Cap17
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como o número de términos de atendimento alcançado por um
atendente permanentemente ocupado no tempo decorrido t, em que � � �. Para modelos
com vários atendentes de filas, X(t) também pode ser definido como o número de términos
de atendimento alcançado por n atendentes permanentemente ocupados no tempo decorrido
t, em que � � n�.

A propriedade é particularmente útil para descrever o comportamento probabilístico
das chegadas quando tempos entre chegadas possuem uma distribuição exponencial com
parâmetro �. Nesse caso, X(t) é o número de chegadas no tempo decorrido t, em que � �
� é a taxa média de chegada. Portanto, as chegadas ocorrem de acordo com um processo
de entrada de Poisson com parâmetro �. Tais modelos de filas também são descritos como
supondo uma entrada de Poisson.

Diz-se que as chegadas algumas vezes ocorrem aleatoriamente, significando que elas
ocorrem de acordo com um processo de entrada de Poisson. Uma interpretação intuitiva
desse fenômeno é que todo período de duração fixa tem a mesma chance de ter uma chega-
da independentemente de quando ocorreu a chegada precedente, conforme sugerido pela
seguinte propriedade.

Propriedade 5: Para todos os valores positivos de t, P{T � t � �tT � t} � �
�t, para �t pequeno.

Continuando a interpretar T como o tempo a partir do último evento de certo tipo
(chegada ou término de atendimento) até o próximo evento desse tipo, supomos que um
tempo t já tenha decorrido sem a ocorrência do evento. Sabemos da Propriedade 2 que a
probabilidade de que o evento vá ocorrer dentro do próximo intervalo de tempo de dura-
ção fixa �t é uma constante (identificada no próximo parágrafo), independentemente de
quão grande ou pequeno seja t. A Propriedade 5 vai mais além dizendo que, quando o
valor de �t é pequeno, essa probabilidade constante pode ser aproximada com boa mar-
gem de aproximação por � �t. Além disso, ao considerarmos diferentes valores peque-
nos de �t, essa probabilidade é basicamente proporcional a �t, com fator de proporcio-
nalidade �. De fato, � é a taxa média na qual ocorrem os eventos (ver Propriedade 4), de
modo que o número esperado de eventos no intervalo �t seja exatamente � �t. A única
razão para que a probabilidade da ocorrência de um evento vá diferir ligeiramente desse
valor é a possibilidade de que ocorra mais de um evento, que tem uma probabilidade des-
prezível quando �t é pequeno.

Para verificar por que a Propriedade 5 é válida matematicamente, note que o valor
constante de nossa probabilidade (para um valor fixo �t � 0) é simplesmente

P{T � t � �tT � t} � P{T � �t}
� 1 � e�� �t,

para qualquer t � 0. Portanto, pelo fato de a expansão da série de ex para qualquer expoen-
te x ser

ex � 1 � x � �
�

n�2
�
n

xn

!�,

16 CAPÍTULO 17 TEORIA DAS FILAS

decorre que

P{T � t � �tT � t} � 1 � 1 � � �t � �
�

n�2
�
(��

n!
�t)n
�

� � �t, para �t5 pequeno,
pois os termos do somatório se tornam relativamente desprezíveis para valores � �t suficien-
temente pequenos.

Como T pode representar tanto tempos de atendimento como entre chegadas em mode-
los de filas, essa propriedade fornece uma aproximação conveniente da probabilidade de que
o evento de interesse ocorra no próximo intervalo de tempo (�t) pequeno. Uma análise
baseada nessa aproximação também pode se tornar exata adotando-se os limites apropriados
como �t � 0.

Propriedade 6: Não é afetada por agregação ou desagregação.

Essa propriedade é relevante basicamente para verificar que o processo de entrada é de
Poisson. Portanto, iremos descrevê-la nesses termos, embora ela também se aplique direta-
mente à distribuição exponencial (tempos entre atendimentos exponenciais) em virtude da
Propriedade 4.

Consideremos primeiramente a agregação (combinada) de diversos processos de entra-
da de Poisson em um único processo de entrada geral. Particularmente, suponhamos que
existam vários (n) tipos diferentes de clientes, em que os clientes de cada tipo (tipo i) che-
guem de acordo com um processo de entrada de Poisson com parâmetro �i (i � 1, 2, . . . , n).
Supondo que estes sejam processos de Poisson independentes, a propriedade diz que o pro-
cesso de entrada agregado (chegada de todos os clientes independentemente do tipo) tam-
bém deve ser de Poisson, com parâmetro (taxa de chegada) � � �1 � �2 � … � �n. Em
outras palavras, ter um processo de Poisson é não ser afetado por agregação.

Essa parte da propriedade decorre diretamente das Propriedades 3 e 4. A última pro-
priedade implica que os tempos entre atendimentos para clientes do tipo i possuem uma dis-
tribuição exponencial com parâmetro �i. Para essa mesma situação, já vimos para a
Propriedade 3 que ela implica que os tempos entre atendimentos para todos os clientes tam-
bém têm de ter uma distribuição exponencial, com parâmetro � � �1 � �2 � … � �n.
Usando a Propriedade 4 novamente implica então que o processo de entrada agregado seja
de Poisson.

A segunda parte da Propriedade 6 (“não ser afetado por desagregação”) refere-se
ao caso inverso, no qual o processo de entrada agregado (aquele obtido pela combina-
ção de processos de entrada para vários tipos de clientes) é conhecido como Poisson
com parâmetro �, porém a questão agora se refere à natureza dos processos de entrada
desagregados (os processos de entrada individuais para os tipos de clientes individuais).
Supondo que cada cliente que chega tenha uma probabilidade pi fixa de ser do tipo i
(i � 1, 2, . . . , n), com

�i � pi� e �
n

i�1
pi � 1,

a propriedade diz que o processo de entrada para clientes do tipo i também deva ser de
Poisson com parâmetro �i. Em outras palavras, ter um processo de Poisson é não ser afeta-
do por desagregação.

Como exemplo da utilidade dessa segunda parte da propriedade, considere a seguin-
te situação. Clientes indistinguíveis chegam de acordo com um processo de Poisson com
parâmetro �. Cada cliente que chega tem uma probabilidade fixa p de recusar (sair sem
ter entrado no sistema de filas), de modo que a probabilidade de entrar no sistema seja 1

5 Mais precisamente,

lim
�t→0

� �.
P{T � t � �tT � t}
���

�t

Os modelos de filas mais elementares partem do pressuposto de que as entradas (clientes
que chegam) e saídas (clientes que saem) do sistema de filas ocorram de acordo com o pro-
cesso de nascimento-e-morte. Esse importante processo na teoria das probabilidades tem
aplicações em diversas áreas. Entretanto, no contexto da teoria das filas, o termo nascimen-
to corresponde à chegada de um novo cliente no sistema de filas e a morte refere-se à par-
tida de um cliente atendido. O estado do sistema no instante t (t � 0), representado por N(t),
é o número de clientes no sistema de filas no instante t. O processo de nascimento-e-morte
descreve probabilisticamente como N(t) muda à medida que t aumenta. Em termos genéri-
cos, ela diz que nascimentos e mortes individuais ocorrem aleatoriamente, em que suas
taxas médias de ocorrência dependem apenas do estado atual do sistema. Mais precisamen-
te, as hipóteses do processo de nascimento-e-morte são as seguintes:

Hipótese 1. Dado N(t) � n, a distribuição probabilística atual do tempo remanescente até
o próximo nascimento (chegada) é exponencial com parâmetro �n (n � 0, 1, 2, . . .).

Hipótese 2. Dado N(t) � n, a distribuição probabilística atual do tempo remanescente até
a próxima morte (término do atendimento) é exponencial com parâmetro �n (n � 1, 2, . . .).

Hipótese 3. A variável aleatória da hipótese 1 (o tempo remanescente até o próximo nas-
cimento) e a variável aleatória da hipótese 2 (o tempo remanescente até a próxima morte)
são mutuamente independentes. A próxima transição no estado do processo é

n → n � 1 (um único nascimento)

ou então

n → n � 1 (uma única morte),

dependendo de se a primeira ou a última variável aleatória for menor.

Para um sistema de filas, �n e �n representam, respectivamente, a taxa média de che-
gada e a taxa média de términos de atendimento, quando existem n clientes no sistema.
Para alguns sistemas de filas, os valores de �n serão os mesmos para