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Com Dois Fatores 2012 13 / 33

Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA

Exemplo (2)

Suponha que uma empresa industrial comprou quatro novas maquinas de
diferentes marcas (A, B, C e D) e deseja determinar se sa˜o diferentes na
produc¸a˜o de certo produto. O gerente de investigac¸a˜o da empresa tem 24
operadores com experieˆncia variada na manipulac¸a˜o de maquinas similares.
Apo´s realizar um levantamento, 24 operadores foram classificados em 6
grupos (blocos) de 4 operadores, baseando-se no tempo de servic¸o como
operadores de maquinas similares na empresa. De modo que os 4 operadores
de maior experieˆncia formam o bloco 1, os seguintes quatro com maior
experieˆncia o bloco 2, assim sucessivamente. Dentro de cada um dos seis
blocos homogeˆneos, os quatro operadores sa˜o designados ao acaso a cada
maquina Cada grupo de operadores (blocos) foi designado ao acaso a cada um
dos operadores uma das quatro maquinas, e foram observados o nu´mero de
unidades produzidas em duas horas de trabalho por cada maquina, o resultado
do experimento sa˜o apresentados a continuac¸a˜o.

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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA

Tabela: Dados da produc¸a˜o das quatro maquinas A,B, C e D de exemplo 2.

Operadores
Maquinas 1 2 3 4 5 6 Totais Me´dias

A 70 77 76 80 84 78 465 77,50
B 61 75 67 63 66 68 400 66,67
C 82 88 90 96 92 98 546 91,00
D 74 76 80 76 84 86 476 79,33

Totais 287 316 313 315 326 330 1887
Me´dias 71,75 79,00 78,25 78,75 81,50 82,50 78,625

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A B C D

60
70

80
90

Maquinas

Qu
an

tid
ad

e
de

 u
nid

ad
es

 p
ro

du
zid

as

1 2 3 4 5 6

60
70

80
90

Operário

Qu
an

tid
ad

e
de

 u
nid

ad
es

 p
ro

du
zid

as
Figura: Boxplot da quantidade de itens produzidos por maquina e opera´rio.

setwd(”d : /gladys/anova2”)
dados = read .table(”dados.txt”, header = T )

boxplot(quantidade ∼ maquina, ylab = ”Quantidadedeunidadesproduzidas”, xlab =
”Maquinas”, data = dados)

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Nesta caso a = 4, b = 6. E as soma de quadrados da ana´lise de
variaˆncia se calculam da maneira seguinte:

SQT =
4∑

i=1

6∑
j=1

Y 2ij −
Y 2..
24

= (70)2 + (61)2 + · · ·+ (98)2 + (86)2 − (1887)
2

24
= 2295, 63

SQTratamentos =
4∑

i=1

Y 2i.
6
− Y

2
..

24

=
(465)2

6
+

(400)2

6
+

(546)2

6
+

(476)2

6
− (1887)

2

24
= 1787, 46

SQBlocos =
6∑

j=1

Y 2.j
4
− Y

2
..

24

=
(287)2

4
+

(316)2

4
+

(313)2

4
+

(315)2

4
+

(326)2

4
+

(330)2

4
− (1887)

2

24
= 283, 38

SQR = SQT − SQTratamento − SQBlocos
= 2295, 63− 1787, 46− 283, 38 = 224, 79.

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Tabela: Tabela de ANOVA do exemplo 2.

Fonte de Soma de Graus de Quadrado
variac¸a˜o Quadrados Liberdade Me´dio F
Entre Maquinas 1787,46 3 595,82 39,76
Entre Blocos 283,38 5 56,676 3,78
Erro 224,79 15 14,99
Total 2295,63 23

Ao nı´vel de significaˆncia de 5%, da distribuic¸a˜o F-Snedecor com 3 e
15 graus de liberdade obtemos f0,05,3,15 = 3,29. Ja´ que
Fobs = 39,76 > f0,05,3,12, concluı´mos que a produc¸a˜o das quatro
maquinas e´ significativamente diferentes ao nı´vel de significaˆncia de
5%.

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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA

Como uma verificac¸a˜o da efetividade da formac¸a˜o dos blocos pode-se
testar se existe diferenc¸a entre os diferentes grupos de operadores.
Ou seja, testa-se a hipo´tese H0 : βj = 0 contra
H1 : Ao menos um βj 6= 0, j = 1, . . . ,6 Para um nı´vel de significaˆncia
de 5% o valor crı´tico resultou: f0,05,5,15 = 2,90 < Fobs = 3,78.
Portanto, rejeita-se H0, concluı´mos que a formac¸a˜o de blocos foi
vantajosa para reduzir o erro experimental ao nı´vel de significaˆncia de
5%.

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Anova com R

dados$maquina = as.factor(dados$maquina)
dados$operario = as.factor(dados$operario)
fit = aov(quantidade ∼ maquina + operario,data = dados)
anova(fit)

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(> F )
maquina 3 1787.46 595.82 39.7581 2.233e-07
operario 5 283.37 56.67 3.7818 0.02046
Residuals 15 224.79 14.99

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Diagno´stico do modelo

Define-se o resı´duo da ij-e´sima observac¸a˜o como:

eij = yij − yˆij , i = 1, . . . ,a j = 1, . . . ,b

onde yˆij = µˆ− αˆi − βˆj = y¯i. + y¯.j − y¯.. → valores preditos
Gra´fico normal de probabilidades: sob normalidade dos erros
este gra´fico deve apresentar uma forma de uma reta

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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA

Diagno´stico do modelo

l
l

l

l

l

l

l

l

l

l
l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

−2 −1 0 1 2

−
4

−
2

0
2

4
6

8

Normal Q−Q Plot

Theoretical Quantiles

Sa
m

pl
e

Qu
an

tile
s

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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA

Diagno´stico do modelo

l
l

l

l

l

l

l

l

l

l
l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

60 65 70 75 80 85 90 95

−
4

−
2

0
2

4
6

8

 Valores ajustados

R
es

íd
uo

s

Plot dos resíduos vs valores ajustados

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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA

No exemplo 2, Quais maquinas produzem artigos diferentes. Uma
abordagem possı´vel desta questa˜o consistiria em construir intervalos
para a diferenc¸a de me´dias entre duas me´dias quaisquer. Para isto
pode-se utilizar o resultado da seguinte observac¸a˜o

Observac¸a˜o

Se a suposic¸a˜o εij ∼ N(0, σ2) no modelo de ANOVA num DBCA e´
va´lido implica que:

(i) Y¯i. ∼ N(µi., σ2/b), i = 1, . . . ,a
(ii) W =

QMR
σ2

∼ χ2(a−1)(b−1)

(iii) T =
Y¯i. − µi.√

QMR
b

∼ t((a− 1)(b − 1)), i = 1, . . . ,a

(iv) T =
Y¯i. − Y¯l. − (µi. − µj.)√

2QMR
b

∼ t((a− 1)(b − 1)), i 6= l = 1, . . . ,a

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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA

Assim um intervalo de 100(1− α)% de confianc¸a para a diferenc¸a
µi. − µl., i 6= l = 1, . . . ,a e´ dados por:

IC(µi − µj ,1− α) = (Y¯i. − Y¯l. − E ; Y¯i. − Y¯l. + E)

onde, E = tα/2,(a−1)(b−1)

√
2QMR

b

Exemplo
Considere o exemplo 2, determinar um intervalo de confianc¸a de 95%
de confianc¸a para a verdadeira diferenc¸a da produc¸a˜o me´dia entre
maquinas A e B. Ou seja IC(µ1 − µ2,0,95) =?

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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA

Soluc¸a˜o: 1− α = 0,95,→ α = 0,05→ t0,025,15 = 2,131,
E = 2,131

√
2× 14,99/6 = 4,76. Portanto,

IC(µ1−µ2,0,95) = (465−400−4,76; 465−400+4,76) = (60,24; 64,76)

Ja´ que, este intervalo na˜o conte´m o valor zero, pode concluir-se, ao
nı´vel de significaˆncia de 5%, que a produc¸a˜o me´dia da maquina A e´
diferente ao que se verifica na maquina B.

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Delineamento de experimentos em blocos ao acaso O modelo ANOVA em um DBCA

Similarmente como no caso no modelo ANOVA de um fator num
delineamento de experimento ao acaso (DCA), pode-se testar as
hipo´teses : H0 : µi. = µl. para todo i 6= l contra H1 :: µi.