Cap18
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à solução numérica,
s* \ufffd 10.674.
Portanto, a política ótima requer que se eleve o nível de estoques para S* \ufffd 11.856 bicicle-
tas, caso a quantidade disponível seja menor que s* \ufffd 10.674. Caso contrário, não é feito
nenhum pedido.
Solução Aproximada para a Política Ótima Quando a Demanda Tem
Distribuição Exponencial
Nesse exemplo que acabamos de ilustrar, é necessário um cálculo extensivo para se
encontrar s* mesmo quando a demanda tem uma distribuição relativamente simples como
o caso da distribuição exponencial. Assim, dado essa distribuição de demanda, agora
desenvolveremos uma boa aproximação para a política de estoques ótima que seja fácil
de ser calculada.
Conforme descrito na Seção 17.4, para uma distribuição exponencial com uma média
de 1/\ufffd, as funções densidade probabilística f(x) e CDF F(x) são
54 CAPÍTULO 18 TEORIA DOS ESTOQUES
f(x) \ufffd \ufffde\ufffd\ufffdx, para x \ufffd 0,
F(x) \ufffd 1 \ufffd e\ufffd\ufffdx, para x \ufffd 0.
Conseqüentemente, já que
F(S*) \ufffd \ufffd
p
p
\ufffd
\u2013 c
h
\ufffd,
temos
1 \ufffd e\ufffd\ufffdS
*
\ufffd \ufffdp
p
\ufffd
\ufffd
h
c
\ufffd, ou e\ufffd\ufffdS
*
\ufffd\ufffd
(p \ufffd h
p
)
\ufffd
\ufffd
h
(p \ufffd c)
\ufffd\ufffd \ufffd
h
h
\ufffd
\ufffd
p
c
\ufffd,
portanto
S* \ufffd \ufffd
\ufffd
1
\ufffd ln \ufffdh
h
\ufffd
\ufffd
p
c
\ufffd
é a solução exata para S*.
Para começar a desenvolver uma aproximação para s*, começamos com a equação
exata,
C(s*) \ufffd K \ufffd C(S*).
Uma vez que
C(S) \ufffd cS \ufffd h \ufffdS
0
(S \ufffd x)\ufffde\ufffd\ufffdx dx \ufffd p \ufffd\ufffd
S
(x \ufffd S)\ufffde\ufffd\ufffdx dx
\ufffd (c \ufffd h)S \ufffd \ufffd
\ufffd
1
\ufffd (h \ufffd p)e\ufffd\ufffdS \ufffd \ufffd
\ufffd
h
\ufffd.
Essa equação fica
(c \ufffd h)s* \ufffd \ufffd
\ufffd
1
\ufffd(h \ufffd p)e\ufffd\ufffds* \ufffd \ufffd
\ufffd
h
\ufffd \ufffd K \ufffd (c \ufffd h)S* \ufffd \ufffd
\ufffd
1
\ufffd(h \ufffd p)e\ufffd\ufffdS* \ufffd \ufffd
\ufffd
h
\ufffd,
ou (usando o resultado dado anteriormente para S*)
(c \ufffd h)s* \ufffd \ufffd
\ufffd
1
\ufffd(h \ufffd p)e\ufffd\ufffds* \ufffd K \ufffd (c \ufffd h)S* \ufffd \ufffd
\ufffd
1
\ufffd(c \ufffd h).
Embora essa última equação não possua uma solução fechada para s*, ela pode ser
resolvida numericamente. Uma solução analítica aproximada também pode ser obtida como
se segue. Fazendo que

 \ufffd S* \ufffd s*,
e notando que 
e\ufffd\ufffdS* \ufffd \ufffd
h
h
\ufffd
\ufffd
p
c
\ufffd,
a última equação resulta em
\ufffd
\ufffd
1
\ufffd(h \ufffd p) \ufffd
e
e
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
S
s*
*
\ufffd \ufffd ,
K \ufffd (c \ufffd h)\u2206 \ufffd \ufffd
\ufffd
1
\ufffd(c \ufffd h)
\ufffd\ufffd\ufffd
\ufffd
h
h
\ufffd
\ufffd
p
c
\ufffd
18.8 SISTEMAS DE ESTOQUES MAIORES USADOS NA PRÁTICA 55
Todos os modelos de estoques apresentados neste capítulo se preocuparam com o controle
de estoques de um único produto em uma única posição geográfica. Tais modelos fornecem
os alicerces para o controle de estoques científico.
Sistemas de Estoque com Vários Produtos
Entretanto, é importante reconhecer que muitos sistemas de estoques devem lidar simulta-
neamente com muitos produtos, chegando algumas vezes a centenas ou até mesmo milhares
de produtos. Além disso, o estoque de cada produto normalmente é disperso geograficamen-
te, talvez até globalmente.
Com vários produtos, é comumente possível aplicar o modelo de produto único apro-
priado a cada um dos produtos individualmente. Entretanto, as empresas talvez não se inte-
ressem por fazer isso com os produtos menos importantes em virtude dos custos envolvidos
no monitoramento regular do nível de estoques para implementar tal modelo. Uma metodo-
logia popular usada na prática é o método de controle ABC. O processo envolve dividir os
produtos em três grupos chamados grupo A, B e C. Os produtos do grupo A são os particu-
larmente importantes e que devem ser cuidadosamente monitorados de acordo com um
modelo de estoque formal. Produtos do grupo C são menos importantes, de modo que eles
sejam apenas monitorados informalmente de maneira bem ocasional. Os produtos do grupo
B recebem um tratamento intermediário.
Ocasionalmente não é apropriado aplicar modelo de estoques com um único produto em
razão das interações entre os produtos. São possíveis diversas interações. Talvez produtos simi-
\u25a0 18.8 SISTEMAS DE ESTOQUES MAIORES USADOS NA PRÁTICA
que se reduz a
e\ufffd
 \ufffd \ufffd
c
\ufffd
\ufffd
K
h\ufffd \ufffd \ufffd
 \ufffd 1.
Caso \ufffd
 seja próximo de zero, e\ufffd
 pode ser expandido em uma série de Taylor em torno de
zero. Se os termos anteriores do termo quadrático puderem ser desprezados, o resultado fica
1 \ufffd \ufffd
 \ufffd \ufffd\ufffd
2
2

2
\ufffd 
 \ufffd
c
\ufffd
\ufffd
K
h\ufffd \ufffd \ufffd
 \ufffd 1,
de modo que

 
 \ufffd\ufffd\ufffd(c2\ufffdK\ufffd h)\ufffd\ufffd.
Portanto, a aproximação desejada para s* é
s* 
 S* \ufffd \ufffd\ufffd
\ufffd(c
2
\ufffd
K\ufffdh)\ufffd\ufffd.
Usando essa aproximação no exemplo da bicicleta resulta em

 
 \ufffd\ufffd(2)(120\ufffd0.0\ufffd00)9(8\ufffd00)\ufffd\ufffd \ufffd 1.206,
de modo que
s* 
 11.856 \ufffd 1.206 \ufffd 10.650,
que é bem próximo do valor exato de s* \ufffd 10.674.
56 CAPÍTULO 18 TEORIA DOS ESTOQUES
lares possam ser substituídos entre si conforme a necessidade. Para um fabricante, quem sabe,
seus produtos devam competir por tempo de produção ao encomendar a produção de lotes de
peças. Para um atacadista ou varejista, talvez seu custo de implantação para encomendar um
produto possa ser reduzido fazendo simultaneamente um pedido conjunto para certo número
de produtos. Talvez também haja limitações orçamentárias conjuntas envolvendo todos os pro-
dutos, ou, quem sabe, os produtos precisem competir por espaço de armazenagem limitado.
É comum na prática ter um pouco de tais interações entre produtos e ainda ser possível
aplicar um modelo de estoques com um único produto com aproximação razoável.
Entretanto, quando uma interação estiver desempenhando papel principal, é necessária uma
análise adicional. Já foram realizadas algumas pesquisas para desenvolver modelos de esto-
ques para vários produtos visando tratar algumas dessas interações.11
Controle de Estoques Multinível na IBM12
A Seção 18.5 introduziu modelos de estoques multiníveis para coordenar os estoques de um
produto em diversos pontos da cadeia de abastecimento da empresa. Vejamos agora como
uma grande corporação (IBM) vem gerenciando um de seus sistemas de estoques multiní-
veis há vários anos.
A IBM tem, aproximadamente, 1.000 produtos atuantes. Portanto, ela emprega mais de
15.000 engenheiros de campo para atendimento a clientes que são treinados para reparar e
manter todos os sistemas computacionais instalados em clientes por todo o território norte-
americano, sejam eles adquiridos ou via sistema de leasing.
Para apoiar toda essa operação, a IBM mantém um imenso sistema de estoques multi-
nível de peças de reposição. Esse sistema controla mais de 200.000 tipos de peças, com o
estoque total avaliado na casa dos bilhões de dólares. Anualmente são processados milhões
de transações envolvendo essas peças.
Os níveis desse sistema começam com a manufatura das peças, depois os depósitos nacio-
nais ou regionais, em seguida os centros de distribuição de campo, depois os postos de peças e,
finalmente, vários milhares de locais externos (inclusive estoques mantidos nos próprios clien-
tes e os bagageiros ou caixas de ferramentas dos engenheiros de campo da companhia).
Para coordenar e controlar todos esses estoques nos diferentes níveis, foi desenvolvido
um enorme sistema computacional chamado Optimizer. O Optimizer é formado por quatro
módulos principais. Um módulo do sistema destina-se à previsão contendo alguns poucos
programas para estimativa das taxas de falha para cada um dos tipos de peças. O segundo
módulo destina-se ao envio de dados e é formado por aproximadamente 100 programas que
processam mais de 15 gigabytes de dados para fornecer as entradas necessárias para o sis-
tema Optimizer. O terceiro é um módulo de tomada de decisão que otimiza o controle dos
estoques semanalmente. O quarto e último módulo é formado por seis programas que inte-
gram o Optimizer no PIMS (Parts Inventory Management System, ou seja, Sistema de
Controle de Estoques de Peças). O PIMS é um sofisticado sistema de controle e informação
que contém milhões de linhas de código.
O Optimizer controla o nível de estoques para cada tipo de peça em todos os locais
onde existem estoques (exceto nas localidades externas, onde somente peças com custo
superior a determinado limite são monitoradas). É usada uma política de estoques do tipo
(R, Q) para cada peça em cada local e nível do sistema.
É necessário um planejamento cuidadoso para implementar um sistema complexo
como este após o seu desenvolvimento. Três fatores demonstraram ser particularmente
11 Ver, por exemplo, DOWNS, B. et al. Managing Inventory with Multiple Products, Lags in Delivery,
daniel
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ALGUEM TEM A SOLUÇÃO DOS EXERCICIOS 18.4-1, 18.4-2, 18.4-3 e 18.4-4
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