Cap17
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Cap17

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todos os valores de
n e os �n também serão os mesmos para todos os n, exceto para n muito pequeno (por
exemplo, n � 0) que um atendente se encontra ocioso. Entretanto, �n e �n também podem
variar consideravelmente com n para alguns sistemas de filas.

Por exemplo, uma das maneiras nas quais �n pode diferir para diferentes valores de n
é o caso no qual vai ficando cada vez mais provável que os possíveis clientes que chegam
vão se recusar (recusar-se a entrar no sistema) à medida que n aumenta. Da mesma forma,
�n pode diferir para n diferentes porque fica cada vez mais provável que os clientes na fila
venham a desistir (sair sem serem atendidos) à medida que o tamanho da fila aumenta. Um
dos exemplos na seção de Exemplos Trabalhados do CD-ROM ilustra um sistema de filas
em que ocorrem tanto a recusa quanto a desistência. Esse exemplo demonstra então como
os resultados gerais para o processo de nascimento-e-morte conduzem diretamente a várias
medidas de desempenho para esse sistema de filas.

17.5 PROCESSO DE NASCIMENTO-E-MORTE 17

■ 17.5 PROCESSO DE NASCIMENTO-E-MORTE

� p. Portanto, há dois tipos de clientes — aqueles que se recusam a entrar e aqueles que
entram no sistema. A propriedade diz que cada tipo chega de acordo com um processo de
Poisson, com parâmetros p� e (1 � p)�, respectivamente. Assim, utilizando o último pro-
cesso de Poisson, modelos de filas que supõem um processo de entrada de Poisson ainda
podem ser usados para analisar o desempenho do sistema de filas para aqueles clientes
que entram no sistema.

Um dos exemplos na seção de Exemplos Trabalhados do CD-ROM ilustra a aplicação
de várias das propriedades da distribuição exponencial apresentada nesta seção.

18 CAPÍTULO 17 TEORIA DAS FILAS

Análise do Processo de Nascimento-e-Morte

Em virtude das suas hipóteses, o processo de nascimento-e-morte é um tipo especial de
cadeia de Markov de tempo contínuo. Ver Seção 16.8 para uma descrição das cadeias de
Markov de tempo contínuo e suas propriedades, inclusive uma introdução ao procedimento
geral para encontrar as probabilidades de estado estável que serão aplicadas no restante
desta seção. Os modelos de filas que podem ser representados por uma cadeia de Markov de
tempo contínuo estão longe de ser mais tratáveis analiticamente que qualquer outro.

Em razão de a Propriedade 4 para a distribuição exponencial (ver Seção 17.4) implicar
que �n e �n são taxas médias, podemos sintetizar essas hipóteses por meio do diagrama de
taxas mostrado na Figura 17.4. As setas nesse diagrama mostram as únicas transições pos-
síveis para o estado do sistema (conforme especificado pela hipótese 3) e a entrada para cada
seta fornece a taxa média para essa transição (conforme especificado pelas hipóteses 1 e 2)
quando o sistema se encontra no estado na base da seta.

Exceto para poucos casos especiais, a análise do processo de nascimento-e-morte é
muito difícil quando o sistema se encontra em uma condição transitória. Alguns resultados
sobre a distribuição probabilística de N(t) foram obtidos,6 mas eles são muito complicados
para ser de uso prático. No entanto, é relativamente simples obter essa distribuição após o
sistema ter atingido uma condição de estado estável (supondo que essa condição possa ser
alcançada). Essa obtenção pode ser feita diretamente do diagrama de taxas, conforme des-
crito a seguir.

Considere determinado estado do sistema n (n � 0, 1, 2, . . .). Iniciando no instante 0,
suponha que seja feita uma contagem do número de vezes em que o processo entra nesse
estado e o número de vezes em que ele deixa esse estado, conforme representado a seguir:

En(t) � número de vezes em que o processo entra no estado n no instante t.

Ln(t) � número de vezes em que o processo sai do estado n no instante t.

Como os dois tipos de eventos (entrada e saída) têm de ser alternados, esses dois números
sempre são iguais ou então diferem de uma unidade, isto é,

En(t) � Ln(t) � 1.
Dividindo ambos os lados da equação por t e depois fazendo que t → � resulta em

	�Ent(t)� � �Lnt(t)�	 � �1t�, portanto limt→�	�Ent(t)� � �Lnt(t)�	 � 0.
Dividindo En(t) e Ln(t) por t fornece a taxa real (número de eventos por unidade de tempo)
na qual esses dois tipos de eventos ocorreram e fazendo que t → � dá então a taxa média
(número esperado de eventos por unidade de tempo):

…

 
0 
1 
2

�1 �2 �3

0 1 2 3

�n � 1 �n �n � 1


n � 2 
n � 1 
n

n � 2 n � 1 n � 1nEstado: …

■ FIGURA 17.4
Diagrama de taxas para o
processo de nascimento-e-
morte.

6 KARLIN, S.; MCGREGOR, J. Many Server Queueing Processes with Poisson Input and Exponential Service
Times. Pacific Journal of Mathematics, v. 8, p. 87-118, 1958.

17.5 PROCESSO DE NASCIMENTO-E-MORTE 19

lim
t→�

�
En

t
(t)
� � taxa média na qual o processo entra no estado n.

lim
t→�

�
Ln

t
(t)
� � taxa média na qual o processo sai do estado n.

Esses resultados conduzem ao seguinte princípio básico:

Princípio da Taxa que Entra = Taxa que Sai. Para qualquer estado do sistema n
(n � 0, 1, 2, . . .), a taxa média de entrada � taxa média de saída.

A equação expressando esse princípio se chama equação de equilíbrio para o estado
n. Após construir as equações de equilíbrio para todos os estados em termos das probabili-
dades Pn desconhecidas, podemos resolver esse sistema de equações (além de uma equação
afirmando que as probabilidades devem somar 1) para encontrar essas probabilidades.

Para ilustrar uma equação de equilíbrio, considere o estado 0. O processo entra nesse esta-
do somente a partir do estado 1. Portanto, a probabilidade de estado estável de se encontrar no
estado 1 (P1) representa a proporção de tempo que seria possível para o processo entrar no
estado 0. Dado o processo se encontrar no estado 1, a taxa média de entrada no estado 0 é �1.
Em outras palavras, para cada unidade de tempo cumulativa que o processo gasta no estado 1,
o número esperado de vezes que ele deixaria o estado 1 para entrar no estado 0 é �1. De qual-
quer outro estado, essa taxa média é 0. Dessa forma, a taxa média global na qual o processo
deixa seu estado atual para entrar no estado 0 (a taxa média de entrada) é

�1P1 � 0(1 � P1) � �1P1.
Seguindo o mesmo raciocínio, a taxa média de saída tem de ser �0P0, de modo que a equa-
ção de equilíbrio para o estado 0 é

�1P1 � �0P0.

Para todos os outros estados existem duas transições, ambas entrando e saindo do esta-
do. Portanto, cada lado das equações de equilíbrio para esses estados representa a soma das
taxas médias para as duas transições envolvidas. Caso contrário, o raciocínio é exatamente
o mesmo para o estado 0. Essas equações de equilíbrio são sintetizadas na Tabela 17.1.

Note que a primeira equação de equilíbrio contém duas variáveis a serem resolvidas (P0 e
P1), as duas primeiras equações contêm três variáveis (P0, P1 e P2) e assim por diante, de modo
que sempre haja uma variável “extra”. Por conseguinte, o procedimento para solucionar essas
equações é resolver em termos de uma das variáveis, sendo a mais conveniente P0. Por isso, a
primeira equação é usada para encontrar P1 em termos de P0; esse resultado e a segunda equa-
ção são então usados para encontrar P2 em termos de P0; e assim por diante. No final, a exigên-
cia de que a soma de todas as probabilidades seja igual a 1 pode ser usada para calcular P0.

Resultados para o Processo de Nascimento-e-Morte

Aplicar esse procedimento leva aos seguintes resultados:

■ TABELA 17.1 Equações de equilíbrio para o processo
de nascimento-e-morte

Estado Taxa que Entra � Taxa que Sai

0 �1P1 � �0P0
1 �0P0 � �2P2 � (�1 � �1)P1
2 �1P1 � �3P3 � (�2 � �2)P2
� �

n � 1 �n�2Pn�2 � �nPn � (�n�1 � �n�1)Pn�1
n �n�1Pn�1 � �n�1Pn�1 � (�n � �n)Pn
� �

20 CAPÍTULO 17 TEORIA DAS FILAS

Para simplificar a notação, façamos que

Cn � , para n � 1, 2, . . . ,

e então definamos Cn � 1 para n � 0. Portanto, as probabilidades de estado estável são

Pn � CnP0, para n � 0, 1, 2, . . . .

A exigência de que

�
�

n�0
Pn � 1

implica que

��
�

n�0
Cn�P0 � 1,

de modo que

P0 � ��
�

n�0
Cn�

�1
.

Quando um modelo