Cap18
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1 é que cada ni � 1 (i � 1, 2, . . . , N � 1), sem nem mesmo
exigir que ni seja um inteiro. Quando ni não for um inteiro, a falta de sincroniza-
ção resultante entre as instalações é ignorada. Supõe-se então que cada instalação
satisfaça o modelo EOQ básico com estoques sendo reabastecidos quando o nível
de estoques atingir zero, independentemente do que as demais instalações fazem,
de modo que as instalações possam ser otimizadas separadamente.

Embora esse relaxamento não seja uma representação realista do problema real, pois ela
ignora a necessidade de coordenar reabastecimentos nas instalações (e, portanto, subesti-
mando os verdadeiros custos de manutenção de estoque), ela fornece uma aproximação que
é muito fácil de resolver.

A fase 1 do procedimento de resolução para solucionar o problema adaptado consiste
na resolução do relaxamento do problema. A fase 2 modifica então essa solução reimpondo
a aproximação simplificadora 2.

As desigualdades fracas, Qi � Qi�1 (i � 1, 2, . . . , N � 1), permitem a possibilidade
de que Qi � Qi�1. Isso corresponde a ter mi � 0 na aproximação simplificadora 2.
Conforme sugerido pela Figura 18.10, se Qi � Qi�1, toda vez que a instalação (i � 1) pre-
cisar reabastecer seus estoques com Qi�1 unidades, a instalação i precisará encomendar
simultaneamente o mesmo número de unidades e então (após qualquer processamento
necessário) transferir imediatamente o lote inteiro para a instalação (i � 1). Portanto, embo-
ra estas sejam, na realidade, instalações distintas, para fins de modelagem, podemos tratá-
las como uma única instalação combinada que está fazendo um pedido de Qi � Qi�1 unida-
des com um custo de implantação igual a Ki � Ki�1 e um custo de manutenção de estoque
multinível de ei � ei�1. Essa fusão de instalações (para fins de modelagem) é incorporada
na fase 1 do procedimento de resolução.

Descrevemos e sintetizamos as duas fases do procedimento de resolução, uma de cada
vez, logo a seguir.

Fase 1 do Procedimento de Resolução. Lembre-se de que a hipótese 6 para o mode-
lo indica que o objetivo é minimizar C, o custo variável total por unidade de tempo para
todas as instalações. Usando os custos de manutenção de estoque multiníveis, o custo variá-
vel total por unidade de tempo na instalação i fica

Ci � �
d
Q
K

i

i�� �
ei

2
Qi�, para i � 1, 2, . . . , N,

de modo que

6 ROUNDY, R. A 98%-Effective Lot-Sizing Rule for a Multi-Product, Multi-Stage Production/Inventory Sys-
tem. Mathematics of Operations Research, v. 11, p. 699-727, 1986.

18.5 MODELOS DETERMINÍSTICOS DE ESTOQUES MULTINÍVEIS… 33

C � 	
N

i�1
Ci.

Essa expressão para Ci parte do pressuposto que os estoques multiníveis sejam reabastecidos
exatamente no momento em que seus níveis chegam a zero, o que é válido para os proble-
mas original e adaptado, mas é apenas uma aproximação para o relaxamento do problema,
pois a falta de coordenação entre as instalações em estabelecer quantidades a serem enco-
mendadas apresenta uma tendência a reabastecimentos prematuros. Note que Ci é simples-
mente o custo variável total por unidade de tempo para uma única instalação que satisfaz o
modelo EOQ básico quando ei for o custo de manutenção de estoque relevante por unidade
de tempo na instalação. Portanto, solucionando-se primeiramente o problema com relaxa-
mento, que requer apenas otimizar as instalações separadamente (ao usar custos de manu-
tenção de estoque multiníveis em vez dos custos de manutenção de estoque da instalação),
a fórmula EOQ seria simplesmente usada para obter a quantidade a ser encomendada em
cada instalação. Isso acaba fornecendo uma primeira aproximação razoável dos volumes óti-
mos a serem encomendados ao otimizar simultaneamente as instalações para o problema
adaptado. Assim, aplicar a fórmula EOQ dessa maneira é o passo fundamental na fase 1 do
procedimento de resolução. A fase 2 aplica então a coordenação necessária entre as quanti-
dades encomendadas por meio da aproximação simplificadora 2.

Ao aplicar a fórmula EOQ às respectivas instalações, surge uma situação especial quan-
do Ki/ei 	 Ki�1/ei�1, visto que isso levaria a Qi* 	 Q*i�1, que é proibido pelo relaxamento
do problema. Para satisfazer o relaxamento, que requer que Qi � Qi�1, o melhor que pode
ser feito é fazer que Qi � Qi�1. Conforme descrito no final da subseção anterior, isso impli-
ca que as duas instalações deveriam ser mescladas para fins de modelagem.

Síntese da Fase 1 (Solucionar o Relaxamento)

1. Se �Kei
i� 	 �

K
ei

i

�

�

1

1� para qualquer i � 1, 2, . . . , N � 1, trate as instalações i e i � 1 como uma
única instalação combinada (para fins de modelagem) com um custo de implantação
igual a Ki � Ki�1 e um custo de manutenção de estoque multinível de ei � ei�1 por uni-
dade por unidade de tempo. Após a fusão, repita essa etapa conforme necessário para
quaisquer outros pares de instalações consecutivas (o que incluiria uma instalação com-
binada). A seguir, renumere as instalações de acordo com N reinicializado como o novo
número total de instalações.

2. Faça que

Qi � ��2de
K
i

i��, para i � 1, 2, . . . , N.
3. Faça que

Ci � �
d
Q
K

i

i� � �
ei

2
Qi�, para i � 1, 2, . . . , N,

C
�

� 	
N

i�1
Ci.

Fase 2 do Procedimento de Resolução. A fase 2 agora é usada para coordenar as
quantidades encomendadas para obter uma programação cíclica conveniente de reabasteci-
mentos, como aquela ilustrada na Figura 18.10. Isso é feito principalmente arredondando as
quantidades encomendadas obtidas na fase 1 para atender ao padrão prescrito pelas aproxi-
mações simplificadoras. Após determinar provisoriamente os valores de ni � 2mi de modo
que Qi � niQi�1 dessa maneira, o passo final é refinar o valor de QN para tentar obter uma
solução ótima global para o problema adaptado.

Essa etapa final envolve expressar cada Qi em termos de QN. Em particular, dado cada
ni tal que Qi � niQi�1, façamos que pi seja o produto,

34 CAPÍTULO 18 TEORIA DOS ESTOQUES

pi � nini�1 · · · nN�1, para i � 1, 2, . . . , N � 1,

de modo que

Qi � piQN, para i � 1, 2, . . . , N � 1,
em que pN � 1. Portanto, o custo variável total por unidade de tempo em todas as insta-
lações é

C � 	
N

i�1
�p
d
iQ
K

N

i� � �
eip

2
iQN��.

Já que C inclui apenas a única quantidade QN, essa expressão também pode ser interpreta-
da como o custo variável total por unidade de tempo para uma única instalação de estoques
que satisfaz o modelo EOQ básico com um custo de implantação e custo de manutenção de
estoque unitário de

Custo de implantação � 	
N

i�1
�
d
p
K
i

i�, Custo de manutenção de estoque unitário � 	
N

i�1
eipi.

Logo, o valor de QN que minimiza C é dado pela fórmula EOQ como

Q*N ���
Como essa expressão requer conhecer ni, a fase 2 começa usando o valor de QN calcu-

lado na fase 1 como uma aproximação de Q*N, e depois usa esse QN para determinar ni (pro-
visoriamente), antes de usar essa fórmula para calcular Q*N.

Síntese da Fase 2 (Solucionar o Problema Adaptado)

1. Configure Q*N para o valor de QN obtido na fase 1.
2. Para i � N � 1, N � 2, . . . , 1, um de cada vez, faça o seguinte: usando o valor de Qi

obtido na fase 1, determine o valor inteiro não-negativo de m tal que

2mQ*i�1 � Qi 	 2m�1Q*i�1.

Se �2m
Q
Q

i
*
i�1
� � �

2m�
Q
1Q

i

*
i�1�, configure ni � 2m e Qi* � niQ*i�1.

Se �2m
Q
Q

i
*
i�1
� � �

2m�
Q
1Q

i

*
i�1�, configure ni � 2m�1 e Qi* � niQ*i�1.

3. Use os valores dos ni obtidos no passo 2 e as fórmulas dadas para pi e Q*N para calcular
Q*N. Em seguida, use esse Q*N para repetir a etapa 2.7 Se nenhum ni mudar, use (Q*1, Q*2,
. . . , Q*N) como solução para o problema adaptado e calcule o custo correspondente C�.
Se qualquer um ni realmente mudar, repita a etapa 2 (começando com o Q*N atual) e
depois a etapa 3 mais uma vez. Use a solução resultante e calcule C�.

Esse procedimento fornece uma solução muito boa para o problema adaptado. Embora
não haja garantia total de que a solução seja ótima, normalmente ela o é e, caso não seja, ela
deve ser muito próxima desta. Já que o próprio problema adaptado é uma aproximação
daniel gonzalez fez um comentário
  • ALGUEM TEM A SOLUÇÃO DOS EXERCICIOS 18.4-1, 18.4-2, 18.4-3 e 18.4-4
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