Apostila UNIJUÍ -Métodos estaísticos e a administração
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Apostila UNIJUÍ -Métodos estaísticos e a administração

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que permite inferir os parâmetros

populacionais a partir de uma amostra, ou seja, generalizar a partir dela. No processo amostral

não interessam por si mesmas as estatísticas da amostra, mas sim as estimativas construídas a

partir dela e que inferem o comportamento populacional.

seção 5.2

estimativas e sua Projeção

Nesta seção vamos apresentar as estimativas e os testes de hipóteses que permitem a

projeção dos resultados amostrais. As estimativas são calculadas com valores das estatísticas

amostrais. As projeções são realizadas quando testamos se os valores encontrados na amostra

trazem evidência suficiente para inferirmos os parâmetros populacionais.

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MÉtodos estatísticos e a adMinistração

5.2.1 estiMativas

As estimativas da informação populacional a partir da amostra podem ser realizadas:

•	 Por ponto: quando se projeta o valor calculado na amostra como se fosse o próprio parâmetro,
o valor populacional. Este procedimento desconsidera a margem de erro presente no processo

amostral e não oferece garantia à estimativa.

•	 Por intervalo: ao estabelecer a estatística amostral como estimativa, constrói-se em torno dela
um intervalo baseado no potencial de erro de estimativa do processo. Como se diz popularmen-

te, o valor verdadeiro é projetado como a estatística calculada na amostra mais ou menos um

determinado valor que é a margem de erro agregada da confiança. Por isso, é denominado de

Intervalo de Confiança. Usualmente este intervalo é calculado para garantir 95% de confiança

de conter o verdadeiro parâmetro.

Ao utilizarmos a média amostral, já temos comprovação anterior que esta medida é um

estimador ótimo para a média populacional, pois o valor esperado da média amostral é o próprio

parâmetro, ε( )= µ e a variância é mínima, V( )= σ²/n.

Mesmo assim a estimativa por ponto é arriscada, pois fazemos o cálculo amostral a partir

de uma amostra entre todas as possíveis, então é importante que na projeção trabalhemos com

uma estimativa por intervalo, considerando a confiança dentro da margem de erro. Vários são

os parâmetros que podem ser estimados, mas vamos trabalhar somente com os estimadores da

média – µ, e proporção, π.

intervalo de confiança para a Média

/295%IC X z Pf
n

σ
∂

 = ± = 
 

Esta é a fórmula para o Intervalo de Confiança no caso de variância populacional conhecida

ou estimada com grandes amostras.

( 1); /2

ˆ
95% n

s
IC X t Pf

n
− ∂

 = ± = 
 

Esta é a fórmula para o Intervalo de Confiança no caso de variância estimada. O valor da

variância amostral estimada precisa de uma correção ao valor da variância amostral, pois esta

apresenta uma tendenciosidade logo ˆ² ² *
1

n
s s

n
 =   −

 é a expressão da variância amostral corri-

gida para pequenas amostras, em que n < 30.

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ruth Marilda Fricke – iara denise endruweit Battisti – antonio Édson corrente

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intervalo de confiança para a proporção

/2

( ) * (1 )
95%

p p
IC p z Pf

n
∂

 − = ± = 
  

Esta é a fórmula para o Intervalo de Confiança no caso de proporção. Utilizamos sempre

a padronização normal e o cálculo da média é dado por pµ = , tal que µ é o símbolo da média
populacional, o parâmetro média; a variância é dada por σ² = (p)*(1-p) em que σ² é o símbolo da
variância populacional e p é o valor da proporção obtida na amostra, enquanto π é a proporção
populacional desconhecida.

5.2.2 testes de HiPÓteses Para generaliZação de estatísticas aMostrais

Outro tratamento importante que deve ser realizado antes de projetarmos as estimativas

é o teste de hipóteses. O teste de hipóteses deve ser aplicado aos valores amostrais para verifi-

carmos se os mesmos podem ser projetados para a população. Este item merece um estudo mais

aprofundado, no entanto nos restringiremos aos testes da média e da proporção, que são os mais

utilizados nas pesquisas por amostragem.

Quadro 1: Parâmetros, estimadores e teste de hipóteses

Medida Teste de hipóteses

Média

Parâmetro: µ (mi) Estimador: X (xbarra)
H0: µ =µ0, a média atual é igual à antiga.

Ha: µ ≠	µ0, µ >µ0, µ <µ0, a média atual é diferente, menor ou maior que a antiga.
Grandes amostras

0
o

X
z

n

µ
σ
−=

Rejeitar H0 se: z0<-zα; z0>+zα; Aceitar H0 se: -zα< z0<+zα
Pequenas amostras:

0
o

x

X
t

s n

µ−=

Rejeitar H0 se: t0<-t(n-1)α; t0>+ t(n-1)α; Aceitar H0 se:– t(n-1)α/2 < t0<+ t(n-1)α/2
Proporção

Parâmetro: π(pi) Estimador: p’ (p proporção)
H0: π =π0, a proporção atual é igual à antiga.

Ha: π ≠	π0, π >π0, π <π0, a proporção atual é diferente, menor ou maior que a antiga.

( )
0

0 0

'

(1 )
o

p
z

p p n

π−=
−

, p’= p estimado na amostra, π0= Valor já existente

Rejeitar H0 se: z0<-zα; z0>+zα; Aceitar H0 se: -zα< z0<+zα

Fonte: Elaboração da autora com base na literatura estatística.

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MÉtodos estatísticos e a adMinistração

	EXEMPLO:

Sabe-se que o módulo da propriedade rural na nossa região é de 25 ha. Devido ao modelo

agrícola e sistema de organização social em função de lucro e de acumulação, a população urbana

vem crescendo e a rural diminuindo em função do êxodo rural. Os agricultores e suas famílias

saem do meio rural por causa do endividamento, busca de instituições de saúde e de educação,

do custo elevado de produção agrícola, da dificuldade de acesso às novas tecnologias, etc.

Hipótese: Em função disso entende-se que o módulo rural esteja se modificando.

1) Fazemos uma amostra de propriedades rurais de nossa região

Dados disponíveis para o dimensionamento da amostra:

Seja um estudo de propriedades rurais, avaliando-se a concordância atual com o módulo

rural em 25 ha. O censo agrícola revela que nesta região o número total de propriedades rurais

é de 2.049 estabelecimentos e o número total de hectares é de 51.508.

Dessa relação podemos tirar uma razão de ha/propriedade:

. . 51.508.
25,13. /

º 2.049

total de ha ha
Razão ha propriedade

n de propriedades rurais propriedades rurais
= = =

Segundo essa razão (25,13 ha/propriedade), observamos que na prática ela corresponde

ao módulo rural.

Como comprovaremos a hipótese de que o modelo de concentração de terras está modifi-

cando o tamanho das propriedades rurais?

Estabelecemos então uma proporcionalidade com a finalidade de ter uma informação bá-

sica para o cálculo da amostra:

P=25/25, 13=0,99 logo q=(1-p)= 0,01

µ’=p=0,99; σ’²=s’² =p*q= 0,99*0,01=0,0099;

s=√( p*q)= √(0,0099)=0,09949874 e

CV= √q/p=√0,01/0,99)=0,10050378

Estabelecendo εr=0,03 e uma Pf=0,95→zα /2=1,96, vamos dimensionar o tamanho da
amostra utilizando a fórmula para proporção com N finito:

2 2
/2

2 2 2
/2( 1)

N z
n

N z
α

α

σ
ε σ

=
− +

=

2 2
/2

2 2 2
/2

2049*(1,96)² * (0,10050378)²

( 1) (2049 1)*(0,03)² (1,96)² * (0,10050378)²r

N z CV

N z CV
α

αε
= =

− + − +
=

= 42,25 ≈ 43 propriedades na amostra.

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Como percebemos, em princípio não temos muita informação sobre as propriedades para fazer

um cálculo da amostra; buscamos então um apoio numa proporção que na realidade é uma razão.

A estatística que mais agregaria informação seria a Média, pois ela é uma medida que faz

um aporte de dados individual, isto é, teríamos uma informação conhecida para o cálculo da

Média de cada uma das propriedades.

Como, no entanto, a razão calculada representa baixíssima variabilidade, entendemos que

a amostra não sofrerá superestimação para compensar. Posteriormente, com base na amostra

realizada, poderemos estimar um real tamanho da amostra para verificar o nível de satisfação

com os cálculos realizados.

2) Redimensionamento dos requisitos em termos de erro e confiança, se adotarmos uma amostra

menor do que a calculada.

Uma vez que o n calculado foi de 43 para um εr=0,03 e uma Pf=0,95 e o n realizado foi
de 30, devemos atualizar o erro e/ou a confiança.

Vamos assumir que a Probabilidade de Confiança não se modificou e apenas vamos mexer

na margem de erro, portanto: