Cap18
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Cap18

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para sintetizar o modelo em termos genéricos.

Hipóteses do Modelo

1. Cada aplicação envolve um único produto perecível.
2. Cada aplicação envolve um único período, pois o produto não pode ser vendido poste-

riormente.
3. Entretanto, será possível dispor de quaisquer unidades remanescentes do produto no final

do período, quem sabe, até mesmo recebendo um valor de custos recuperados para as
unidades.

4. Poderá haver algum estoque inicial em mãos invadindo esse período, conforme represen-
tado por

I � estoque inicial.

5. A única decisão a ser feita é em relação ao número de unidades a serem encomendadas
(via compra ou fabricação) de modo que elas possam ser colocadas no estoque no início
do período. Portanto,

Q � quantidade a ser encomendada,
S � nível de estoque (inventário) após recebimento dessa encomenda

� I � Q.
Dado I, será conveniente usar S como variável de decisão do modelo, que então determi-
nará automaticamente Q � S � I.

6. A demanda para retirada de unidades do estoque para venda (ou para qualquer outro fim)
durante o período é uma variável aleatória D. Entretanto, a distribuição probabilística de
D é conhecida (ou, pelo menos estimada).

7. Após eliminar a receita caso a demanda seja satisfeita (já que isto é independente da deci-
são y), o objetivo se torna minimizar o custo total esperado, no qual os componentes de
custo são

K � custo de implantação para compra ou produção do lote completo de unidades,
c � custo unitário para compra ou produção de cada unidade,
h � custo de manutenção de estoque por unidade que sobre no final do período

(inclui custo de armazenamento menos o valor de custos recuperados),
p � custo de escassez por unidade de demanda insatisfeita (inclui receita perdida e

custo pela perda de credibilidade com o cliente).

Análise do Modelo Sem Estoque Inicial (I � 0) e Nenhum Custo de
Implantação (K � 0)

Antes de analisarmos o modelo em sua total generalidade, seria esclarecedor começarmos a
considerar o caso mais simples em que I � 0 (nenhum estoque inicial) e K � 0 (nenhum
custo de implantação).

A decisão sobre o valor de S, a quantidade de estoque a ser encomendada, depende
muito da distribuição probabilística da demanda D. Pode ser que seja desejável mais que a
demanda esperada, porém provavelmente menos que a máxima demanda possível. É preci-

48 CAPÍTULO 18 TEORIA DOS ESTOQUES

so encontrar um equilíbrio entre (1) o risco de ficar com falta de produto e, portanto, incor-
rer em custos de escassez e (2) o risco de ter excesso e, assim, incorrer em desperdícios com
custos de encomenda e de armazenagem de unidades em excesso. Isso é feito minimizando-
se o valor esperado (em termos estatísticos) da soma desses custos.

A quantidade vendida é dada por

mín{D, S} � �
Portanto, o custo incorrido caso a demanda seja D e S seja estocado, será dado por

C(D, S) � cS � p máx{0, D � S} � h máx{0, S � D}.
Como a demanda é uma variável aleatória [com distribuição probabilística PD(d)], esse
custo também é uma variável aleatória. O custo esperado é então dado por C(S), em que

C(S) � E[C(D, S)] � 	
�

d�0
(cS � p máx{0, d � S} � h máx{0, S � d})PD(d )

� cS � 	
�

d�S
p(d � S)PD(d ) � 	

S�1

d�0
h( S � d)PD(d ).

A função C(S) depende da distribuição probabilística de D. Freqüentemente, uma
representação dessa distribuição probabilística é difícil de ser encontrada, particularmente
quando a demanda varia segundo um grande número de valores possíveis. Conse-
qüentemente, essa variável aleatória discreta normalmente é aproximada por uma variável
aleatória contínua. Além disso, quando a demanda varia segundo um grande número de
possibilidades, essa aproximação geralmente conduzirá a um valor aproximadamente exato
da quantidade ótima de estoque a ser armazenada. Além disso, quando se usa demanda dis-
creta, as expressões resultantes podem se tornar ligeiramente mais difíceis de serem resol-
vidas analiticamente. Portanto, a menos que declarado em contrário, partiremos do pressu-
posto de que a demanda seja contínua no restante deste capítulo.

Para essa variável aleatória contínua D, façamos que

f(x) � função densidade probabilística de D
e

F(d) � função distribuição cumulativa (CDF, em inglês) de D,
de modo que

F(d) � �d
0

f(x) dx.

Ao escolher um nível de estoque S, a CDF F(d) se torna a probabilidade de que não venha
a ocorrer falta de produto antes de o período terminar. Como na seção anterior, essa proba-
bilidade é conhecida como nível de atendimento sendo fornecido pela quantidade enco-
mendada. O custo esperado correspondente C(S) é expresso como

C(S) � E[C(D, S)] � ��
0

C(x, S)f(x) dx

� ��
0

(cS � p máx{0, x � S} � h máx{0, S � x})f(x) dx

� cS � ��
S

p(x � S)f(x) dx � �S
0

h(S � x)f(x) dx.

Torna-se então necessário achar o valor de S, digamos S*, que minimiza C(S). Encontrar uma
fórmula para S* requer uma dedução relativamente sofisticada e prolongada, portanto, nesse

se D 	 S
se D � S.

D
S

18.7 UM MODELO ESTOCÁSTICO DE PERÍODO SIMPLES PARA PRODUTOS… 49

caso, daremos apenas a resposta. Entretanto, essa dedução é fornecida no CD-ROM como
suplemento deste capítulo para o leitor mais curioso e propenso a cálculos matemáticos. Esse
suplemento também estende brevemente o modelo para o caso em que os custos de manuten-
ção de estoque e custos de escassez são não-lineares em vez de funções lineares.

Esse suplemento demonstra que a função C(S) possui aproximadamente a forma mos-
trada na Figura 18.14, pois ela é uma função convexa (isto é, uma segunda derivada é não-
negativa em qualquer ponto). Na realidade, ela é uma função estritamente convexa (isto é,
uma segunda derivada é estritamente positiva em qualquer ponto) se f(x) � 0 para todo x � 0.
Além disso, a primeira derivada se torna positiva para S suficientemente grande e, portanto,
C(S) deve possuir um mínimo global. Esse mínimo global é mostrado na Figura 18.14 como
S* e, dessa forma, S � S* é o nível de estoque ótimo a ser obtido quando a quantidade enco-
mendada (Q � S*) for recebida no início do período.

Em particular, o suplemento mostra que o nível de estoque ótimo S* é tal que o valor
satisfaça

F(S*) � �
p
p

�

�

h
c

�.

Portanto, F(S*) é o nível de atendimento ótimo e o nível de estoque correspondente S* pode
ser obtido seja resolvendo-se essa equação algebricamente, seja colocando-se a CDF em um
gráfico e então identificando S* graficamente. Para interpretar o lado direito dessa equação,
o numerador pode ser visto como

p � c � custo unitário de pedido subdimensionado
� diminuição no lucro resultante da falha por não encomendar uma unidade que

poderia ter sido vendida durante o período.

De maneira similar,

c � h � custo unitário do pedido superdimensionado
� diminuição no lucro resultante por encomendar uma unidade que não poderia

ser vendida durante o período.

Portanto, representando o custo unitário de pedido subdimensionado e de pedido superdi-
mensionado por, respectivamente, Csub e Csuper, esta equação está especificando que

Nível de atendimento ótimo � �C
C

super �Csub
super� .

C(S)

C(S*)

S* S

■ FIGURA 18.14
Gráfico de C(S), o custo
esperado para o modelo
estocástico de período
simples para produtos
peresíveis em função de S
(o nível de estoques quando
a quantiddae encomendada
Q � S – I para recebida no
início do período), dado que
o estoque inicial seja I � 0
e o custo de implantação
seja K � 0.

50 CAPÍTULO 18 TEORIA DOS ESTOQUES

Quando a demanda tiver uma distribuição uniforme ou então exponencial, temos um
procedimento automático disponível no Tutorial IOR para calcular S*.

Se for suposto que D é uma variável aleatória discreta com a CDF

F(d) � 	
d

n�0
PD(n),

obtém-se um resultado similar. Em particular, o nível de estoque ótimo S* é o menor intei-
ro tal que

F(S*) � �
p
p

�

�

h
c

�.

A seção de Exemplos Trabalhados do CD-ROM fornece um exemplo envolvendo o
overbooking de uma companhia aérea em que D é uma variável aleatória discreta. O exem-
plo a seguir trata D como uma variável aleatória contínua.

Aplicação ao Exemplo

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daniel gonzalez fez um comentário
  • ALGUEM TEM A SOLUÇÃO DOS EXERCICIOS 18.4-1, 18.4-2, 18.4-3 e 18.4-4
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