Microsoft_PowerPoint_-_aula2inferencia_[Modo_de_Compatibilidade]
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15,1 17,0 14,9 14,8 14,0.
( ) .948,0875,14
140
1
 e 875,14
40
1 40
1
2
40
1
=\u2212
\u2212
=== \u2211\u2211
=
=
i i
i
i XsXX
Solução. Inicialmente calculamos
Pelo enunciado, n = 40 e 1 - \u3b1 =
0,95, de modo que \u3b1 = 0,05. Da
tabela (Tábua III) com 40 g.l.
(39 g.l. não estão na Tábua III)
e p = 5%, obtemos t\u3b1/2 = 2,021.
21
Exemplo (p. 28 em Montgomery et al., 2004)
Logo, o erro máximo é igual
303,0
40
948,0021,21,2/ === \u2212
n
s
tE n\u3b1
e o IC de 95% para a média da população é dado por
15,18]. ;57,14[]303,0875,14 ;303,0875,14[];[];[ =+\u2212=+\u2212= EXEXUL
22
Exemplo (p. 28 em Montgomery et al., 2004)
Solução em R. 
Leitura dos dados: (visc = scan("Ex02_47.txt"))
Estatística descritiva: summary(visc)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 
12.60 14.30 14.90 14.88 15.33 17.00 
Análise exploratória:
par(mfrow = c(2,2))
stripchart(visc, pch = 20, cex = 
1.5, method = "stack", xlab = 
"Viscosidade")
hist(visc, xlab = "Viscosidade", 
ylab = "Densidade", main = "", freq 
= FALSE)
lines(density(visc), col = "blue")
boxplot(visc, xlab = "Viscosidade", 
pch = "*", horizontal = TRUE)
qqnorm(visc, main = "", pch = 20, 
xlab = "Quantis teóricos", ylab = 
"Quantis amostrais")
qqline(visc)
23
Determinação do tamanho da amostra para estimação de µ
Erro máximo na estimação de µ:
.2/
n
zE \u3c3\u3b1=
.2
2
2/
2
E
z
n
\u3c3\u3b1 ×
=
z\u3b1/2 é obtido da tabela normal após a escolha do coeficiente de 
confiança (1 - \u3b1).
Se o desvio padrão (\u3c3) for conhecido, podemos especificar o erro 
máximo (E) e em seguida calcular n:
Se o desvio padrão (\u3c3) não for conhecido, podemos utilizar o 
desvio padrão obtido de uma amostra piloto com n0 observações:
,2
2
02/
2
E
sz
n
×
\u2245
\u3b1 sendo que s02 é a variância amostral da amostra piloto.
24
Em uma siderúrgica estuda-se a resistência média das barras de aço
utilizadas na construção civil. Qual o tamanho amostral necessário para
garantir que um erro máximo de 8 kg seja superado com probabilidade
igual a 0,01? O desvio padrão da resistência para este tipo de barra é
de 25 kg.
Solução.Do enunciado tem-se \u3c3 = 25 kg, E = 8 kg e
Exemplo
,01,01)(P01,0)(P1 \u2212=+\u2264\u2264\u2212\u21d2=+\u2264\u2264\u2212\u2212 EXEXEXEX µµ
ou seja, \u3b1 = 0,01 (o coeficiente de confiança do IC é 1 - \u3b1 = 99%).
Consultando a tabela
normal encontramos
z\u3b1/2 = 2,575.
.65
8
25575,2
 
 Portanto,
2
22
2
2
2/
2
=
×
=
×
=
E
z
n
\u3c3\u3b1
5
25
5. Intervalo de confiança para uma proporção populacional
Suponha que tem-se uma população dicotômica, constituída 
apenas por elementos de dois tipos , isto é, cada elemento pode 
ser classificado com sucesso ou fracasso, suponha que 
probabilidade de sucesso é p e de fracasso é q=1-p, e desta 
população se retira uma amostra aleatória, X1\u2026, Xn de n 
observações. Vimos 
 
)1,0(~
)1(
\u2c6
N
n
pp
ppZ
\u2212
\u2212
=
Para um nível de confiança fixado em 100(1-\u3b1)%,um intervalo para p,
para uma amostra suficientemente grande.
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
×+
\u2212
×\u2212=\u2212
n
pp
zp
n
pp
zppIC )1(\u2c6;)1(\u2c6)1,( 2/2/ \u3b1\u3b1\u3b1
26
Abordagem otimista
)porsubstituir p-(p-p)p( \u2c61\u2c61
Abordagem conservativa
1/4 porsubstituir -p)p(1
)1()\u2c61(\u2c6\u2c6;)\u2c61(\u2c6\u2c6)1,( 2/2/ a
n
pp
zp
n
pp
zppIC \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
×+
\u2212
×\u2212=\u2212 \u3b1\u3b1\u3b1
)1(
4
1
\u2c6;
4
1
\u2c6)1,( 2/2/2/ b
n
zzp
n
zppIC \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
××+×\u2212=\u2212 \u3b1\u3b1\u3b1\u3b1
27
Um estudo foi realizado para determinar a proporção de componentes de um
certo tipo que resistem durante um certo período a condições de uso mais
rigorosas do que as especificadas. Em uma amostra de 200 componentes
selecionados ao acaso, 160 resistiram. Apresente um intervalo de 95% de
confiança para a proporção de componentes que resistem.
Como 1-\u3b1 = 0,95, obtemos da
tabela normal padrão z0,025 =
1,96.
[ ].855,0;745,0 
200
)8,01(8,096,18,0;
200
)8,01(8,096,18,0IC
=
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
×+
\u2212
×\u2212\u2245
[ ].869,0;731,0
2004
196,18,0 ;
2004
196,18,0IC =\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
×
×+
×
×\u2212\u2245
Abordagem conservativa:
Exemplo
Solução. Estimativa pontual de p: %).80(8,0
200
160
==p
Abordagem otimista:
28
Determinação do tamanho da amostra para estimação de p
Erro máximo de estimação de p é dado por :
n
pp
zE )1(
2
\u2212
×= \u3b1
( )
2
2/
2 )1(
E
ppz
n
\u2212
=\u21d2
\u3b1
Quando não se tem informação de p: ( )
2
2/
2 25,0
E
z
n
\u3b1
=\u21d2
29
Exemplo 6: Suponha que a fábrica de papel no Brasil, deseja estimar a
proporção de funcionários com uma renda inferior a R$ 200,00.
Estudos anteriores indicam que esta proporção é de 20%.
(a) Que tamanho de amostra se requer para assegurar uma confiança
de 95% e o erro máximo de estimação desta proporção seja de
5%?
(b) Em quanto variara o tamanho da amostra se o erro máximo
permissível é reduzido a 1%.?
Dos dados temos p=0,20 e 1-\u3b1=0,95. Da tabela normal padrão
z0,025.=1,96.
( ) 24686,245
05,0
8,02,0)96,1(
2
2
\u2248=
×
=\u21d2 n
(a) O erro máximo de estimação E=0,05.
30
Uma equipe pretende estimar a proporção de avarias ocorridas no transporte
de um produto. Estudos anteriores indicam que esta proporção não ultrapassa
20%. Que tamanho de amostra é necessário para assegurar com uma confiança
de 99% que o erro de estimação desta proporção seja no máximo igual a 0,05?
Solução. Do enunciado obtemos p \u2264 0,20, 1 \u2013 \u3b1 = 0,99 e E = 0,05. Da
tabela normal padrão, z0,005 = 2,575.
Exemplo
Proteção em relação à situação
mais desfavorável: p* = 0,20.
Finalmente,
.4254,424 
05,0
)2,01(2,0575,2
 
)1(
2
2
2
**2
2/
=\u21d2=
\u2212××
=
\u2212×
=
n
E
ppz
n \u3b1
6
31
Problemas de inferência
3. Teste de hipóteses
Uma hipótese estatística (H) é uma afirmação sobre 
o valor de \u3b8. Pode ser verdadeira ou falsa.
Se \u3b8 é a probabilidade de sucesso no modelo 
binomial, H: \u3b8 = ½, H: \u3b8 \u2260 ½ e H: \u3b8 > ¾ são 
exemplos de hipóteses. 
Com base na amostra X1,...,Xn, formulamos uma 
regra de decisão que permita concluir pela rejeição
ou não rejeição (aceitação) de H. A decisão pode 
ser correta ou errada.
32
H0: µ = 60
e H1: µ \u2260 60
Exemplo. Uma indústria adquire de um certo fabricante pinos cuja
resistência média à ruptura é especificada em 60 unid. (valor nominal da
especificação). Em um determinado dia a indústria recebeu um grande
lote de pinos e a equipe técnica da indústria deseja verificar se o lote
atende às especificações.
Teste de hipóteses
H0: O lote atende às especificações
H1: O lote não atende às especificações
A v. a. X (resistência à ruptura) é tal que X ~ N (µ, 25). O problema
pode ser resolvido testando as hipóteses
(hipótese simples: um único valor)
(hipótese composta: mais de um valor)
(Hipótese nula)
(Hipótese alternativa)
33
Definição. Uma hipótese estatística é uma afirmação sobre o(s)
parâmetro(s) da distribuição de probabilidade de uma característica (v.
a. X) da população.
Definição. Um teste de uma hipótese estatística é um procedimento ou
regra de decisão que nos possibilita decidir por H0 ou H1 com base na
amostra X1,...,Xn.
Exemplo. A equipe técnica da indústria decidiu retirar uma amostra aleatória de 
tamanho n = 16 do lote recebido. A resistência de cada pino foi medida e foi 
calculada a a resistência média X (estimador de µ), que será utilizada para 
realizar o teste (estatística de teste). Podemos afirmar que 
 
.
16
25
,~ \uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8ebµNX
Para quais valores de X a equipe técnica deve rejeitar H0 e portanto 
rejeitar o lote? 
 
Teste de hipóteses
34
Definição. Região crítica (Rc) ou região de rejeição é o conjunto de
valores assumidos pela estatística de teste para os quais a hipótese
nula é rejeitada. Seu complementar é a região de aceitação (Ra).
Exemplo. Se o lote está fora de especificação , isto é, se H1: µ \u2260 60
for verdadeira, espera-se que a média amostral seja inferior ou
superior a 60 unid.
A equipe técnica decidiu adotar a seguinte regra: 
 rejeitar Ho se X for maior do que 62,5 unid. ou menor do que 57,5 unid. 
As duas regiões são 
{ }5,57ou5,62 <>= XXRc
{ }5,625,57 \u2264\u2264= XRa : região de aceitação de H0.
: região de rejeição de H0 e
35
Procedimento (teste):
.H se)-(aceita rejeita se não,Se
;H se-ejeita,Se
0
0
c
c
Rx
rRx
\u2209
\u2208
36
Tipos de erros
Erro tipo I: rejeitar H0 quando H0 é verdadeira.
Erro tipo II: não rejeitar H0 quando H0 é falsa.
Exemplo.