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Ana´lise De Variaˆncia Com Dois Fatores

Profa: Gladys Cacsire Barriga

Universidade Estadual Paulista-FEB

3 de outubro de 2012

Gladys D. Cacsire (Dep-Feb) Ana´lise De Variaˆncia Com Dois Fatores 2012 1 / 33

Delineamento de experimentos em blocos ao acaso

Delineamento de experimentos em blocos ao acaso
(DBCA)

Em muitos problemas de investigac¸a˜o e´ necessa´rio delinear
experimentos nos que se pode controlar sistematicamente a
variabilidade produzidas pelas diversas fontes entranhas.

Exemplo
Suponha que desejamos determinar as diferenc¸as de produtividade de, a
novas maquinas de diferentes marcas(tratamentos), com a finalidade de isolar
os possı´veis efeitos devidos a`s diferenc¸as na eficieˆncia entre opera´rios
(blocos) escolhemos aleatoriamente b opera´rios, e logo, alocamos cada
opera´rio a`s maquinas rotativamente ao acaso de modo que cada opera´rio
sorteado trabalhe em todas as maquinas, a ide´ia ba´sica aqui e´ comparar os
nı´veis dos tratamentos (maquinas) dentro de um bloco (material experimental)
relativamente homogeˆneo (o mesmo opera´rio) e logo repetir a comparac¸a˜o de
outro bloco e assim sucessivamente.

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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso

O procedimento geral de um DBCA consiste em selecionar b blocos e
realizar uma replica completa do experimento em cada um deles. Na
Tabela, aparecem os dados que se obte´m ao aplicar um DBCA.

Tabela: Dados Experimentais de um DBCA com a tratamentos e b blocos

Blocos

Tratamentos 1 2 3 . . . b Total (Yi.) Me´dia (Y¯i.)

1 Y11 Y12 Y13 . . . Y1b Y1. Y¯1.
2 Y21 Y22 Y23 . . . Y2b Y2. Y¯2.
3 Y31 Y32 Y33 . . . Y3b Y3. Y¯3.
...

...
...

... . . .
...

...
...

a Ya1 Ya2 Ya3 . . . Yab Ya. Y¯a.
Total (Y.j ) Y.1 Y.2 Y.3 . . . Y.b Y..

Me´dia (Y¯.j ) Y¯.1 Y¯.2 Y¯.3 . . . Y¯.b Y¯..
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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA

O modelo ANOVA em um DBCA

No modelo estatı´stico de um DBCA a observac¸a˜o na ce´lula (ij)
pode-se representar como:

Yij = µij + εij = µ+ αi + βj + εij , i = 1, . . . ,a, j = 1, . . . ,b (1)

µ e´ a me´dia global,
αi e´ o efeito do i-e´simo tratamento,
βj e´ o efeito do j-e´simo bloco,
µij = µ+ αi + βj e´ a me´dia de ce´lula (ij) e
εij e´ a componente aleato´ria (ou erro aleato´rio), tal que,
εij ∼ NID(0, σ2).

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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA

O modelo ANOVA em um DBCA

Inicialmente consideraremos que o efeito de tratamentos e blocos sa˜o
considerados como fatores fixos. Ja´ que, os efeitos de tratamento e de
bloco se consideram como a desvios da me´dia geral,

portanto,
a∑

i=1
αi = 0 e

b∑
j=1

βj = 0.

Se εij ∼ NID(0, σ2) implica que Yij ∼ NI(µ+ αi + βj , σ2). Daı´ pode-se
demostrar que:

(i) Y¯i. ∼ NI(µ+ αi., σ2/b) = NI(µi., σ2/b), µi. = µ+ αi
(ii) Y¯.j ∼ NI(µ+ βj., σ2/a) = NI(µ.j , σ2/a), µ.j = µ+ α.j

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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA

O interesse em um modelo ANOVA num DBCA o interesse e´ testar o
efeito de tratamentos. Isto e´,

H0 : µ1. = µ2. = . . . , µa. = µ
H1 : Ao menos um µi. 6= µk ., i 6= k = 1, . . . ,a

se H0 for verdadeiro a me´dia do i-e´simo tratamento e´ igual a` me´dia
global µ. Uma forma equivalente de expressar as hipo´teses anteriores
em termos do efeito do i-e´simo tratamento, αi , e´ a seguinte:

H0 : α1 = α2 = · · · = αa = 0
H1 : Ao menos um αi 6= 0, para i = 1, . . . ,a

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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA

A ana´lise de variaˆncia pode ser estendido ao DBCA com um fator. O
procedimento utiliza a identidade da soma de quadrados que divide, a`
soma de quadrados do total corrigido em treˆs componentes:

a∑
i=1

ni∑
j=1

(Yij − Y¯..)2︸ ︷︷ ︸
SQT

= b
a∑

i=1

(Y¯i. − Y¯..)2︸ ︷︷ ︸
SQTratamentos

+ a
b∑

j=1

(Y¯.j − Y¯..)2︸ ︷︷ ︸
SQBlocos

+
a∑

i=1

b∑
j=1

(Yij − Y¯i. − Y¯.j + Y¯..)2︸ ︷︷ ︸
SQR

(2)

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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA

A identidade da soma de quadrados se pode escrever em forma
simbo´lica como segue:

SQT = SQTratamentos + SQBlocos + SQR

SQT e´ a soma de quadrados do total com ab − 1 graus de
liberdade,
SQtratamentos e´ a soma de quadrados dos tratamentos com a− 1
graus de liberdade e
SQR e´ a soma de quadrados do erro com (a− 1)(b − 1) graus de
liberdade.

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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA

Para o DBCA, os quadrados me´dios sa˜o:

QMTratamentos =
SQtratamentos

a− 1
QMBlocos =

SQblocos
b − 1

QMR = =
SQR

(a− 1)(b − 1)
Se εij ∼ NID(0, σ2) e´ verificada e os efeito de tratamentos e de blocos
sa˜o fixos, pode-se mostrar:

E(QMTratamentos) = σ2 +
b

a∑
i=1

αi

a− 1

E(QMBlocos) = σ2 +

a
b∑

j=1
βj

b − 1
E(QMR) = = σ2

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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA

Portanto, se hipo´teses nula H0 e´ verdadeira todos αi sa˜o iguais a zero,
enta˜o o QMTratamentos e´ um estimador na˜o viciado de σ2, enquanto, se
H0 na˜o e´ verdadeira, enta˜o o QMTratamentos sobreestima σ2. O
quadrado me´dio do erro (QMR), sempre e´ um estimador na˜o viciado
de σ2. Para provar a igualdade das me´dias de tratamentos usa-se a
estatı´stica:

F =
QMtratamentos

QMR
(3)

que tem distribuic¸a˜o F-Snedecor com a− 1 e (a− 1)(b − 1) graus de
liberdade se a hipo´teses nula e´ verdadeira. A hipo´tese nula rejeita-se
com um nı´vel de significaˆncia α se o valor da estatı´stica observada (3)
e´

Fobs > fα,a−1,(a−1)(b−1)

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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA

Tambe´m pode ser que tem-se interesse a comparac¸a˜o entre a me´dia
de blocos, porque se na˜o ha´ muita diferenc¸a entre eles, a ana´lise por
blocos talvez na˜o seja necessa´ria em experimentos futuros. Ao
analisar os valores esperados dos quadrados me´dios a estatı´stica do
teste para testar H0 : βj = 0 contra H1 : Ao menos um βj 6= 0 e´:

F =
QMBlocos

QMR
(4)

que sob H0 : βj = 0 tem distribuic¸a˜o F-Snedecor com b − 1 e
(a− 1)(b − 1) graus de liberdade. A hipo´teses H0 : βj = 0, e´ rejeitada
y com nı´vel de significaˆncia α se

Fobs > fα,b−1,(a−1)(b−1).

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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA

E´ possı´vel obter formulas para o ca´lculo da soma de quadrados ao
reescrever e simplificar as definic¸o˜es da SQTratamentos, SQBlocos e SQT
na equac¸a˜o (2). Isto da como resultado:

SQT =
a∑

i=1

b∑
j=1

Y 2ij −
Y 2..
ab

=
a∑

i=1

b∑
j=1

Y 2ij − abY¯..
2 (5)

SQTratamentos =
a∑

i=1

Y 2i.
b
− Y

2
..

ab
= b

a∑
i=1

Y¯i.
2 − abY¯..2 (6)

SQBlocos =
b∑

j=1

Y 2.j
a
− Y

2
..

ab
= a

b∑
j=1

Y¯i.
2 − abY¯..2 (7)

A soma de quadrados do erro obtem-se por diferenc¸a:

SQR = SQT − SQtratamentos − SQBlocos. (8)

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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA

0 procedimento do teste e´ usualmente representado em uma tabela
de ana´lise de variaˆnca, como a tabela 2.

Tabela: Ana´lise de variaˆncia para no DBCA com um fator

Fonte de Soma de Graus de Quadrado
variac¸a˜o Quadrados Liberdade Me´dio F
Entre Tratamentos SQTratamentos a− 1 QMTratamentos QMTratamentos/QMR
Entre Blocos SQBlocos b − 1 QMBlocos QMBlocos/QMR
Erro SQR (a− 1)(b − 1) QMR
Total SQT ab − 1

Gladys D. Cacsire (Dep-Feb) Ana´lise De Variaˆncia