ListaCalcII - Estudo P2 - Andreia Coutinho
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Exercícios de Cálculo II
1 Equações diferenciais
ordinárias
1.1 Separáveis e homogé-
neas
1. Resolva as equações diferenciais abaixo.
(a)
dy
dx
= y
2x
;
Resp: y2 = Cx;
(b)
dy
dx
= 3y\u22121
x
;
(c)
dy
dx
= x
2
y2
.
Resp: x3 \u2212 y3 = C;
(d)
dy
dx
= x2y2;
(e)
dy
dx
= x
2
y3
.
Resp:
y4
4
= x
3
3
+ C
(f)
dy
dx
= x2y3;
(g)
dy
dx
= 2y.
Resp: y = Ce
x2
2
;
(h)
dy
dx
= ey sinx;
(i)
dy
dx
= 1\u2212 y2.
Resp: y = Ce
2x\u22121
Ce2x+1
(j)
dy
dx
= 1 + y2;
(k)
dy
dx
= 2 + ey.
Resp: y = \u2212 log(Ce\u22122x \u2212 1
2
);
(l)
dy
dx
= y2(1\u2212 y);
(m)
dy
dx
= sinx cos2 y.
Resp: y = tan\u22121(C \u2212 cosx) + npi;
(n) x dy
dx
= y log x;
(o)
dy
dx
= x+y
x\u2212y .
Resp: 2 tan\u22121( y
x
) = log(x2 + y2) +
C;
(p)
dy
dx
= xy
x2+2y2
;
(q)
dy
dx
= x
2+xy+y2
x2
.
Resp: tan\u22121( y
x
) = log |x|+ C;
(r)
dy
dx
= x
3+3xy2
3x2y+y3
;
(s) x dy
dx
= y + x cos2(x
y
).
Resp: y = x tan\u22121(log |Cx|);
(t)
dy
dx
= y
x
\u2212 e\u2212 yx .
2. Mostre que a curva x2 \u2212 y2 = c, para
qualquer valor de c, satifaz a equação
diferencial
dx
dy
= x
y
em todos os seus pon-
tos (note que a curva é uma curva de
nível).
3. Ache uma equação da curva do plano
xy que passa pelo ponto (2, 3) e tem,
em cada ponto (x, y), inclinação igual a
2x
1+y2
.
Resp: y3 + 3y \u2212 3x2 = 24.
4. Repita o exercício anterior para o ponto
(1, 3) e inclinação 1 + 2y
x
.
5. Mostre que a mudança de variáveis \u3be =
x\u2212x0 e \u3b7 = y\u2212y0 transforma a equação
dy
dx
=
ax+ by + c
ex+ fy + g
1
1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 2
na equação homogénea
d\u3b7
d\u3be
=
a\u3be + b\u3b7
e\u3be + f\u3b7
sabendo que (x0, y0) é a solução do sis-
tema {
ax+ by + c = 0
ex+ fy + g = 0.
6. Use a técnica do exercício anterior para
resolver a equação
dy
dx
= x+2y\u22124
2x\u2212y\u22123 .
1.2 Equações diferenciais
lineares de primeira ordem
7. Resolva as seguintes equações diferen-
ciais:
(a)
dy
dx
\u2212 2y
x
= x2.
Resp: y = x3 + cx2;
(b)
dy
dx
+ 2y
x
= 1
x2
;
(c)
dy
dx
\u2212 2y = 3.
Resp: y = 3
2
+ Ce\u22122x;
(d)
dy
dx
+ y = ex;
(e)
dy
dx
+ y = x.
Resp: y = x\u2212 1 + Ce\u2212x;
(f)
dy
dx
+ 2exy = ex.
8. Resolva os seguintes problemas de valor
inicial:
(a)
{
dy
dx
+ 10y = 1
y( 1
10
) = 2
10
Resp: y = 1+e
(1\u221210t)
10
;
(b)
{
dy
dx
+ 3x2y = x2
y(0) = 1
(c)
{
dy
dx
+ (cosx)y = 2xe\u2212 sinx
y(pi) = 0
Resp: y = (x2 \u2212 pi2)e\u2212 sinx;
(d)
{
x2 dy
dx
+ y = x2e
1
x
y(1) = 3e
(e)
{
dy
dt
\u2212 y = 2te2t
y(0) = 1
(f)
{
dy
dt
+ 2
t
y = cos t
t2
y(pi) = 0
(g)
{
tdy
dt
+ (1 + t)y = t
y(ln 2) = 1
9. Para quais valores de y0 a solução do
problema de valor inicial{
y\u2032 \u2212 y = 1 + 3 sin t
y(0) = y0
é \ufb01nita quando t\u2192 +\u221e?
10. Encontre as coordenadas do menor
máximo local da solução do problema
inicial {
dy
dx
+ 1
2
y = 2 cos x
y(0) = 1
11. Descreve o comportamente asintótico
quando t \u2192 +\u221e das soluções da
equação diferencial y\u2032+ay = be\u2212\u3bbt para
todos a > 0, \u3bb > 0 e b \u2208 R.
12. Resolve e descreve o comportamento as-
intótico quando t \u2192 \u221e da solução ao
problema inicial{
dy
dt
+ y
4
= 3 + 2 cos 2t
y(0) = 0.
Para qual t > 0 a solução vale pela
primeira vez 12?
2 FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES EM R2 E R3 3
1.3 Equações exatas. Fa-
tores integrantes
13. Mostre que as equações diferenciais
abaixo são exatas e resolva-as.
(a) (xy2 + y)dx+ (x2y + x)dy = 0;
Resp: 2xy + x2y2 = C;
(b) (ex sin y + 2x)dx + (ex cos y +
2y)dy = 0;
(c) exy(1 + xy)dx+ x2exydy = 0.
Resp: xexy = C;
(d) (2x+ 1\u2212 y2
x2
)dx+ 2y
x
dy = 0.
14. Mostre que as equações diferenciais
abaixo admitem fatores integrantes de-
pendentes somente de x e depois
resolva-as.
(a) (x2 + 2y)dx\u2212 xdy = 0.
Resp: log |x| \u2212 y
x2
= C;
(b) (xex+x log y+y)dx+(x
2
y
+x log x+
x sin y)dy = 0.
15. Que condições devem satisfazer os coe-
\ufb01cientes M(x, y) e N(x, y) se a equação
Mdx+Ndy = 0 tem um fator integrante
na forma µ(y), e que equação diferencial
este fator integrante deve satisfazer ?
16. Ache um fator integrante na forma µ(y)
para a equação
2y2(x+ y2)dx+ xy(x+ 6y2)dy = 0.
e depois resolva-a.
17. Ache um fator integrante na forma µ(y)
para a equação
ydx\u2212 (2x+ y3ey)dy = 0.
e depois resolva-a.
Resp: x\u2212 y2ey = Cy2.
2 Função de uma variá-
vel real a valores em R2 e
R3
2.1 Propriedades dos es-
paços R2 e R3
18. Determine a equação da reta que passa
pelo ponto (1, 2) e que é perpendicular
à direção do vetor ~n = (\u22121, 3). Resp:
\u2212x+ 3y \u2212 5 = 0.
19. Determine a equação, na forma vetorial,
da reta que passa pelo ponto (3,\u22121) e é
perpendicular à reta 2x\u22123y = 7. Resp:
(x, y) = (3,\u22121) + t(2,\u22123).
20. Determine a equação da reta que passa
pelo ponto (1, 2) e que seja paralela à
direção do vetor ~v = (\u22121, 1). Resp:
(x, y) = (1, 2) + t(\u22121, 1).
21. Determine um vetor cuja direção seja
paralela à reta 3x + 2y = 2. Resp:
(\u22122, 3).
22. Determine a equação, na forma vetorial,
da reta que passa pelo ponto (1
2
, 1) e
é paralela à reta 3x + 2y = 2. Resp:
(x, y) = (1
2
, 1) + t(\u22122, 3).
23. Determine equações para as seguintes
retas:
(a) que passa pelos pontos (1, 1, 0) e
(0, 0, 1);
(b) que passa pelos pontos (2, 0, 0) e
(0, 1, 0);
(c) que passa pelos pontos (\u22121,\u22121, 0)
e (1, 8,\u22124);
(d) que passa pelo ponto (1, 1, 0) e tem
direção \u2212~\u131\u2212 ~\uf6be+ ~k;
2 FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES EM R2 E R3 4
(e) que passa pelo ponto (0, 1, 2) e tem
direção ~\u131+ ~\uf6be+ ~k.
24. Em que ponto a última reta do exercício
anterior intersecta o plano xy?
25. Será que as retas dadas por R1 = (t, 3t\u2212
1, 4t) e R2 = (3t, 5, 1 \u2212 t), t \u2208 R, se
intersectam?
26. Determine o único valor de c \u2208 R para
o qual as retas R1 = (t,\u22126t+ c, 2t\u2212 8)
e R2 = (3t+ 1, 2t, 0) se intersectam.
27. Determine a equação do plano que passa
pelo ponto dado e que seja perpendicu-
lar à direção do vetor ~n dado.
(a) (1, 1, 1), ~n = (2, 1, 3); Resp: 2x +
y + 3z = 6;
(b) (2, 1,\u22121), ~n = (\u22122, 1, 2); Resp:
2x\u2212 y \u2212 2z = 5.
28. Determine um vetor não nulo que seja
ortogonal aos vetores ~u e ~v dados.
(a) ~u = (1, 2,\u22121), ~v = (2, 1, 2). Resp:
(5,\u22124,\u22123);
(b) ~u = (3, 2,\u22121), ~v = (\u22121, 2, 1).
Resp: (4,\u22122, 8).
29. Determine a equação vetorial da reta
que passa pelo ponto dado e que seja
perpendicular ao plano dado.
(a) (0, 1,\u22121), x + 2y \u2212 z = 3; Resp:
(x, y, z) = (0, 1,\u22121) + t(1, 2,\u22121);
(b) (2, 1,\u22121), 2x + y + 3z = 1; Resp:
(x, y, z) = (2, 1,\u22121) + t(2, 1, 3);
30. Determine a equação vetorial da reta
que passa pelo ponto (1, 2,\u22121) e que
seja perpendicular à direção dos vetores
~u = (1, 1, 1) e ~v = (1,\u22122, 1). Resp:
(x, y, z) = (1, 2,\u22121) + t(3, 0,\u22123);
31. Determine a equação do plano que passa
pelo ponto dado e que seja paralelo aos
vetores ~u e ~v dados.
(a) (1, 2, 1), ~u = (\u22121, 1, 2), ~v =
(2, 1,\u22121). Resp: x\u2212 y + z = 0;
(b) (0, 1, 2), ~u = (2,\u22121, 3), ~v =
(1, 1, 1). Resp: \u22124x+ y + 3z = 7.
32. Calcule o ângulo entre os vetores 3~\u131+4~\uf6be
e 3~\uf6be+ 4~k.
33. Calcule a norma do vetor dado.
(a) ~u = (1, 2). Resp:
\u221a
5;
(b) ~u = (2, 1, 3). Resp:
\u221a
14;
(c) ~u = (0, 1, 2). Resp:
\u221a
5;
(d) ~u = (1
2
, 1
3
). Resp:
\u221a
13
6
.
34. Sejam ~u e ~v vetores em R3. Prove:
~u \u22a5 ~v \u21d4 ||~u+ ~v||2 = ||~u||2 + ||~v||2.
35. Apresente um vetor unitário no plano
xy que seja ortogonal a 2~\u131\u2212 ~\uf6be.
36. Determine o ângulo entre a diagonal
dum cubo e uma das arestas que a in-
tersecta.
37. Determine a distância do ponto
(2, 8,\u22121) à reta que passa por (1, 1, 1)
e tem direção
1\u221a
13
(~\u131+ ~\uf6be+ ~k).
38. Determine a distância do ponto
(1, 1,\u22121) à reta que passa por (2,\u22121, 2)
na direção de
~k.
39. Calcule a distância de (1, 1, 2) à reta
x = 3t+ 2, y = \u2212t\u2212 1, z = t\u2212 1.
40. Calcule a distância do ponto (1, 1, 0) à
reta que passa por (1, 0,\u22121) e (2, 3, 1).
2 FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES EM R2 E R3 5
41. Determine uma equação para cada um
dos seguintes planos:
(a) que passa pela origem e é ortogonal
a ~\u131+ ~\uf6be+ ~k;
(b) que passa por (1, 0, 0) e é ortogonal
a ~\u131+ ~\uf6be+ ~k;
(c) que passa pela origem e é ortogonal
a ~\u131;
(d) que contém o ponto (a, b, c) e tem
a~\u131+ b~\uf6be+ c~k como vetor normal;
(e) que passa pelos pontos (1, 0, 0),
(0, 2, 0) e (0, 0, 3).
42. Determine um vetor unitário normal aos
seguintes planos:
(a) dado por 2x+ 3y + z = 0;
(b) dado por 8x\u2212 y \u2212 2z + 10 = 0;