Cap17
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momentos. Portanto, a única modificação
necessária no modelo M/M/s para introduzir uma fila finita é alterar os parâmetros \ufffdn para
\ufffdn \ufffd \ufffd
Como \ufffdn \ufffd 0 para alguns valores de n, um sistema de filas que se ajusta a esse modelo sem-
pre vai finalmente atingir uma condição de estado estável, mesmo quando \ufffd \ufffd \ufffd/s\ufffd \ufffd 1.
Esse modelo é chamado comumente M/M/s/K, em que a presença do quarto símbolo o
distingue do modelo M/M/s. A única diferença na formulação desses dois modelos é que K
é finito para o modelo M/M/s/K e K \ufffd\ufffd para o modelo M/M/s.
A interpretação física usual para o modelo M/M/s/K é que existe apenas uma sala de
espera limitada que acomodará um máximo de K clientes no sistema. Por exemplo, para o
problema da sala de emergências do Hospital Municipal, esse sistema na verdade teria uma
fila finita se houvesse apenas K leitos para os pacientes e se a política fosse a de enviar
pacientes que chegam para outro hospital toda vez que não houvesse leitos vazios.
Outra interpretação possível é que os clientes que chegam sairão e \u201cprocurarão outro
caminho\u201d toda vez que eles encontrarem muitos clientes (K) à sua frente no sistema, pois eles
não estão propensos a esperar muito nessa fila. Esse fenômeno de recusa é bastante comum
\ufffd para n \ufffd 0, 1, 2, . . . , K \ufffd 1
0 para n \ufffd K.
\u25a0 TABELA 17.2 Resultados de estado estável do modelo M/M/s
para o problema do Hospital Municipal
s \ufffd 1 s \ufffd 2
\ufffd \ufffd
2
3
\ufffd \ufffd
1
3
\ufffd
P0 \ufffd
1
3
\ufffd \ufffd
1
2
\ufffd
P1 \ufffd
2
9
\ufffd \ufffd
1
3
\ufffd
Pn para n \ufffd 2 \ufffd
1
3
\ufffd\ufffd\ufffd23\ufffd\ufffd
n
\ufffd\ufffd13\ufffd\ufffd
n
Lq \ufffd
4
3
\ufffd \ufffd
1
1
2
\ufffd
L 2 \ufffd3
4
\ufffd
Wq \ufffd
2
3
\ufffd hora \ufffd
2
1
4
\ufffd hora
W 1 hora \ufffd3
8
\ufffd hora
P{\ufffdq \ufffd 0} 0.667 0.167
P\ufffd\ufffdq \ufffd \ufffd12\ufffd\ufffd 0.404 0.022
P{\ufffdq \ufffd 1} 0.245 0.003
P{\ufffdq \ufffd t} \ufffd
2
3
\ufffde\ufffdt \ufffd
1
6
\ufffde\ufffd4t
P{\ufffd \ufffd t} e\ufffdt \ufffd
1
2
\ufffde\ufffd3t(3 \ufffd e\ufffdt)
17.6 MODELOS DE FILAS BASEADOS NO PROCESSO DE NASCIMENTO-E-MORTE 29
em sistemas de atendimento comerciais. Entretanto, existem outros modelos disponíveis (por
exemplo, ver Problema 17.5-5) que se encaixam ainda melhor nessa interpretação.
O diagrama de taxas para esse modelo é idêntico àquele mostrado na Figura 17.5 para
o modelo M/M/s, exceto que ele pára com o estado K.
Resultados para o Caso com um Único Atendente (M/M/1/K). Para esse caso,
\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
n
\ufffd \ufffdn para n \ufffd 0, 1, 2, . . . , K
Cn \ufffd
0 para n \ufffd K.
Portanto, para \ufffd\ufffd1,10
P0 \ufffd \ufffd\ufffdKn\ufffd0
1
(\ufffd/\ufffd)n\ufffd
\ufffd 1\ufffd\ufffd 
\ufffd \ufffd1
1
\ufffd
\ufffd
\ufffdK
\ufffd
\ufffd1\ufffd,
de modo que
Pn \ufffd \ufffd1
1
\ufffd
\ufffd
\ufffdK
\ufffd
\ufffd1\ufffd \ufffd
n
, para n \ufffd 0, 1, 2, . . . , K.
Portanto,
L \ufffd \ufffd
K
n\ufffd0
nPn
\ufffd \ufffd1
1
\ufffd
\ufffd
\ufffdK
\ufffd
\ufffd1\ufffd \ufffd \ufffd
K
n\ufffd0
\ufffdd
d
\ufffd
\ufffd(\ufffdn)
\ufffd \ufffd1
1
\ufffd
\ufffd
\ufffdK
\ufffd
\ufffd1\ufffd \ufffd \ufffdd
d
\ufffd
\ufffd\ufffd\ufffd
K
n\ufffd0
\ufffdn\ufffd
\ufffd \ufffd1
1
\ufffd
\ufffd
\ufffdK
\ufffd
\ufffd1\ufffd \ufffd \ufffdd
d
\ufffd
\ufffd\ufffd\ufffd1 1\ufffd\ufffd\ufffd
K
\ufffd
\ufffd1
\ufffd\ufffd
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd1 \ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd
(K
1
\ufffd
\ufffd
1
\ufffd
)
K
\ufffd
\ufffd
K
1
\ufffd1
\ufffd.
Como de praxe (quando s \ufffd 1),
Lq \ufffd L \ufffd (1 \ufffd P0).
Observe que os resultados anteriores não precisam que \ufffd 	 \ufffd (isto é, que \ufffd 	 1).
Quando \ufffd 	 1, pode ser verificado que o segundo termo na expressão final para L con-
verge para 0 à medida que K \u2192 \ufffd, de forma que todos os resultados anteriores de fato con-
virjam para os resultados correspondentes ao modelo M/M/1, mostrado anteriormente.
As distribuições de tempos de espera podem ser obtidas usando-se o mesmo raciocínio
daquele para o modelo M/M/1 (ver Problema 17.6-27). Entretanto, não são obtidas expres-
sões simples nesse caso, de modo que é necessário o emprego de computador para efetuar
\ufffd(K \ufffd 1)\ufffdK \ufffd K\ufffdK\ufffd1 \ufffd 1
\ufffd\ufffd\ufffd(1 \ufffd \ufffdK\ufffd1)(1 \ufffd \ufffd)
1 \ufffd (\ufffd/\ufffd)K\ufffd1
\ufffd\ufffd
1 \ufffd \ufffd/\ufffd
\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
10 Se \ufffd \ufffd 1, então Pn \ufffd 1/(K \ufffd 1) para n \ufffd 0, 1, 2, . . . , K, de modo que L \ufffd K/2.
30 CAPÍTULO 17 TEORIA DAS FILAS
os cálculos. Felizmente, embora L \ufffd \ufffdW e Lq \ufffd \ufffdWq para o modelo atual, pois \ufffdn não é
igual para todo n (ver o final da Seção 17.2), os tempos de espera previstos para clientes
entrando no sistema ainda podem ser obtidos diretamente das expressões dadas no final da
Seção 17.5:
W \ufffd \ufffdL
\ufffd\ufffd
\ufffd, Wq \ufffd \ufffd
L
\ufffd\ufffd
q
\ufffd,
em que
\ufffd\ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd
n\ufffd0
\ufffdnPn
\ufffd \ufffd
K\ufffd1
n\ufffd0
\ufffdPn
\ufffd \ufffd(1 \ufffd PK).
Resultados para o Caso com Vários Atendentes (s \ufffd 1). Como esse modelo não
permite mais que K clientes no sistema, K é o número máximo de atendentes que poderia
ser usado. Portanto, suponha que s \ufffd K. Nesse caso, Cn se torna
\ufffd
(\ufffd
n
/\ufffd
!
)n
\ufffd para n \ufffd 0, 1, 2, . . . , s
Cn \ufffd \ufffd(\ufffd
s
/\ufffd
!
)s
\ufffd \ufffd\ufffds\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
n\ufffds
\ufffd \ufffd
(
s
\ufffd
!s
/\ufffd
n\ufffd
)n
s\ufffd para n \ufffd s, s \ufffd 1, . . . , K
0 para n \ufffd K.
Portanto,
\ufffd
(\ufffd
n
/\ufffd
!
)n
\ufffdP0 para n \ufffd 1, 2, . . . , s
Pn \ufffd \ufffd(
s
\ufffd
!s
/\ufffd
n\ufffd
)n
s\ufffdP0 para n \ufffd s, s \ufffd 1, . . . , K
0 para n \ufffd K,
em que
P0 \ufffd 1\ufffd\ufffd\ufffd
s
n\ufffd0
\ufffd
(\ufffd
n
/\ufffd
!
)n
\ufffd \ufffd \ufffd
(\ufffd
s
/\ufffd
!
)s
\ufffd \ufffd
K
n\ufffds\ufffd1 \ufffd\ufffds
\ufffd
\ufffd
\ufffd\ufffd
n\ufffds

.
Essas fórmulas continuam a usar a convenção de que n! \ufffd 1 quando n \ufffd 0.
Adaptando a derivada de Lq para o modelo M/M/s a esse caso resulta em
Lq \ufffd \ufffds
P
!
0
(
(
1
\ufffd
\ufffd
/\ufffd)
\ufffd
s
)
\ufffd
2\ufffd [1 \ufffd \ufffdK\ufffds \ufffd (K \ufffd s)\ufffdK\ufffds(1 \ufffd \ufffd)],
em que \ufffd \ufffd \ufffd/(s\ufffd).11 Pode se provar que
L \ufffd \ufffd
s\ufffd1
n\ufffd0
nPn \ufffd Lq \ufffd s\ufffd1 \ufffd \ufffd
s\ufffd1
n\ufffd0
Pn\ufffd.
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
11 Se \ufffd \ufffd 1, é necessário aplicar duas vezes a regra de L\u2019Hôpital a essa expressão para Lq. Caso contrário, to-
dos esses resultados com vários atendentes serão válidos para todo \ufffd\ufffd0. A razão para que esse sistema de fi-
las consiga atingir uma condição de estado estável mesmo quando \ufffd \ufffd 1 é que \ufffdn \ufffd 0 para n \ufffd K, de modo
que o número de clientes no sistema não possa continuar a crescer indefinidamente.
17.6 MODELOS DE FILAS BASEADOS NO PROCESSO DE NASCIMENTO-E-MORTE 31
E W e Wq são obtidos desses valores exatamente como mostrado para o caso com um único
atendente.
O arquivo Excel para este capítulo inclui um gabarito em Excel para calcular as medi-
das de desempenho dadas anteriormente (inclusive Pn) para esse modelo.
Um caso especial interessante desse modelo é aquele no qual K \ufffd s de maneira que a
capacidade da fila seja K \ufffd s \ufffd 0. Nesse caso, clientes que chegam quando todos os aten-
dentes estão ocupados sairão imediatamente e serão perdidos para o sistema. Isso ocorre-
ria, por exemplo, em uma rede telefônica com s linhas-tronco de modo que aqueles que
telefonassem receberiam um sinal de ocupado e desligariam quando todas as linhas-tronco
estivessem ocupadas. Esse tipo de sistema (um \u201csistema de filas\u201d sem nenhuma fila) é cha-
mado sistema de perda de Erlang, pois ele foi estudado pela primeira vez no início do século
XX por A. K. Erlang, um engenheiro de telecomunicações dinamarquês que é considerado
o criador da teoria das filas.
Hoje é comum para o sistema telefônico em um call center fornecer algumas linhas-
tronco extras que colocam a pessoa que fez a chamada em espera, porém, outras pessoas que
ligarem depois disso poderão encontrar as linhas ocupadas (sinal de ocupado). Um sistema
destes também se ajusta a esse modelo, no qual (K \u2013 s) é o número de linhas-tronco extras
que colocam a pessoa que fez a chamada na espera. Um dos exemplos na seção de Exemplos
Trabalhados do CD-ROM ilustra a aplicação desse modelo para um sistema destes.
Variante da População Solicitante Finita do Modelo M/M/s
Suponha agora que o único desvio do modelo M/M/s seja que (conforme definido na
Seção 17.2) a fonte de entradas seja limitada, isto é, o tamanho da população solicitante
é finito. Para esse caso, façamos que N represente o tamanho da população solicitante.
Assim, quando o número de clientes no sistema de filas for n (n \ufffd 0, 1, 2, . . . , N), exis-
tirão apenas N \ufffd n possíveis clientes restantes na fonte de entradas.
A aplicação mais importante desse modelo foi a do problema do conserto de máquinas,
no qual um ou mais técnicos de manutenção recebem o encargo de manter em operação
certo grupo de N máquinas reparando cada uma que quebrar. O exemplo dado no final da
Seção 16.8 ilustra essa aplicação quando os procedimentos gerais para solucionar qualquer
cadeia de Markov de tempo contínuo são usados em vez das fórmulas específicas disponí-
veis para o processo de nascimento-e-morte. A equipe de manutenção é considerada como
atendentes individuais no sistema de filas se eles trabalharem individualmente em diferen-
tes tipos de máquinas, ao passo que toda a equipe é considerada um único atendente se os
membros da equipe trabalharem juntos em cada máquina. As máquinas