Apostila UNIJUÍ -Métodos estaísticos e a administração
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Apostila UNIJUÍ -Métodos estaísticos e a administração

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As relações lineares têm importância especial porque uma linha

reta é um padrão simples e bastante comum.

EaD

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MÉtodos estatísticos e a adMinistração

 0 1R≤ ≥ 1 0R− ≤ ≥
 Correlação linear positiva Correlação linear negativa

 Correlação não linear Não há correlação linear

Karl Person (1857 – 1936) foi quem desenvolveu a fórmula de R, que é dado por:

( ) ( )( )
( ) ( )2 22 2

i i i i

i i i i

n X Y X Y
R

n X X n Y Y

−
=

− −

∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑

, -1 ≤ R ≤ 1

O valor de R deve estar sempre entre –1 e +1, inclusive. Valores de R próximos de –1 e

+1 indicam correlação forte, e valores próximos de zero indicam correlação fraca. O sinal de R

indica se a correlação é positiva ou negativa.

Por simulação numérica e pela proximidade ou não dos pontos em torno da reta de regres-

são, temos:

R 0 Sem Correlação Linear
R 0 |---– 0,3 Correlação Linear Positiva Fraca
R 0,3 |---– 0,6 Correlação Linear Positiva Média
R 0,6 |---– 0,8 Correlação Linear Positiva Forte
R 0,8 |---– 1,0 Correlação Linear Positiva Muito Forte
R 1,0 Correlação Linear Posi t iva Perfei ta

No nosso exemplo devemos calcular e interpretar o Coeficiente de Correlação.

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15(26004) (120).(3050)

15(1240) (120)² 15(636520) (3050)²
R

−=
− − →

390060 366000

4200 245300
R

−=

24060

64,80741* 495,2777
R = → 24060

32097,66
R = → 0,749587R =

Assim, o grau de correlação observado entre os investimentos reais em função do tempo

é linear positiva forte.

Observação Importante: Correlação não é igual à causa e efeito, pois duas variáveis podem

estar relacionadas e, no entanto, não haver entre elas nenhuma relação de causa e efeito.

Como exemplo, em Triola (1999) e outros, ao relacionarmos o tamanho do pé com a renda de

um grupo de indivíduos, poderemos observar uma alta correlação, próximo de 1, no entanto

na prática não existe nenhuma relação de causa e efeito entre ambas.

Se duas variáveis estiverem relacionadas pela lei de causa e efeito, é viável o estabeleci-

mento do grau que mantém as mesmas correlacionadas. No nosso exemplo, embora não possamos

afirmar que a variável iX seja a única causa das variações sofridas em iY , é razoável admitir que

maiores gastos em comerciais oferecem uma maior probabilidade de retornos financeiros.

Assim, dá para sabermos quanto da variação de iY pode ser explicada pelas variações de

iX , que é dado pelo Coeficiente de Determinação.

seção 6.4

coeficiente de determinação ( 2R )

É um dos critérios mais empregados para caracterizar o ajuste, pois o Coeficiente de Deter-

minação nos permite saber quanto da variação de iY pode ser explicado pela variação de iX .

( )22 .100R R=

Assim, o Coeficiente de Determinação (poder explicativo do modelo) é dado por:

Se 0,749587R = , então 2 (0,749587)².100R = → 2 56,19%R = , significando que
aproximadamente 56,19% das variações dos investimentos reais são explicadas pelas

variações dos anos. E o restante pode ser explicado por outras variáveis que não estão

sendo consideradas no modelo.

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MÉtodos estatísticos e a adMinistração

seção 6.5

análise de regressão

Com a regressão buscamos as leis que explicam como duas ou mais variáveis estão relacio-

nadas. Além disso, proporciona obtermos um dado desconhecido a partir de seu par conhecido,

com uma boa aproximação.

O estudo da regressão é usado para estabelecer uma equação matemática que possa des-

crever com certa precisão a relação entre duas ou mais variáveis.

Ao traçarmos o diagrama de dispersão e obtermos uma nuvem de pontos de configuração

lembrando uma reta, é possível equacionarmos a esses pontos uma reta com o objetivo de pro-

duzirmos uma informação simplificada que possa expressar a lei que as mantém unidas.

Devemos lembrar que por dois pontos passa uma e somente uma reta, mas que quando

temos uma nuvem de pontos podemos traçar inúmeras retas.

De todas as retas possíveis devemos escolher a que melhor se ajuste a todos os pontos

simultaneamente. A escolha dessa reta (equação) segue um critério chamado Método dos Mí-

nimos Quadrados.

O Método dos Mínimos Quadrados deve-se ao matemático e astrônomo francês Pierre

Simon Laplace, que segue estes critérios:

iˆ i iY X eα β= + + ⇒Þ Sejam (a, b) estimadores de (αa , βb) ⇒Þ ( )2 2
1

,
n

i i i
i

S e Y a bX
=

= = − −∑ ∑
o que torna necessário:

0

0

S

a
S

b

∂ =
∂
∂ =
∂

Diferenciando S parcialmente em relação aos estimadores a e b, e simplificando as ex-

pressões, obtemos as equações normais do ajuste pelo método dos mínimos quadrados. Essas

equações normais são equações lineares e podem ser resolvidas, simultaneamente, em relação

aos coeficientes a e b, ou algebricamente temos:

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i iY Xa b
n n

= −∑ ∑

( )22
i i i i

i i

n X Y X Y
b

n X X

−
=

−
∑ ∑ ∑
∑ ∑

No caso da regressão linear simples, a variável iY é considerada a variável dependente

(resposta) e a variável iX é considerada a variável independente (explicativa).

Significado dos parâmetros:

α : Coeficiente Linear ou intercepto. É onde a reta corta o eixo iY . Interpretado como a variação
média da variável dependente iY , que não depende da variável independente iX . É dado na

mesma unidade de medida de iY . Diz o nível de iY quando iX é igual a zero.

β : Coeficiente Angular, inclinação. Fornece uma estimativa da variação esperada de iY , a partir
da variação de uma unidade de iX . A variação pode ser positiva ou negativa.

ie : São os erros aleatórios, inerentes às variáveis em estudo.

Assim, a equação de regressão estimada é:

iˆ iY a bX= +

Observação importante:

O sinal ^ sobre o iY é para indicar que se trata de um valor teórico, próximo da realidade,

mas não necessariamente presente nos dados observados.

Agora devemos calcular a equação da reta de regressão e comentar sobre o significado

das estimativas.

Cálculo dos coeficientes a e b.

15(26004) (120).(3050) 24060

15(1240) (120)² 4200
b

−= =
−

 → 5,7286b = agora podemos determinar

3050 120
5,7286.

15 15
a = − → 203,3333 45,8288a = − → 203,3333 45,8288a = − → 157,5045a =

Em nosso exemplo: ˆ 157,5045 5,7286i iY X= +

Significado dos coeficientes:

157,5045a = Investimento médio real que não depende do passar dos anos. No exemplo
este coeficiente não tem sentido prático, no entanto não podemos esquecer que ele faz parte do

modelo ajustado e que para fazermos projeções ele é essencial.

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MÉtodos estatísticos e a adMinistração

5,7286b = Acréscimo médio nos investimentos reais a cada ano. A cada ano os investi-

mentos reais tiveram um acréscimo médio de 5,7286 dólares.

Pergunta: Qual é o volume esperado de investimentos reais a serem gastos no ano de

1983?

ˆ 157,5045 5,7286i iY X= + substituindo em iX o código respectivo ao ano seguinte temos:

ˆ 157,5045 5,7286.(16)iY = + → ˆ $249,16iY U= volume esperado para o ano de 1983.

seção 6.6

Banco de dados

tabela 2: valores dos investimentos reais e do Produto interno Bruto, em bilhões de dólares,

as taxas médias de juros e as taxas de inflação no período entre 1968 e 1982 nos estados Unidos

ANO INVESTIMENTO PIB JUROS INFLAçãO
1968

1969

1970

1971

1972

1973

1974

1975

1976

1977

1978

1979

1980

1981

1982

161

172

158

173

195

217

199

163

195

231

257

259

225

241

204

1058

1088

1086

1122

1186

1254

1246

1232

1298

1370

1439

1479

1474

1503

1475

5,16

5,87

5,95

4,88

4,50

6,44

7,83

6,25

5,50

5,46

7,46

10,28

11,77

13,42

11,02

4,40

5,15

5,37

4,99

4,16

5,75

8,82

9,31

5,21

5,83

7,40

8,64

9,31

9,44

5,99

Fonte: Disponível em: www.ibre.fgv.br/.

Com este banco de dados pretendemos que você aplique a teoria estudada na Unidade 6.

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resUMo da Unidade 6

Nesta Unidade aprendemos a desvendar