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DisciplinaProbabilidade e Estatística11.785 materiais112.332 seguidores
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Inferência Estatística: 
Estimação Pontual e IntervalarEstimação Pontual e Intervalar
Média 
Variância
Proporção
Inferência Estatística
POPULAÇÃO
Conjunto de métodos de análise estatística que permitem tirar
conclusões sobre uma população com base em somente uma
parte dela, a amostra.
Parâmetros: 
Média µ
Desvio-padrão \u3c3
Proporção \u3b8
AMOSTRA
Estatísticas:
média
desvio-padrão s
proporção p
x
Tipos de Inferência Estatística
Inferência sobre 
Estimação de µ Intervalo de Confiança
Inferência sobre 
o parâmetro µ
Teste de Hipóteses 
sobre µ
Teste de 
Hipóteses
Estimação
Exemplo: de posse de uma amostra de 1000 eleitores de um
Estado, deseja-se estimar a proporção \u3b8 de eleitores desse Estado
que votarão no candidato Fulano.
O valor de \u3b8 é desconhecido e pode ser estimado de duas formas:
\u3b8Estimação Somente um valor é dado como estimativa para \u3b8. 
Ex.: proporção amostral de eleitores de Fulano, 
p = 0.60.
Estimação 
pontual:
Estimação 
intervalar:
Um intervalo de valores é dado como estimativa para \u3b8. 
Ex.: [ p margem de erro ] = [ 0.60 0.03 ]
= [ 0.57 ; 0.63 ] .
± ±
Conceitos Básicos em Estimação
Parâmetro 
Estimador 
(do parâmetro)
Valor populacional desconhecido: 
Ex.: média, variância, proporção, etc., 
representado por letras gregas (µ, \u3c3, \u3b8, \u2026) .
Função das variáveis aleatórias X1,\u2026,Xn 
que compõem a amostra. (do parâmetro)
Estimativa
(do parâmetro)
que compõem a amostra. 
Ex.:
1
n
i
i
X
X
n
=
=
\u2211 ( )2
1
1
n
i
i
X X
s
n
=
\u2212
=
\u2212
\u2211
Valor do estimador quando aplicado aos dados 
observados na amostra. 
Ex: 34.5x =
Estimação Intervalar
Intervalo de Confiança = estimativa pontual ±±±± margem de erro
Exemplo: 
Em uma amostra de 40 alunos da UFMG, encontrou-se uma renda
familiar média de 1600 reais (estimativa pontual), com desvio-
padrão igual a 323 reais.
A margem de erro foi calculada em 100 reais.
Assim, a estimativa intervalar para a renda familiar média do aluno
da UFMG é de [1600 ± 100] = [1500 ; 1700] reais.
Lembrando que\u2026 
Seja uma amostra aleatória x1, x2, . . . , xn de uma 
v.a. X com distribuição Normal com média µ e dp \u3c3.
\uf8e5X, o estimador de µ, tem distribuição Normal 
com média µ e desvio padrão \u3c3 / com média µ e desvio padrão \u3c3 / 
n
Intervalo de 100(1-\u3b1)% de Confiança para uma Média µ
/ 2
100(1 )%
.IC x z
n
\u3b1
\u3b1
µ
\u3c3
\u2212
\uf8ee \uf8f9
= ±\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fb
Margem de Erro
estimativa da 
variabilidade de 
x
Nível de confiança 
do intervalo
\uf8f0 \uf8fb
estimativa 
pontual de µ
Fator para redução 
da confiança
/ 2z\u3b1
\u3b1/2é o percentil da distribuição Normal-
padrão que deixa uma área de \u3b1/2 acima dele
/ 2z\u3b1
Intervalo de 100(1-\u3b1)% de Confiança para µ
/ 2
100(1 )%
.IC x z
n
\u3b1
\u3b1
µ
\u3c3
\u2212
\uf8ee \uf8f9
= ±\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fb
Nível de confiança do intervalo = 1 - \u3b1
- É um valor entre 0 e 1;
- Expressa nossa \u201cconfiança\u201d de que o intervalo 
englobe o valor (desconhecido) µ.
Distribuição de 
probabilidade 
dos valores 
populacionais
Distribuição de 
probabilidade 
dos valores da 
média amostral 
em amostras de 
tamanho 50 da 
população à 
Utilizando a distribuição de probabilidade do 
estimador do parâmetro
população à 
esquerda.
/ 2
100(1 )%
.IC x z
n
\u3b1
\u3b1
µ
\u3c3
\u2212
\uf8ee \uf8f9
= ±\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fb
Essa expressão para o IC de µ pode ser usada quando:
1. a variável em estudo tiver distribuição Normal
2. a variável em estudo não tiver distribuição Normal, 
mas o tamanho da amostra (n) for grande ( n > 30). 
É preciso conhecer \u3c3, o d.p. populacional
Resultado 1
TCL
PROBLEMA:
Essa substituição resulta em uma nova variável 
ns
xT
/
µ\u2212
=
Substituir \u3c3 por s na variável Z 
SOLUÇÃO (quando não se conhece \u3c3\u3c3\u3c3\u3c3)
s\uf8ee \uf8f9
/ 2;( 1)
100(1 )%
.n
sIC x t
n
\u3b1
\u3b1
µ \u2212
\u2212
\uf8ee \uf8f9
= ±\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fb
Intervalo de 100(1-\u3b1)% de Confiança para µ
quando \u3c3\u3c3\u3c3\u3c3 for desconhecido
/ 2;( 1)
100(1 )%
.n
sIC x t
n
\u3b1
\u3b1
µ \u2212
\u2212
\uf8ee \uf8f9
= ±\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fb
é o percentil 
da distribuição t-Student 
com (n-1) graus de liberdade 
que deixa uma área de \u3b1/2 
acima dele.
/ 2 ;( 1)nt\u3b1 \u2212
/ 2;( 1)nt\u3b1 \u2212
\u3b1/2
( 1)nt \u2212
Intervalo de Confiança para a média µ
A amostra 
é grande 
SIM
SIM
NÃO
/ 2
100(1 )%
.IC x z
n
\u3b1
\u3b1
µ
\u3c3
\u2212
\uf8ee \uf8f9
= ±\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fb
/ 2
100(1 )%
.
sIC x z
n
\u3b1
\u3b1
µ
\u2212
\uf8ee \uf8f9
= ±\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fb
\u3c3 é 
conhecido ?
é grande 
(n > 30) ?
NÃO
Os dados 
são 
Normais ?
SIM
NÃO
/ 2;( 1)
100(1 )%
.n
sIC x t
n
\u3b1
\u3b1
µ \u2212
\u2212
\uf8ee \uf8f9
= ±\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fb
Métodos não-
paramétricos
O que entendemos por confiança ?
EXEMPLO: estimar µ, a renda média familiar dos alunos que 
ingressaram na UFMG este ano.
Experimento: 
1. cada um de vocês tem acesso a uma amostra de 100 calouros 
para estimar µ.para estimar µ.
2. Todos vocês construirão um intervalo de 95% de confiança 
utilizando os dados da nossa amostra.
Resultado esperado: 
Intervalos de confiança com limites e comprimentos diferentes 
para cada um de vocês.
Como saber qual é o intervalo \u201ccorreto\u201d ?
Interpretação Gráfica do Nível de 
Confiança na Estimação Intervalar
Para um intervalo de 95% de confiança para µ, temos a 
uma confiança de 95% de que este intervalo em uma confiança de 95% de que este intervalo em 
especial contenha o valor desconhecido de µ. 
Exemplo 1: estimar a média da resistência a 
compressão (em psi) da liga alumínio-lítio 
2
0
0
2
5
0
R
e
s
i
s
t
e
n
c
i
a
 
a
 
c
o
m
p
r
e
s
s
a
o
,
 
e
m
 
p
s
i
n = 80 corpos-de-prova
Nível de confiança : 95%
162.66x =
33.77s =
1
0
0
1
5
0
2
0
0
R
e
s
i
s
t
e
n
c
i
a
 
a
 
c
o
m
p
r
e
s
s
a
o
,
 
e
m
 
p
s
i
Nível de confiança : 95%
100(1-\u3b1) = 0.95 \ufffd \u3b1 = 0.05
1.960.025z =
/ 2
100(1 )%
.
sIC x z
n
\u3b1
\u3b1
µ
\u2212
\uf8ee \uf8f9
= ±\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fb
Exemplo 1: continuação
95% 33.77162.66 1.96
80
ICµ
\uf8ee \uf8f9
= ± \u22c5\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fb
[ ]95% 162.66 7.40ICµ = ±
[ ]95% 155.26 ; 170.06ICµ =
A média da resistência a compressão da liga alumínio-
lítio está entre 155.26 psi e 170.06 psi, com 95% de 
confiança.
Exemplo 2: estimar a carga média no ponto-de-
falha de corpos feitos com a liga U-700
Um artigo* descreve os resultados de testes trativos de adesão 
em 22 corpos-de-prova de liga U-700. A carga no ponto-de-falha 
de corpo-de-prova foi medida em megapascal. 
A carga média nessa amostra é igual a 13.71 megapascalA carga média nessa amostra é igual a 13.71 megapascal
e o desvio-padrão é de 3.55 megapascal. 
Materials Engineering, vol. II, n. 4, pp. 275-281, 1989
Amostra pequena \ufffd verificar a suposição de distribuição Normal 
para os dados 
Nível de confiança: 99%
Verificando a suposição de normalidade
P
e
r
c
e
n
t
99
95
90
80
70
60
50
40
30
Mean
0.838
13.71
StDev 3.554
N 22
AD 0.211
P-Value
Gráfico de Probabilidade Normal
Normal 
Boxplot of Carga
Carga
22.520.017.515.012.510.07.55.0
20
10
5
1
C
a
r
g
a
20
18
16
14
12
10
8
6
Boxplot of Carga
Exemplo 2: (continuação)
/ 2;( 1)
100(1 )%
.n
sIC x t
n
\u3b1
\u3b1
µ \u2212
\u2212
\uf8ee \uf8f9
= ±\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fb
99% 0.005;21
3.5513.71
22
IC tµ \uf8ee \uf8f9= ± \u22c5\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fb
[ ]99% 13.71 2.83 0.76ICµ = ± \u22c5
[ ]99% 13.71 2.15ICµ = ± [ ]99% 11.56 ; 15.86ICµ =
A carga média no ponto-de-falha de corpos feitos com a 
liga U-700 está entre 11.56 e 15.86 megapascal, com 
99% de confiança.
Como reduzir o comprimento do Intervalo de Confiança ?
/ 2
100(1 )%
.IC x z
n
\u3b1
\u3b1
µ
\u3c3
\u2212
\uf8ee \uf8f9
= ±\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fb
margem de erro (\u3b5)margem de erro (\u3b5)
Reduzindo margem de erro\ufffd aumentar n.
Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para que a
margem de erro na estimação de µ seja menor ou igual a \u3b5\u3b5\u3b5\u3b5
em um intervalo de 100(1-\u3b1)% de confiança ?
/ 2
100(1 )%
.IC x z
n
\u3b1
\u3b1
µ
\u3c3
\u2212
\uf8ee \uf8f9
= ±\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fbn\uf8f0 \uf8fb
margem de erro (\u3b5)
Exemplo: energia de impacto em placas de aço A238
O teste Charpy V-notch (CVN) mede a energia de impacto (em J) e
é frequentemente usado para determinar se um material
experimenta ou não uma transição dúctil-frágil com um decréscimo
de temperatura.
Considerando que a energia de impacto em placas de aço A238,Considerando que a energia de impacto em placas de aço A238,
cortadas a 60o C, seja normalmente distribuída com \u3c3 = 1.0 J, qual
seria