\u22121)(b\u22121)
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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA
Tambe´m pode ser que tem-se interesse a comparac¸a\u2dco entre a me´dia
de blocos, porque se na\u2dco ha´ muita diferenc¸a entre eles, a ana´lise por
blocos talvez na\u2dco seja necessa´ria em experimentos futuros. Ao
analisar os valores esperados dos quadrados me´dios a estat\u131´stica do
teste para testar H0 : \u3b2j = 0 contra H1 : Ao menos um \u3b2j 6= 0 e´:
F =
QMBlocos
QMR
(4)
que sob H0 : \u3b2j = 0 tem distribuic¸a\u2dco F-Snedecor com b \u2212 1 e
(a\u2212 1)(b \u2212 1) graus de liberdade. A hipo´teses H0 : \u3b2j = 0, e´ rejeitada
y com n\u131´vel de significa\u2c6ncia \u3b1 se
Fobs > f\u3b1,b\u22121,(a\u22121)(b\u22121).
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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA
E´ poss\u131´vel obter formulas para o ca´lculo da soma de quadrados ao
reescrever e simplificar as definic¸o\u2dces da SQTratamentos, SQBlocos e SQT
na equac¸a\u2dco (2). Isto da como resultado:
SQT =
a\u2211
i=1
b\u2211
j=1
Y 2ij \u2212
Y 2..
ab
=
a\u2211
i=1
b\u2211
j=1
Y 2ij \u2212 abY¯..
2 (5)
SQTratamentos =
a\u2211
i=1
Y 2i.
b
\u2212 Y
2
..
ab
= b
a\u2211
i=1
Y¯i.
2 \u2212 abY¯..2 (6)
SQBlocos =
b\u2211
j=1
Y 2.j
a
\u2212 Y
2
..
ab
= a
b\u2211
j=1
Y¯i.
2 \u2212 abY¯..2 (7)
A soma de quadrados do erro obtem-se por diferenc¸a:
SQR = SQT \u2212 SQtratamentos \u2212 SQBlocos. (8)
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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA
0 procedimento do teste e´ usualmente representado em uma tabela
de ana´lise de varia\u2c6nca, como a tabela 2.
Tabela: Ana´lise de varia\u2c6ncia para no DBCA com um fator
Fonte de Soma de Graus de Quadrado
variac¸a\u2dco Quadrados Liberdade Me´dio F
Entre Tratamentos SQTratamentos a\u2212 1 QMTratamentos QMTratamentos/QMR
Entre Blocos SQBlocos b \u2212 1 QMBlocos QMBlocos/QMR
Erro SQR (a\u2212 1)(b \u2212 1) QMR
Total SQT ab \u2212 1
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