Aula04_CEE2
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Aula04_CEE2


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4 \u2013 A máquina de indução \u2013 princípio de funcionamento (3) 1
T d P t d Vi t d Ci it A l dTorque do Ponto de Vista de Circuito Acoplado
Tomando um enrolamento no estator e um no rotor, considera-se o 
â l \uf071 t i éti d d i l tângulo \uf071m entre os eixos magnéticos dos dois enrolamentos.
A indutância mútua entre os enrolamentos depende do ângulo \uf071m, na 
forma:
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029esresrmsrmsr LpL \uf071\uf071\uf071\uf071 LL \uf03d\uf03d\uf0d7\uf03d coscos \uf028 \uf029me p \uf071\uf071 \uf0d7\uf03d
Os fluxos concatenados em cada \uf028 \uf029\uf0ed\uf0ec \uf0d7\uf02b\uf03d resrssss iLiL \uf071\uf06c cosenrolamento são calculados por: \uf028 \uf029\uf0ee\uf0ed \uf02b\uf0d7\uf03d rrrsesrr iLiL \uf071\uf06c cos
4 \u2013 A máquina de indução \u2013 princípio de funcionamento (3) 2
T d P t d Vi t d Ci it A l dTorque do Ponto de Vista de Circuito Acoplado
\uf028 \uf029\uf0ec \uf0d7\uf02b\uf03d iLiL \uf071\uf06c cos\uf028 \uf029
\uf028 \uf029\uf0ee\uf0ed
\uf0ec
\uf02b\uf0d7\uf03d
\uf02b
rrrsesrr
resrssss
iLiL
iLiL
\uf071\uf06c
\uf071\uf06c
cos
cos
As tensões em cada enrolamento são obtidas de:
dt
diRv ssss
\uf06c\uf02b\uf03d \uf028 \uf029 \uf028 \uf029
dt
diL
dt
diL
dt
diLiR eerrsresrsssss
\uf071\uf071\uf071 \uf0d7\uf02d\uf0d7\uf02b\uf02b\uf03d sencos
diRv
dt
r\uf06c\uf02b\uf03d \uf028 \uf029 \uf028 \uf029 diLdiLdiLiR
dtdtdt
esr \uf071\uf071\uf071 \uf0d7\uf02d\uf0d7\uf02b\uf02b\uf03d sencos
dt
iRv rrr \uf02b\uf03d \uf028 \uf029 \uf028 \uf029 dtiLdtLdtLiR esrsesrrrrr \uf071\uf071 \uf0d7\uf02d\uf0d7\uf02b\uf02b\uf03d sencos
\uf0f6\uf0e6 \uf0f7\uf0f8
\uf0f6\uf0e7\uf0e8
\uf0e6 \uf03d\uf03d f
dt
d
e
e \uf070\uf077\uf071 2 \uf0f8\uf0e8
4 \u2013 A máquina de indução \u2013 princípio de funcionamento (3) 3
T d P t d Vi t d Ci it A l dTorque do Ponto de Vista de Circuito Acoplado
Multiplicando as tensões dos enrolamentos pelas respectivas 
correntes, tem-se:
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 ddidi \uf0712 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029
ddd
dt
diiL
dt
diiL
dt
diiLiRiv eersrsressrssssssss
\uf071
\uf071\uf071\uf071 \uf0d7\uf02d\uf0d7\uf02b\uf02b\uf03d sencos2
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029
dt
diiL
dt
diiL
dt
diiLiRiv eersrssersrrrrrrrrr
\uf071\uf071\uf071 \uf0d7\uf02d\uf0d7\uf02b\uf02b\uf03d sencos2
\uf0d81º termo: perda na resistência do enrolamento
\uf0d82º ê i d i d â i ó i d\uf0d82º termo: potência armazenada na indutância própria do 
enrolamento (potência reativa)
\uf0d83º termo: potência armazenada nas indutâncias mútuas dos\uf0d83 termo: potência armazenada nas indutâncias mútuas dos 
enrolamentos (potência reativa)
\uf0d84º termo: potência relacionada ao movimento relativo entre os e o: po ê c e c o d o ov e o e vo e e os
enrolamentos e em parte transferida entre os sistemas elétrico e 
mecânico
4 \u2013 A máquina de indução \u2013 princípio de funcionamento (3) 4
T d P t d Vi t d Ci it A l dTorque do Ponto de Vista de Circuito Acoplado
Considerando que não há saturação no circuito magnético, calcula-se 
o torque eletromagnético através da expressão (ver aula 1):
\uf028 \uf029\uf05b \uf05dmsrrrss diiLdiLdiT \uf071L\uf02b\uf02b 22 11 \uf028 \uf029\uf05b \uf05d
m
msr
rs
m
rr
r
m
ss
sm d
ii
d
i
d
iT \uf071\uf071\uf071 \uf02b\uf02b\uf03d
22
22
Dado que , temos:\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029esrmsrmsr LpL \uf071\uf071\uf071 coscos \uf03d\uf0d7\uf03dL
\uf028 \uf029iiLpT \uf071sen\uf0d7\uf0d7\uf02d\uf03d \uf028 \uf029erssrm iiLpT \uf071sen
4 \u2013 A máquina de indução \u2013 princípio de funcionamento (3) 5
Torque do Ponto de Vista do Campo MagnéticoTorque do Ponto de Vista do Campo Magnético
\uf028 \uf029srrsrssr osc \uf064FFFFF 2222 \uf02b\uf02b\uf03d
l d f ( 3) id d d i ( / 3)Volume do entreferro (m3):
22 \uf0f6\uf0e6H F
Densidade de co-energia (J/m3):
00
422
\uf0f7\uf0f8
\uf0f6\uf0e7\uf0e8
\uf0e6\uf03d
g
H srg F\uf06d\uf06d
\uf0f8\uf0e8 g
gDl\uf070
4 \u2013 A máquina de indução \u2013 princípio de funcionamento (3) 6
T d P t d Vi t d C M étiTorque do Ponto de Vista do Campo Magnético
\uf06d 20 \uf0f7\uf0f6\uf0e7\uf0e6\uf0a2 FCo-energia (J): gDl
g
pW src \uf070\uf06d04volumedensidade \uf0f7\uf0f8
\uf0f6\uf0e7\uf0e8
\uf0e6\uf03d\uf0b4\uf03d\uf0a2 F
\uf028 \uf029srrsrssr osc \uf064FFFFF 2222 \uf02b\uf02b\uf03d
\uf028 \uf029\uf05b \uf05dsrrsrsc gDlpW \uf064\uf070\uf06d cos24 220 FFFF \uf02b\uf02b\uf03d\uf0a2\uf0de g4
DlW \uf0a2\uf0b6 \uf028 \uf029srrs
sr
c
m g
DlpWT \uf064\uf070\uf06d\uf064 sen2
0 FF\uf02d\uf03d\uf0b6
\uf0a2\uf0b6\uf03dTorque (N·m):
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T d P t d Vi t d C M étiTorque do Ponto de Vista do Campo Magnético
Dl\uf070\uf06d \uf028 \uf029srrsm g
DlpT \uf064\uf070\uf06d sen
2
0 FF\uf02d\uf03d
DlpT \uf064\uf070\uf06d sen0 \uf0d7\uf0d7\uf02d\uf03d FF ssrsm gpT \uf064sen2\uf03d FF
Dl
rsrrg
Dlp \uf064\uf070\uf06d sen
2
0 \uf0d7\uf0d7\uf02d\uf03d FF
\uf06d Dl\uf070\uf0de\uf03d\uf03d srsrg gBB F
0\uf06d
rrgm B
DlpT \uf064\uf070 sen
2
\uf0d7\uf0d7\uf02d\uf03d F
4 \u2013 A máquina de indução \u2013 princípio de funcionamento (3) 8
T d P t d Vi t d C M étiTorque do Ponto de Vista do Campo Magnético \u2014
Visualização Espacial
rrgm B
DlpT \uf064\uf070 sen
2
\uf0d7\uf0d7\uf02d\uf03d F
4 \u2013 A máquina de indução \u2013 princípio de funcionamento (3) 9
\uf028 \uf029iiLpT \uf071sen\uf0d7\uf0d7\uf02d\uf03dPonto de vista de circuito acoplado:
BDlpT \uf064\uf070 sen\uf0d7\uf0d7\uf02d\uf03d F
\uf028 \uf029erssrm iiLpT \uf071sen\uf0d7\uf0d7\uf02d\uf03d
Ponto de vista do campo magnético:
Ponto de vista de circuito acoplado:
rrgm BpT \uf064sen2 FPonto de vista do campo magnético:
Exemplo 4.1. Seja a máquina elétrica elementar de dois pólos e dois 
enrolamentos. Seu eixo está acoplado a uma máquina primária que pode 
absorver ou fornecer torque mecânico. Considere que o enrolamento do 
rotor é excitado com corrente contínua Ir e que o enrolamento de estator 
é conectado a uma fonte CA que pode fornecer ou receber potência 
lé i D d lé i d ( ) I ( )elétrica. Dada a corrente elétrica de estator is(t) = Is cos(\uf077et):
(a) Deduza uma expressão para o torque 
l é i d l id l á ieletromagnético desenvolvido pela máquina 
quando a máquina primária aciona a uma 
l id d t tvelocidade constante \uf077m.
(b) Encontre a velocidade na qual o torque 
médio é não nulo quando a freqüência demédio é não nulo quando a freqüência de 
estator é 60 Hz.
4 \u2013 A máquina de indução \u2013 princípio de funcionamento (3) 10
Princípio de Funcionamento Máquina de 2 polosPrincípio de Funcionamento \u2013 Máquina de 2 polos
Quando \uf077r = \uf077s, os condutores do rotor não percebem a variação 
temporal ou espacial do campo magnético. Desta forma, do ponto de 
i l i i i fvista eletromagnético, o campo girante existe no entreferro e este 
fenômeno é o único que está presente.
4 \u2013 A máquina de indução \u2013 princípio de funcionamento (3) 11
D t lh C t ti d Má i d I d ãDetalhe Construtivo da Máquina de Indução
Os anéis de curto-circuito doOs anéis de curto-circuito do 
rotor em gaiola servem de 
caminho para as correntes 
i d id binduzidas nas barras 
condutoras do rotor.
C i i éComo visto, o campo girante é 
produzido pelas correntes que 
circulam nos enrolamentoscirculam nos enrolamentos 
trifásicos do estator e é 
estabelecido no entreferro.
4 \u2013 A máquina de indução \u2013 princípio de funcionamento (3) 12
Princípio de Funcionamento Máquina de 2 polosPrincípio de Funcionamento \u2013 Máquina de 2 polos
Quando \uf077r < \uf077s, o rotor \u201cescorrega\u201d em relação ao campo girante. O campo 
girante \u201ccorta\u201d os condutores do rotor. Cada condutor \u201cenxerga\u201d um fluxo 
variável no tempo. Assim, tensões são induzidas nos condutores.
Devido aos anéis de curto-circuito, correntes são também induzidas nos 
condutores. Nesse ponto, o enrolamento do rotor passa a interferir no campo 
girante.
4 \u2013 A máquina de indução \u2013 princípio de funcionamento (3) 13
P i í i d F i t Má i d 2 lPrincípio de Funcionamento \u2013 Máquina de 2 polos
Quando a máquina trabalha na condição de motor sem carga no eixo, 
é l d ã i ó i A i\uf077r < \uf077s, porém os valores de \uf077r e \uf077s são muito próximos. Assim, as 
correntes induzidas no rotor criam um campo Fr , que reage com o 
i i l F i d lt t Fcampo original Fs, criando um campo resultante Fsr .
Fsr\uf0ae Bg\uf0ae tensão nas barras \uf0ae
t b F
Definimos a velocidade de \u201cescorregamento\u201d 
d d
correntes nas barras \uf0ae Fr
do rotor como sendo \uf077s \uf02d \uf077r
O valor por unidade da velocidade de 
escorregamento é conhecido simplesmenteescorregamento é conhecido simplesmente 
como escorregamento \u201cs\u201d, sendo dado por:\uf077\uf077 \uf02d
s
rss \uf077
\uf077\uf077\uf03d
\uf05b \uf05d\uf028 \uf029 \uf028 \uf029\uf05b \uf05drpm2120rad/s2 pfp fpes \uf0d7\uf03d\uf03d\uf03d \uf070\uf077\uf077
4 \u2013 A máquina de indução \u2013 princípio de funcionamento (3) 14
P i í i d F i t Má i d 2 lPrincípio de Funcionamento \u2013 Máquina de 2 polos
Os condutores do rotor \u201cenxergam\u201d o campo girante com aOs condutores do rotor enxergam o campo girante com a 
velocidade de escorregamento, \uf077s \u2013 \uf077r = s\uf077s (velocidade do campo 
girante menos velocidade do rotor)girante menos velocidade do rotor)
Assim, as grandezas do rotor (correntes eAssim, as grandezas do rotor (correntes e 
tensões induzidas) possuem freqüência:
fsf \uf0d7\uf03d2
4 \u2013 A máquina de indução \u2013 princípio de funcionamento (3) 15
E l 4 2 D d f f l é l id d d d l t dExemplo 4.2. Dado f2 = s·f, qual é a velocidade de deslocamento do 
campo girante produzido pelas correntes do rotor?
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029
\uf028 \uf02922
222
2cos2
2cos2
\uf066\uf070
\uf066\uf070
\uf02b\uf0d7\uf03d
\uf02b\uf03d
ftsI
tfIti
ef
efar \uf028 \uf029
\uf028 \uf02922
22
cos2 \uf066\uf077
\uf066
\uf02b\uf0d7\uf03d tsI
f
eef
ef
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029\uf028 \uf029 \uf028 \uf0292322 cos2 \uf066\uf077 \uf070 \uf02b\uf02d\uf0d7\uf03d tsIti eefbr
\uf028 \uf029 \uf028 \uf0292cos2 \uf066\uf077 \uf070 \uf02b\uf02btIti \uf028 \uf029 \uf028 \uf0292322 cos2 \uf066\uf077 \uf070 \uf02b\uf02b\uf0d7\uf03d tsIti eefcr
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029memar ptsFt, \uf071\uf066\uf077\uf071 \uf0d7\uf0d7\uf02b\uf0d7\uf03d coscos 21F
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf02922 \uf070\uf070 \uf071\uf066\uf071 \uf02btFtF \uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029322321 coscos \uf070\uf070 \uf071\uf066\uf077\uf071 \uf02d\uf0d7\uf0d7\uf02b\uf02d\uf0d7\uf03d membr ptsFt,F
\uf028