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LISTA DE EXERCÍCIOS DE LOGÍSTICA \u2013 19/09/2011
ESTUDO DIRIGIDO E PREPARAÇÃO PARA PROVA
Questão 1: O problema de localização de facilidades 
capacitado com demanda estocástica é dado por:
Em que a função de recurso é dada por:
Use o método de particionamento de Benders para tratar este 
importante problema de planejamento estocástico.
Questão 2: Seja o Problema de Localização de Facilidades Não-
Capacitado:
Considere a versão em que as restrições de integralidade (6) 
são substituídas por restrições de não-negatividade. Mostre 
qual é a forma deste problema para uma projeção no espaço y = 
yh. Gere o dual de programação linear do mesmo e resolva-o. 
Mostre qual é a desigualdade adicional que se deve usar para 
garantir que projeção do problema se dá sempre no espaço x-
viável. Derive a forma do corte de Benders.
Questão 3: Seja o problema de localização de facilidades (3)-
(7), dado acima. Mostre como escrever restrições que limitem 
a capacidade de atendimento das facilidades e explique qual 
seria o impacto do ponto de vista computacional de considerar 
tais restrições. 
Questão 4: Para se obter uma formulação considerando custos 
de congestionamento na solução de problemas de localização de 
facilidades, adiciona-se à função-objetivo uma função não 
linear convexa e contínua por partes na forma:
( ) max{0, ( ) }ni i i i ig g\u3c4 \u3b2= \u2212 \u393
Em que \u3b2 é uma constante de proporcionalidade, \u393 é o limiar a 
partir do qual os efeitos de congestionamento são percebidos 
na i-ésima facilidade e g é u fluxo global na facilidade i. 
Explique porque o projeto que considera congestionamento é 
superior ao projeto capacitado. Discorra sobre as 
implicações de natureza computacional da escolha desta classe 
de modelos.
Questão 5: Em decomposição de Benders, as variáveis duais 
associadas às restrições de acoplamento entre as variáveis 
complicantes e os sub-sistemas tem um papel de extrema 
importância. Descreva qual é este papel e diga como estas 
variáveis pode ser trabalhadas para garantir que haja 
convergência rápida para a solução ótima.
Questão 6: É sabido que para lidar com formulações que 
utilizem restrições de capacidade, uma alternativa para 
preservar a estrutura decomponível dos sub-sistemas é 
produzir uma relaxação lagrangeana através da dualização das 
restrições de capacidade que ligam diversos subproblemas.
Mostre a forma do problema dual lagrangeano e as expressões 
de atualização das variáveis duais lagrangeanas e as 
expressões de avaliação dos sub-gradientes.
Questão 7: Mostre como obter uma formulação para a 
localização de facilidades que seja dinâmica no tempo. 
Considere que há deságio para facilidades desativadas e 
também que não há custos futuros de instalação para as 
facilidades que permanecerem abertas.
Questão 8: Seja o problema de localização de facilidades com 
custos de transporte convexos.
Considere sua versão inteira-mista, em que as restrições de 
integralidades sobre x são relaxadas. Mostre como resolver 
tal problema por decomposição de Benders.
Questão 9: Dado o problema de projeto de rede não capacitado:
Mostre como obter linearização mais forte normalizando os 
fluxo x entre 0 e 1. Produza a decomposição de Benders do 
modelo(21)-(25).
Questão 10: Mostre como obter uma formulação considerando 
restrições de capacidade nos arcos da rede a partir de (21)-
(25). Ao construir a representação algébrica do Programa 
Mestre de Benders, para uma formulação ligeiramente 
diferente, obtém-se:
Veja que nessa formulação não há possibilidade de 
desagregação dos cortes. Explique porque espera-se aqui um 
esforçocomputacional superior na solução do problema, em 
relação a (21)-(25) e em relação à formulação produzida a 
partir de (21)-(25) ao se considerar restições de capacidade.