Microsoft_PowerPoint_-_aula2inferencia_[Modo_de_Compatibilidade]
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15,1 17,0 14,9 14,8 14,0.

( ) .948,0875,14
140

1
 e 875,14

40
1 40

1
2

40

1
=−

−

=== ∑∑
=

=

i i
i

i XsXX

Solução. Inicialmente calculamos

Pelo enunciado, n = 40 e 1 - α =
0,95, de modo que α = 0,05. Da
tabela (Tábua III) com 40 g.l.
(39 g.l. não estão na Tábua III)
e p = 5%, obtemos tα/2 = 2,021.

21

Exemplo (p. 28 em Montgomery et al., 2004)

Logo, o erro máximo é igual

303,0
40
948,0021,21,2/ === −

n

s
tE nα

e o IC de 95% para a média da população é dado por

15,18]. ;57,14[]303,0875,14 ;303,0875,14[];[];[ =+−=+−= EXEXUL

22

Exemplo (p. 28 em Montgomery et al., 2004)
Solução em R.
Leitura dos dados: (visc = scan("Ex02_47.txt"))
Estatística descritiva: summary(visc)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.

12.60 14.30 14.90 14.88 15.33 17.00

Análise exploratória:
par(mfrow = c(2,2))
stripchart(visc, pch = 20, cex =
1.5, method = "stack", xlab =
"Viscosidade")
hist(visc, xlab = "Viscosidade",
ylab = "Densidade", main = "", freq
= FALSE)
lines(density(visc), col = "blue")
boxplot(visc, xlab = "Viscosidade",
pch = "*", horizontal = TRUE)
qqnorm(visc, main = "", pch = 20,
xlab = "Quantis teóricos", ylab =
"Quantis amostrais")
qqline(visc)

23

Determinação do tamanho da amostra para estimação de µ

Erro máximo na estimação de µ:

.2/
n

zE σα=

.2

2
2/

2

E
z

n
σα ×

=

zα/2 é obtido da tabela normal após a escolha do coeficiente de
confiança (1 - α).

Se o desvio padrão (σ) for conhecido, podemos especificar o erro
máximo (E) e em seguida calcular n:

Se o desvio padrão (σ) não for conhecido, podemos utilizar o
desvio padrão obtido de uma amostra piloto com n0 observações:

,2

2
02/

2

E
sz

n
×

≅
α sendo que s02 é a variância amostral da amostra piloto.

24

Em uma siderúrgica estuda-se a resistência média das barras de aço
utilizadas na construção civil. Qual o tamanho amostral necessário para
garantir que um erro máximo de 8 kg seja superado com probabilidade
igual a 0,01? O desvio padrão da resistência para este tipo de barra é
de 25 kg.
Solução.Do enunciado tem-se σ = 25 kg, E = 8 kg e

Exemplo

,01,01)(P01,0)(P1 −=+≤≤−⇒=+≤≤−− EXEXEXEX µµ
ou seja, α = 0,01 (o coeficiente de confiança do IC é 1 - α = 99%).

Consultando a tabela
normal encontramos
zα/2 = 2,575.

.65
8

25575,2

 Portanto,

2

22

2

2
2/

2

=

×
=

×
=

E
z

n
σα

5
25

5. Intervalo de confiança para uma proporção populacional

Suponha que tem-se uma população dicotômica, constituída
apenas por elementos de dois tipos , isto é, cada elemento pode
ser classificado com sucesso ou fracasso, suponha que
probabilidade de sucesso é p e de fracasso é q=1-p, e desta
população se retira uma amostra aleatória, X1…, Xn de n
observações. Vimos

)1,0(~
)1(

ˆ

N

n

pp
ppZ

−

−

=

Para um nível de confiança fixado em 100(1-α)%,um intervalo para p,
para uma amostra suficientemente grande.











−

×+
−

×−=−
n

pp
zp

n

pp
zppIC )1(ˆ;)1(ˆ)1,( 2/2/ ααα

26

Abordagem otimista

)porsubstituir p-(p-p)p( ˆ1ˆ1

Abordagem conservativa

1/4 porsubstituir -p)p(1

)1()ˆ1(ˆˆ;)ˆ1(ˆˆ)1,( 2/2/ a
n

pp
zp

n

pp
zppIC 









−

×+
−

×−=− ααα

)1(
4
1

ˆ;
4
1

ˆ)1,( 2/2/2/ b
n

zzp
n

zppIC 







××+×−=− αααα

27

Um estudo foi realizado para determinar a proporção de componentes de um
certo tipo que resistem durante um certo período a condições de uso mais
rigorosas do que as especificadas. Em uma amostra de 200 componentes
selecionados ao acaso, 160 resistiram. Apresente um intervalo de 95% de
confiança para a proporção de componentes que resistem.

Como 1-α = 0,95, obtemos da
tabela normal padrão z0,025 =
1,96.

[ ].855,0;745,0
200

)8,01(8,096,18,0;
200

)8,01(8,096,18,0IC

=









−

×+
−

×−≅

[ ].869,0;731,0
2004

196,18,0 ;
2004

196,18,0IC =








×
×+

×
×−≅

Abordagem conservativa:

Exemplo

Solução. Estimativa pontual de p: %).80(8,0
200
160

==p

Abordagem otimista:

28

Determinação do tamanho da amostra para estimação de p

Erro máximo de estimação de p é dado por :

n

pp
zE )1(

2

−

×= α
( )

2
2/

2 )1(
E

ppz
n

−

=⇒
α

Quando não se tem informação de p: ( )
2

2/
2 25,0

E
z

n
α

=⇒

29

Exemplo 6: Suponha que a fábrica de papel no Brasil, deseja estimar a
proporção de funcionários com uma renda inferior a R$ 200,00.
Estudos anteriores indicam que esta proporção é de 20%.

(a) Que tamanho de amostra se requer para assegurar uma confiança
de 95% e o erro máximo de estimação desta proporção seja de
5%?

(b) Em quanto variara o tamanho da amostra se o erro máximo
permissível é reduzido a 1%.?

Dos dados temos p=0,20 e 1-α=0,95. Da tabela normal padrão
z0,025.=1,96.

( ) 24686,245
05,0

8,02,0)96,1(
2

2

≈=
×

=⇒ n

(a) O erro máximo de estimação E=0,05.

30

Uma equipe pretende estimar a proporção de avarias ocorridas no transporte
de um produto. Estudos anteriores indicam que esta proporção não ultrapassa
20%. Que tamanho de amostra é necessário para assegurar com uma confiança
de 99% que o erro de estimação desta proporção seja no máximo igual a 0,05?

Solução. Do enunciado obtemos p ≤ 0,20, 1 – α = 0,99 e E = 0,05. Da
tabela normal padrão, z0,005 = 2,575.

Exemplo

Proteção em relação à situação
mais desfavorável: p* = 0,20.

Finalmente,

.4254,424
05,0

)2,01(2,0575,2

)1(

2

2

2

**2
2/

=⇒=

−××
=

−×
=

n

E
ppz

n α

6
31

Problemas de inferência

3. Teste de hipóteses
Uma hipótese estatística (H) é uma afirmação sobre
o valor de θ. Pode ser verdadeira ou falsa.

Se θ é a probabilidade de sucesso no modelo
binomial, H: θ = ½, H: θ ≠ ½ e H: θ > ¾ são
exemplos de hipóteses.

Com base na amostra X1,...,Xn, formulamos uma
regra de decisão que permita concluir pela rejeição
ou não rejeição (aceitação) de H. A decisão pode
ser correta ou errada.

32

H0: µ = 60
e H1: µ ≠ 60

Exemplo. Uma indústria adquire de um certo fabricante pinos cuja
resistência média à ruptura é especificada em 60 unid. (valor nominal da
especificação). Em um determinado dia a indústria recebeu um grande
lote de pinos e a equipe técnica da indústria deseja verificar se o lote
atende às especificações.

Teste de hipóteses

H0: O lote atende às especificações
H1: O lote não atende às especificações

A v. a. X (resistência à ruptura) é tal que X ~ N (µ, 25). O problema
pode ser resolvido testando as hipóteses

(hipótese simples: um único valor)
(hipótese composta: mais de um valor)

(Hipótese nula)
(Hipótese alternativa)

33

Definição. Uma hipótese estatística é uma afirmação sobre o(s)
parâmetro(s) da distribuição de probabilidade de uma característica (v.
a. X) da população.

Definição. Um teste de uma hipótese estatística é um procedimento ou
regra de decisão que nos possibilita decidir por H0 ou H1 com base na
amostra X1,...,Xn.
Exemplo. A equipe técnica da indústria decidiu retirar uma amostra aleatória de
tamanho n = 16 do lote recebido. A resistência de cada pino foi medida e foi
calculada a a resistência média X (estimador de µ), que será utilizada para
realizar o teste (estatística de teste). Podemos afirmar que

.

16
25

,~ 






µNX

Para quais valores de X a equipe técnica deve rejeitar H0 e portanto
rejeitar o lote?

Teste de hipóteses

34

Definição. Região crítica (Rc) ou região de rejeição é o conjunto de
valores assumidos pela estatística de teste para os quais a hipótese
nula é rejeitada. Seu complementar é a região de aceitação (Ra).

Exemplo. Se o lote está fora de especificação , isto é, se H1: µ ≠ 60
for verdadeira, espera-se que a média amostral seja inferior ou
superior a 60 unid.

A equipe técnica decidiu adotar a seguinte regra:
 rejeitar Ho se X for maior do que 62,5 unid. ou menor do que 57,5 unid.
As duas regiões são

{ }5,57ou5,62 <>= XXRc
{ }5,625,57 ≤≤= XRa : região de aceitação de H0.

: região de rejeição de H0 e

35

Procedimento (teste):

.H se)-(aceita rejeita se não,Se
;H se-ejeita,Se

0

0

c

c

Rx
rRx

∉
∈

36

Tipos de erros

Erro tipo I: rejeitar H0 quando H0 é verdadeira.
Erro tipo II: não rejeitar H0 quando H0 é falsa.
Exemplo.