Cap18
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Cap18

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ao exemplo da bicicleta descrito no início desta seção, partimos do pressuposto
de que a demanda tenha uma distribuição exponencial com média igual a 10.000, de modo
que sua função densidade probabilística seja

f(x) � �
e a CDF é

F(d) � �d
0

�10.
1
000�e

�x/10.000 dx � 1 � e�d/10.000.

Com base nos dados,

c � 20, p � 45, h � �9.

Por conseguinte, S* (o nível de estoque ótimo a ser obtido no princípio para começar a aten-
der à demanda) é o valor que satisfaz

1 � e�S
*/10.000 � �

4
4
5
5
�
�

2
9
0

� � 0,69444.

Usando-se o logaritmo natural (representado por ln), essa equação pode ser resolvida como
se segue:

e�S
*/10,000 � 0,30556,

ln e�S
*/10,000 � ln 0,30556,

�
10

�

,0
S
0

*

0
� � �1,1856,

S* � 11,856.

Portanto, o distribuidor deveria estocar 11.856 bicicletas na época natalina. Observe que
esse número é ligeiramente maior que a demanda esperada de 10.000.

Sempre que a demanda tiver uma distribuição exponencial com um valor esperado de
�, então S* pode ser obtido da relação

S* � �� ln �p
c �

�
h
h�.

se x � 0

caso contrário
�10.

1
000�e

�x/10.000

0

18.7 UM MODELO ESTOCÁSTICO DE PERÍODO SIMPLES PARA PRODUTOS… 51

Análise do Modelo com Estoque Inicial (I � 0), Mas Nenhum Custo de
Implantação (k � 0)

Considere agora o caso no qual I � 0 e, portanto, já existem I unidades em estoque entran-
do no período, porém anterior ao recebimento da quantidade encomendada, Q � S � I. Por
exemplo, esse caso surgiria para o exemplo da bicicleta caso o distribuidor começasse com
500 bicicletas antes de fazer um pedido, logo, I � 500. Continuaremos a supor que K � 0
(nenhum custo de implantação).

Façamos que

C�(S) � custo esperado para o modelo para qualquer valor de I e K (inclusive a hipó-
tese atual que K � 0), dado que S seja o nível de estoques obtido quando a
quantidade encomendada for recebida no início do período,

portanto o objetivo é escolher S � I de modo a
Minimizar C�(S).

S � I

Será interessante comparar C�(S) com a função de custo usada na subseção anterior (e repre-
sentada graficamente na Figura 18.14),

C(S) � custo esperado para o modelo, dado S, quando I � 0 e K � 0.
Com K � 0,

C�(S) � c(S � I) � ��
S

p(x � S)f(x)dx � �S
0

h(S � x)f(x)dx.

Dessa forma, C�(S) é idêntico a C(S), exceto pelo primeiro termo, em que C(S) tem cS em
vez de c(S � I). Logo,

C�(S) � C(S) � cI.
Visto que I é uma constante, isso significa que C�(S) alcança seu mínimo no mesmo valor de
S* como para C(S), conforme ilustrado na Figura 18.14. Entretanto, já que S deve se restri-
to a S � I, se I � S*, a Figura 18.14 indica que C�(S) seria minimizado ao longo de S � I
fazendo S � I (isto é, não fazer um pedido). Isso leva à seguinte política de estoques.

Política de Estoques Ótima com I � 0 e K � 0

Se I 	 S*, faça um pedido de S* � I para que o nível de estoques chegue a S*.
Se I � S*, não faça o pedido,

em que S* satisfaz novamente

F(S*) � �p
p

�
�

h
c

�.

Portanto, no exemplo da bicicleta, se houver 500 bicicletas disponíveis, a política ótima
é elevar o nível de estoques para 11.856 bicicletas (o que implica a encomenda de 11.356
bicicletas adicionais). No entanto, se houvesse 12.000 bicicletas já disponíveis, a política
ótima seria não fazer um novo pedido.

Análise do Modelo com um Custo de Implantação (K � 0)

Considere agora a versão remanescente do modelo em que K � 0 e, portanto, é incorrido um
custo de implantação igual a K para aquisição ou produção de todo o lote de unidades que
está sendo encomendado. Para o exemplo da bicicleta, se fosse incorrido um custo adminis-
trativo de US$ 800 para o pedido especial por bicicletas para o Natal, então K � 800. Agora,
permitimos qualquer valor de estoque inicial, portanto I � 0.

Com K � 0, o custo esperado C�(S), dado o valor da variável de decisão S, é

52 CAPÍTULO 18 TEORIA DOS ESTOQUES

C�(S) � K � c(S � I) � ��
S

p(x � S)f(x)dx � �S
0

h(S � x)f(x)dx se for feito um
pedido;

C�(S) � ��
S

p(x � S)f(x)dx � �S
0

h(S � x)f(x)dx se não for feito
um pedido.

Assim, em comparação com a função de custo esperado C(S) que é indicada na Figura 18.14
(que parte do pressuposto de que I � 0 e K � 0),

C�(S) � K � C(S) � cI se for feito um pedido;
C�(I) � C(I) � cI se não for feito um pedido.

Como I é uma constante, o termo cI em ambas as expressões pode ser ignorado para fins de
minimização C�(S) no intervalo S � I. Conseqüentemente, a representação gráfica de C(S) na
Figura 18.14 pode ser usada para determinar se devemos fazer um pedido ou não e, em caso
positivo, que valor de S deveria ser selecionado.

Isso é o que é feito na Figura 18.15, em que s* é o valor de S tal que

C(s*) � K � C(S*).

Portanto,

se I 	 s*, então C(S*) 	 K � C(I), portanto deveríamos fazer
um pedido com S � S*;

se I � s*, então C(S) � K � C(I) para qualquer S � I, portanto não deveríamos
fazer um pedido.

Em outras palavras, se o estoque inicial I for menor que s*, então gastar o custo de implan-
tação K vale a pena, pois elevar o nível de estoques para S* (encomendando S � I) reduzirá
o custo remanescente esperado de um valor maior que K quando comparado com o caso de
não fazer pedido algum. Entretanto, se I � s*, então se torna impossível recuperar o custo
de implantação K encomendando qualquer quantidade. Se I � s*, incorrer no custo de
implantação K para encomendar S* � s* reduzirá o custo remanescente esperado dessa
mesma quantia e, portanto, não há razão alguma para se incomodar em fazer o pedido. Isso
leva à seguinte política de estoques.

Política de Estoques Ótima com I � 0 e K � 0

Se I 	 s*, encomendar S* � I para elevar o nível de estoques para S*.
Se I* � s*, não fazer o pedido.
(Ver as fórmulas dentro dos retângulos com fundo escuro para S* e s* dadas
anteriormente.)

C(S)

SS*

K

s*

■ FIGURA 18.15
O gráfico de C(S), o custo
esperado (dado S) para o
modelo estocástico de
período simples, quando
I � 0 and K � 0, está sendo
usado aqui para determinar
os pontos críticos, s* e S*,
da política de estoques
ótima para a versão do
modelo em que I � 0 e
K � 0.

18.7 UM MODELO ESTOCÁSTICO DE PERÍODO SIMPLES PARA PRODUTOS… 53

Quando a demanda tiver uma distribuição uniforme ou exponencial, existe um proce-
dimento automático disponível no Tutorial IOR para calcular s* e S*.

Esse tipo de política é conhecido como uma política (s, S). Ela tem sido usada inten-
sivamente pelo setor.

Uma política (s, S) também é muitas vezes usada quando se aplica modelos estocásti-
cos de revisão periódica a produtos estáveis e, portanto, períodos múltiplos precisam ser
considerados. Nesse caso, encontrar a política de estoques ótima é ligeiramente mais com-
plicado já que os valores de s e S podem precisar ser diferentes para períodos diversos. Um
segundo suplemento para este capítulo que se encontra no CD-ROM fornece os detalhes.

Retornando ao modelo atual de um único período, iremos ilustrar o cálculo da política
de estoques ótima para o exemplo da bicicleta quando K � 0.

Aplicação ao Exemplo

Suponha que o custo administrativo de se fazer um pedido especial para as bicicletas para o
Natal vindouro seja estimado em US$ 800. Portanto, os parâmetros do modelo agora são

K � 800, c � 20, p � 45, h � �9.

Conforme indicado anteriormente, parte-se do pressuposto de que a demanda por bicicletas
tenha uma distribuição exponencial com média de 10.000.

Descobrimos anteriormente para esse exemplo que

S* � 11.856.

Para encontrar s*, precisamos resolver a equação,

C(s*) � K � C(S*),
para s*. Incorporando duas vezes na expressão para C(S) dada na parte inicial desta seção,
com S � s* no lado esquerdo da equação e S � S* � 11.856 no lado direito, a equação fica

20s* � 45��
s*

(x – s*)�
10.

1
000
�e–x/10.000dx – 9�s*

0
(s* – x)�

10.
1
000
�e–x/10.000dx

� 800 � 20(11.856) � 45��
11.856

(x � 11.856)�
10.

1
000
�e–x/10.000dx

– 9�11,856
0

(11.856 � x)�
10.

1
000
�e–x/10.000dx.

Após extensivos cálculos para estipular o número do lado direito e para reduzir o lado direi-
to para uma expressão mais simples em termos de s*, essa equação finalmente nos conduz
daniel gonzalez fez um comentário
  • ALGUEM TEM A SOLUÇÃO DOS EXERCICIOS 18.4-1, 18.4-2, 18.4-3 e 18.4-4
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