Aula04_CEE2
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4 – A máquina de indução – princípio de funcionamento (3) 1

T d P t d Vi t d Ci it A l dTorque do Ponto de Vista de Circuito Acoplado
Tomando um enrolamento no estator e um no rotor, considera-se o

â l  t i éti d d i l tângulo m entre os eixos magnéticos dos dois enrolamentos.

A indutância mútua entre os enrolamentos depende do ângulo m, na
forma:

       esresrmsrmsr LpL  LL  coscos  me p  
Os fluxos concatenados em cada    resrssss iLiL  cosenrolamento são calculados por:    rrrsesrr iLiL  cos

4 – A máquina de indução – princípio de funcionamento (3) 2

T d P t d Vi t d Ci it A l dTorque do Ponto de Vista de Circuito Acoplado

   iLiL  cos 
 





rrrsesrr

resrssss

iLiL
iLiL




cos
cos

As tensões em cada enrolamento são obtidas de:

dt
diRv ssss

    
dt

diL
dt

diL
dt

diLiR eerrsresrsssss
  sencos

diRv

dt
r     diLdiLdiLiR

dtdtdt
esr   sencos

dt
iRv rrr      dtiLdtLdtLiR esrsesrrrrr   sencos

 


  f
dt

d
e

e  2 

4 – A máquina de indução – princípio de funcionamento (3) 3

T d P t d Vi t d Ci it A l dTorque do Ponto de Vista de Circuito Acoplado
Multiplicando as tensões dos enrolamentos pelas respectivas

correntes, tem-se:

    ddidi 2    
ddd

dt
diiL

dt
diiL

dt
diiLiRiv eersrsressrssssssss



  sencos2

   
dt

diiL
dt

diiL
dt

diiLiRiv eersrssersrrrrrrrrr
  sencos2

1º termo: perda na resistência do enrolamento
2º ê i d i d â i ó i d2º termo: potência armazenada na indutância própria do

enrolamento (potência reativa)
3º termo: potência armazenada nas indutâncias mútuas dos3 termo: potência armazenada nas indutâncias mútuas dos

enrolamentos (potência reativa)
4º termo: potência relacionada ao movimento relativo entre os e o: po ê c e c o d o ov e o e vo e e os

enrolamentos e em parte transferida entre os sistemas elétrico e
mecânico

4 – A máquina de indução – princípio de funcionamento (3) 4

T d P t d Vi t d Ci it A l dTorque do Ponto de Vista de Circuito Acoplado

Considerando que não há saturação no circuito magnético, calcula-se
o torque eletromagnético através da expressão (ver aula 1):

  msrrrss diiLdiLdiT L 22 11   
m

msr
rs

m

rr
r

m

ss
sm d

ii
d

i
d

iT  
22

22

Dado que , temos:     esrmsrmsr LpL  coscos L
 iiLpT sen  erssrm iiLpT sen

4 – A máquina de indução – princípio de funcionamento (3) 5

Torque do Ponto de Vista do Campo MagnéticoTorque do Ponto de Vista do Campo Magnético

 srrsrssr osc FFFFF 2222 
l d f ( 3) id d d i ( / 3)Volume do entreferro (m3):

22 H F
Densidade de co-energia (J/m3):

00

422





g
H srg F

 g
gDl

4 – A máquina de indução – princípio de funcionamento (3) 6

T d P t d Vi t d C M étiTorque do Ponto de Vista do Campo Magnético

 20  FCo-energia (J): gDl
g

pW src 04volumedensidade 


 F

 srrsrssr osc FFFFF 2222 
  srrsrsc gDlpW  cos24 220 FFFF  g4

DlW   srrs
sr

c
m g

DlpWT  sen2
0 FF

Torque (N·m):

4 – A máquina de indução – princípio de funcionamento (3) 7

T d P t d Vi t d C M étiTorque do Ponto de Vista do Campo Magnético

Dl  srrsm g
DlpT  sen

2
0 FF

DlpT  sen0  FF ssrsm gpT sen2 FF
Dl

rsrrg
Dlp  sen

2
0  FF

 Dl srsrg gBB F
0

rrgm B
DlpT  sen

2
 F

4 – A máquina de indução – princípio de funcionamento (3) 8

T d P t d Vi t d C M étiTorque do Ponto de Vista do Campo Magnético —
Visualização Espacial

rrgm B
DlpT  sen

2
 F

4 – A máquina de indução – princípio de funcionamento (3) 9

 iiLpT senPonto de vista de circuito acoplado:
BDlpT  sen F

 erssrm iiLpT sen
Ponto de vista do campo magnético:

Ponto de vista de circuito acoplado:

rrgm BpT sen2 FPonto de vista do campo magnético:
Exemplo 4.1. Seja a máquina elétrica elementar de dois pólos e dois
enrolamentos. Seu eixo está acoplado a uma máquina primária que pode
absorver ou fornecer torque mecânico. Considere que o enrolamento do
rotor é excitado com corrente contínua Ir e que o enrolamento de estator

é conectado a uma fonte CA que pode fornecer ou receber potência
lé i D d lé i d ( ) I ( )elétrica. Dada a corrente elétrica de estator is(t) = Is cos(et):

(a) Deduza uma expressão para o torque
l é i d l id l á ieletromagnético desenvolvido pela máquina

quando a máquina primária aciona a uma
l id d t tvelocidade constante m.

(b) Encontre a velocidade na qual o torque
médio é não nulo quando a freqüência demédio é não nulo quando a freqüência de

estator é 60 Hz.

4 – A máquina de indução – princípio de funcionamento (3) 10

Princípio de Funcionamento Máquina de 2 polosPrincípio de Funcionamento – Máquina de 2 polos

Quando r = s, os condutores do rotor não percebem a variação
temporal ou espacial do campo magnético. Desta forma, do ponto de

i l i i i fvista eletromagnético, o campo girante existe no entreferro e este
fenômeno é o único que está presente.

4 – A máquina de indução – princípio de funcionamento (3) 11

D t lh C t ti d Má i d I d ãDetalhe Construtivo da Máquina de Indução

Os anéis de curto-circuito doOs anéis de curto-circuito do
rotor em gaiola servem de
caminho para as correntes

i d id binduzidas nas barras
condutoras do rotor.

C i i éComo visto, o campo girante é
produzido pelas correntes que

circulam nos enrolamentoscirculam nos enrolamentos
trifásicos do estator e é
estabelecido no entreferro.

4 – A máquina de indução – princípio de funcionamento (3) 12

Princípio de Funcionamento Máquina de 2 polosPrincípio de Funcionamento – Máquina de 2 polos

Quando r < s, o rotor “escorrega” em relação ao campo girante. O campo
girante “corta” os condutores do rotor. Cada condutor “enxerga” um fluxo

variável no tempo. Assim, tensões são induzidas nos condutores.

Devido aos anéis de curto-circuito, correntes são também induzidas nos
condutores. Nesse ponto, o enrolamento do rotor passa a interferir no campo
girante.

4 – A máquina de indução – princípio de funcionamento (3) 13

P i í i d F i t Má i d 2 lPrincípio de Funcionamento – Máquina de 2 polos
Quando a máquina trabalha na condição de motor sem carga no eixo,

é l d ã i ó i A ir < s, porém os valores de r e s são muito próximos. Assim, as
correntes induzidas no rotor criam um campo Fr , que reage com o

i i l F i d lt t Fcampo original Fs, criando um campo resultante Fsr .
Fsr Bg tensão nas barras 

t b F
Definimos a velocidade de “escorregamento”
d d

correntes nas barras  Fr
do rotor como sendo s  r
O valor por unidade da velocidade de
escorregamento é conhecido simplesmenteescorregamento é conhecido simplesmente

como escorregamento “s”, sendo dado por: 
s

rss 


     rpm2120rad/s2 pfp fpes  

4 – A máquina de indução – princípio de funcionamento (3) 14

P i í i d F i t Má i d 2 lPrincípio de Funcionamento – Máquina de 2 polos

Os condutores do rotor “enxergam” o campo girante com aOs condutores do rotor enxergam o campo girante com a
velocidade de escorregamento, s – r = ss (velocidade do campo

girante menos velocidade do rotor)girante menos velocidade do rotor)

Assim, as grandezas do rotor (correntes eAssim, as grandezas do rotor (correntes e
tensões induzidas) possuem freqüência:

fsf 2

4 – A máquina de indução – princípio de funcionamento (3) 15

E l 4 2 D d f f l é l id d d d l t dExemplo 4.2. Dado f2 = s·f, qual é a velocidade de deslocamento do
campo girante produzido pelas correntes do rotor?

   
 22

222

2cos2
2cos2







ftsI
tfIti

ef

efar  
 22

22

cos2 


 tsI
f

eef

ef

      2322 cos2    tsIti eefbr
   2cos2   tIti    2322 cos2    tsIti eefcr

          memar ptsFt,   coscos 21F
     22   tFtF      322321 coscos    membr ptsFt,F

