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Com Dois Fatores 2012 13 / 33
Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA
Exemplo (2)
Suponha que uma empresa industrial comprou quatro novas maquinas de
diferentes marcas (A, B, C e D) e deseja determinar se sa\u2dco diferentes na
produc¸a\u2dco de certo produto. O gerente de investigac¸a\u2dco da empresa tem 24
operadores com experie\u2c6ncia variada na manipulac¸a\u2dco de maquinas similares.
Apo´s realizar um levantamento, 24 operadores foram classificados em 6
grupos (blocos) de 4 operadores, baseando-se no tempo de servic¸o como
operadores de maquinas similares na empresa. De modo que os 4 operadores
de maior experie\u2c6ncia formam o bloco 1, os seguintes quatro com maior
experie\u2c6ncia o bloco 2, assim sucessivamente. Dentro de cada um dos seis
blocos homoge\u2c6neos, os quatro operadores sa\u2dco designados ao acaso a cada
maquina Cada grupo de operadores (blocos) foi designado ao acaso a cada um
dos operadores uma das quatro maquinas, e foram observados o nu´mero de
unidades produzidas em duas horas de trabalho por cada maquina, o resultado
do experimento sa\u2dco apresentados a continuac¸a\u2dco.
Gladys D. Cacsire (Dep-Feb) Ana´lise De Varia\u2c6ncia Com Dois Fatores 2012 14 / 33
Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA
Tabela: Dados da produc¸a\u2dco das quatro maquinas A,B, C e D de exemplo 2.
Operadores
Maquinas 1 2 3 4 5 6 Totais Me´dias
A 70 77 76 80 84 78 465 77,50
B 61 75 67 63 66 68 400 66,67
C 82 88 90 96 92 98 546 91,00
D 74 76 80 76 84 86 476 79,33
Totais 287 316 313 315 326 330 1887
Me´dias 71,75 79,00 78,25 78,75 81,50 82,50 78,625
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A B C D
60
70
80
90
Maquinas
Qu
an
tid
ad
e 
de
 u
nid
ad
es
 p
ro
du
zid
as
1 2 3 4 5 6
60
70
80
90
Operário
Qu
an
tid
ad
e 
de
 u
nid
ad
es
 p
ro
du
zid
as
Figura: Boxplot da quantidade de itens produzidos por maquina e opera´rio.
setwd(\u201dd : /gladys/anova2\u201d)
dados = read .table(\u201ddados.txt\u201d, header = T )
boxplot(quantidade \u223c maquina, ylab = \u201dQuantidadedeunidadesproduzidas\u201d, xlab =
\u201dMaquinas\u201d, data = dados)
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Nesta caso a = 4, b = 6. E as soma de quadrados da ana´lise de
varia\u2c6ncia se calculam da maneira seguinte:
SQT =
4\u2211
i=1
6\u2211
j=1
Y 2ij \u2212
Y 2..
24
= (70)2 + (61)2 + · · ·+ (98)2 + (86)2 \u2212 (1887)
2
24
= 2295, 63
SQTratamentos =
4\u2211
i=1
Y 2i.
6
\u2212 Y
2
..
24
=
(465)2
6
+
(400)2
6
+
(546)2
6
+
(476)2
6
\u2212 (1887)
2
24
= 1787, 46
SQBlocos =
6\u2211
j=1
Y 2.j
4
\u2212 Y
2
..
24
=
(287)2
4
+
(316)2
4
+
(313)2
4
+
(315)2
4
+
(326)2
4
+
(330)2
4
\u2212 (1887)
2
24
= 283, 38
SQR = SQT \u2212 SQTratamento \u2212 SQBlocos
= 2295, 63\u2212 1787, 46\u2212 283, 38 = 224, 79.
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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA
Tabela: Tabela de ANOVA do exemplo 2.
Fonte de Soma de Graus de Quadrado
variac¸a\u2dco Quadrados Liberdade Me´dio F
Entre Maquinas 1787,46 3 595,82 39,76
Entre Blocos 283,38 5 56,676 3,78
Erro 224,79 15 14,99
Total 2295,63 23
Ao n\u131´vel de significa\u2c6ncia de 5%, da distribuic¸a\u2dco F-Snedecor com 3 e
15 graus de liberdade obtemos f0,05,3,15 = 3,29. Ja´ que
Fobs = 39,76 > f0,05,3,12, conclu\u131´mos que a produc¸a\u2dco das quatro
maquinas e´ significativamente diferentes ao n\u131´vel de significa\u2c6ncia de
5%.
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Como uma verificac¸a\u2dco da efetividade da formac¸a\u2dco dos blocos pode-se
testar se existe diferenc¸a entre os diferentes grupos de operadores.
Ou seja, testa-se a hipo´tese H0 : \u3b2j = 0 contra
H1 : Ao menos um \u3b2j 6= 0, j = 1, . . . ,6 Para um n\u131´vel de significa\u2c6ncia
de 5% o valor cr\u131´tico resultou: f0,05,5,15 = 2,90 < Fobs = 3,78.
Portanto, rejeita-se H0, conclu\u131´mos que a formac¸a\u2dco de blocos foi
vantajosa para reduzir o erro experimental ao n\u131´vel de significa\u2c6ncia de
5%.
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Anova com R
dados$maquina = as.factor(dados$maquina)
dados$operario = as.factor(dados$operario)
fit = aov(quantidade \u223c maquina + operario,data = dados)
anova(fit)
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(> F )
maquina 3 1787.46 595.82 39.7581 2.233e-07
operario 5 283.37 56.67 3.7818 0.02046
Residuals 15 224.79 14.99
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Diagno´stico do modelo
Define-se o res\u131´duo da ij-e´sima observac¸a\u2dco como:
eij = yij \u2212 y\u2c6ij , i = 1, . . . ,a j = 1, . . . ,b
onde y\u2c6ij = µ\u2c6\u2212 \u3b1\u2c6i \u2212 \u3b2\u2c6j = y¯i. + y¯.j \u2212 y¯.. \u2192 valores preditos
Gra´fico normal de probabilidades: sob normalidade dos erros
este gra´fico deve apresentar uma forma de uma reta
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Diagno´stico do modelo
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
\u22122 \u22121 0 1 2
\u2212
4
\u2212
2
0
2
4
6
8
Normal Q\u2212Q Plot
Theoretical Quantiles
Sa
m
pl
e 
Qu
an
tile
s
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Diagno´stico do modelo
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l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
60 65 70 75 80 85 90 95
\u2212
4
\u2212
2
0
2
4
6
8
 Valores ajustados
R
es
íd
uo
s
Plot dos resíduos vs valores ajustados
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No exemplo 2, Quais maquinas produzem artigos diferentes. Uma
abordagem poss\u131´vel desta questa\u2dco consistiria em construir intervalos
para a diferenc¸a de me´dias entre duas me´dias quaisquer. Para isto
pode-se utilizar o resultado da seguinte observac¸a\u2dco
Observac¸a\u2dco
Se a suposic¸a\u2dco \u3b5ij \u223c N(0, \u3c32) no modelo de ANOVA num DBCA e´
va´lido implica que:
(i) Y¯i. \u223c N(µi., \u3c32/b), i = 1, . . . ,a
(ii) W =
QMR
\u3c32
\u223c \u3c72(a\u22121)(b\u22121)
(iii) T =
Y¯i. \u2212 µi.\u221a
QMR
b
\u223c t((a\u2212 1)(b \u2212 1)), i = 1, . . . ,a
(iv) T =
Y¯i. \u2212 Y¯l. \u2212 (µi. \u2212 µj.)\u221a
2QMR
b
\u223c t((a\u2212 1)(b \u2212 1)), i 6= l = 1, . . . ,a
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Assim um intervalo de 100(1\u2212 \u3b1)% de confianc¸a para a diferenc¸a
µi. \u2212 µl., i 6= l = 1, . . . ,a e´ dados por:
IC(µi \u2212 µj ,1\u2212 \u3b1) = (Y¯i. \u2212 Y¯l. \u2212 E ; Y¯i. \u2212 Y¯l. + E)
onde, E = t\u3b1/2,(a\u22121)(b\u22121)
\u221a
2QMR
b
Exemplo
Considere o exemplo 2, determinar um intervalo de confianc¸a de 95%
de confianc¸a para a verdadeira diferenc¸a da produc¸a\u2dco me´dia entre
maquinas A e B. Ou seja IC(µ1 \u2212 µ2,0,95) =?
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Soluc¸a\u2dco: 1\u2212 \u3b1 = 0,95,\u2192 \u3b1 = 0,05\u2192 t0,025,15 = 2,131,
E = 2,131
\u221a
2× 14,99/6 = 4,76. Portanto,
IC(µ1\u2212µ2,0,95) = (465\u2212400\u22124,76; 465\u2212400+4,76) = (60,24; 64,76)
Ja´ que, este intervalo na\u2dco conte´m o valor zero, pode concluir-se, ao
n\u131´vel de significa\u2c6ncia de 5%, que a produc¸a\u2dco me´dia da maquina A e´
diferente ao que se verifica na maquina B.
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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA
Similarmente como no caso no modelo ANOVA de um fator num
delineamento de experimento ao acaso (DCA), pode-se testar as
hipo´teses : H0 : µi. = µl. para todo i 6= l contra H1 :: µi.