Cap17
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que chegam serão os primeiros a ser aten-
didos. Entretanto, esses valores representam expectativas estatísticas, de modo que alguns
pacientes terão de esperar consideravelmente mais que a média para suas classes de priori-
dades. Essa demora não seria tolerável para os casos críticos e graves, nos quais alguns pou-
cos minutos podem ser vitais. Ao contrário, os resultados com s � 2 da Tabela 17.3 (caso
das prioridades preemptivas) indicam que acrescentar um segundo médico praticamente eli-
minaria a espera para todos, exceto os casos estáveis. Portanto, o administrador recomendou
a presença de dois médicos de plantão na sala de emergências durante as primeiras horas da
noite no próximo ano. A diretoria do Hospital Municipal adotou essa recomendação e simul-
taneamente aumentou o ônus para uso da sala de emergências!

17.9 REDES DE FILAS 47

meio de uma seqüência de grupos de máquinas (instalações de atendimento). Assim, é
necessário estudar toda a rede para obter informações como o tempo de espera previsto total,
número de clientes esperados no sistema todo e assim por diante.

Em virtude da importância de redes de filas, as pesquisas nessa área estão muito ativas.
Entretanto, esta é uma área difícil, de modo que nos limitaremos a uma breve introdução.

Um desses resultados é de tal importância para redes de filas que essa descoberta e suas
implicações merecem especial atenção aqui. Esse resultado fundamental é a propriedade de
equivalência a seguir para o processo de entrada de clientes que chegam e o processo de
saída de clientes que saem para certos sistemas de filas.

Propriedade da equivalência: Suponha que uma instalação de atendimento com
s atendentes e uma fila infinita tenha uma entrada de Poisson com parâmetro � e
a mesma distribuição exponencial de tempo de atendimento com parâmetro � para
cada atendente (o modelo M/M/s), em que s� � �. Então a saída de estado está-
vel dessa instalação de atendimento também é um processo de Poisson23 com
parâmetro �.

Note como essa propriedade não faz nenhuma hipótese em relação ao tipo de discipli-
na da fila usada. Seja ela os primeiros que chegam serão os primeiros a ser atendidos, alea-
tória ou até mesmo uma disciplina de prioridades como indicado na Seção 17.8, os clientes
atendidos deixarão a instalação de atendimento de acordo com um processo de Poisson. A
implicação crucial desse fato para redes de filas é que se esses clientes tiverem de ir a outra
instalação de atendimento para outros atendimentos, essa segunda instalação também terá
uma entrada de Poisson. Com uma distribuição exponencial de tempos de atendimento, a
propriedade de equivalência também será válida para essa instalação, que poderá então for-
necer uma entrada de Poisson para uma terceira instalação etc. Discutimos a seguir as con-
seqüências para dois tipos de redes.

Filas Infinitas em Séries

Suponha que todos os clientes tenham de receber atendimento em uma série de m instala-
ções de atendimento em uma seqüência fixa. Suponha que cada instalação tenha uma fila
infinita (nenhuma limitação no número de clientes permitidos na fila), de modo que a série
de instalações forma um sistema de filas infinitas em série. Suponha ainda que os clientes
cheguem na primeira instalação de acordo com um processo de Poisson com parâmetro � e
que cada instalação i (i � 1, 2, . . . , m) tenha uma distribuição exponencial de tempos de
atendimento com parâmetro �i para seus si atendentes, em que si�i � �. Decorre então da
propriedade da equivalência que (sob condições de estado estável) cada instalação de aten-
dimento tem uma entrada de Poisson com parâmetro �. Portanto, o modelo M/M/s elemen-
tar da Seção 17.6 (ou seus equivalentes de disciplina de prioridades da Seção 17.8) pode ser
usado para analisar cada instalação de atendimento independentemente dos demais!

Ser capaz de usar o modelo M/M/s para obter todas as medidas de desempenho para
cada instalação independentemente, em vez de analisar interações entre instalações, é uma
simplificação tremenda. Por exemplo, a probabilidade de ter n clientes em dada instalação é
dada pela fórmula para Pn na Seção 17.6 para o modelo M/M/s. A probabilidade conjunta
de n1 clientes na instalação 1, n2 clientes na instalação 2, . . . , então, é o produto das proba-
bilidades individuais obtidas nessa maneira simples. Particularmente, essa probabilidade
conjunta pode ser expressa como

P{(N1, N2, . . . , Nm) � (n1, n2, . . . , nm)} � Pn1Pn2…Pnm.
Essa forma simples para a solução é chamada solução em forma de produto. De maneira
similar, o tempo de espera previsto total e o número esperado de clientes no sistema inteiro
podem ser obtidos meramente somando os valores correspondentes obtidos nas respectivas
instalações.

23 Para uma demonstração, ver BURKE, P. J. The Output of a Queueing System. Operations Research, v. 4,
n. 6, p. 699-704, 1956.

48 CAPÍTULO 17 TEORIA DAS FILAS

Infelizmente, a propriedade da equivalência e suas implicações não são válidas para o
caso de filas finitas discutido na Seção 17.6. Esse caso é, na verdade, bem importante na prá-
tica, pois muitas vezes existe uma limitação definida no comprimento da fila em frente das
instalações de atendimento em redes. Por exemplo, somente uma pequena quantidade de
espaço de armazenagem em buffer é fornecida tipicamente em frente de cada instalação
(estação) em um sistema de linha de produção. Para sistemas de filas finitas em série desse
tipo, não existe uma solução em forma de produto simples. As instalações devem, sim, ser
analisadas em conjunto e até agora só foram obtidos resultados limitados.

Redes de Jackson

Os sistemas de filas infinitas em série não são as únicas redes de filas em que o modelo
M/M/s pode ser usado para analisar cada instalação de atendimento independentemente das
demais. Outro tipo proeminente de rede com essa propriedade (uma solução em forma de
produto) é a rede de Jackson, nome dado em homenagem ao responsável por ter caracteri-
zado a rede pela primeira vez e ter demonstrado que essa propriedade era válida.24

As características de uma rede de Jackson são as mesmas supostas anteriormente para
o sistema de filas infinitas em série, exceto que agora os clientes visitam as instalações em
ordens diferentes (sendo possível que eles não visitem todas elas). Para cada instalação, seus
clientes que chegam provêm tanto de fora do sistema (de acordo com um processo de
Poisson) quanto de outras instalações. Essas características são sintetizadas a seguir.

Uma rede de Jackson é um sistema de m instalações de atendimento onde a instalação
i (i � 1, 2, . . . , m) tem
1. Uma fila infinita.
2. Clientes provenientes de fora do sistema de acordo com um processo de entrada de
Poisson com parâmetro ai.
3. si atendentes com uma distribuição exponencial de tempos de atendimento com parâme-
tro �i.

Um cliente deixando a instalação i é direcionado para a instalação j (j � 1, 2, . . . , m) com
probabilidade pij ou deixa o sistema com probabilidade

qi � 1 � �
m

j�1
pij.

Qualquer rede desse tipo possui a seguinte propriedade fundamental.
Sob condições de estado estável, cada instalação j (j � 1, 2, . . . , m) em uma rede de
Jackson se comporta como se fosse um sistema de filas M/M/s independente com taxa de
chegada

�j � aj � �
m

i�1
�i pij,

em que sj�j � �j.

Essa propriedade fundamental não pode ser provada diretamente da propriedade da
equivalência desta vez (o raciocínio se tornaria circular), mas seu respaldo intuitivo ainda é
fornecido pela última propriedade. O ponto de vista intuitivo (tecnicamente não muito cor-
reto) é que, para cada instalação i, seus processos de entrada das diversas fontes (externas e
de outras instalações) são processos de Poisson independentes, de modo que o processo de
entrada agregado seja de Poisson com parâmetro �i (a Propriedade 6 da Seção 17.4). A pro-
priedade da equivalência diz então que o processo de saída agregado para a instalação i tem
de ser de Poisson com parâmetro �i. Desagregando esse processo de saída (novamente
Propriedade 6),