ListaCalcII - Estudo P2 - Andreia Coutinho
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parciais segundas contínuas e que satis-
faz a equação de Laplace
\u22022z
\u2202x2
+
\u22022z
\u2202y2
= 0
é chamada de função harmónica.
Mostre que as funções z(x, y) = x3 \u2212
3xy2 e z = f(x, y) = log(x2 + y2) são
harmónicas.
126. Quais das seguintes funções satisfazem
a equação de Laplace ?
(a) f(x, y) = x2 \u2212 y2;
(b) f(x, y) = x2 + y2;
(c) f(x, y) = xy;
(d) f(x, y) = y3 \u2212 3xy2;
(e) f(x, y) = ex sin y.
127. Sejam f e g funções diferenciáveis de
uma variável. Seja z = f(x\u2212 t) + g(x\u2212
t). Prove que z satisfaz a equação de
onda
\u22022z
\u2202t2
= \u2202
2z
\u2202x2
.
128. Dada w = f(x, y) com x = u + v e y =
u\u2212 v, mostre que
\u22022w
\u2202u\u2202v
=
\u22022w
\u2202x2
\u2212 \u2202
2w
\u2202y2
.
129. Seja z = x4y3\u2212x8 + y4. Calcule \u22023z
\u2202y\u2202x\u2202x
,
\u22023z
\u2202x\u2202x\u2202y
,
\u22023z
\u2202x\u2202y\u2202y
e
\u22023z
\u2202y\u2202y\u2202x
.
130. Veri\ufb01que que a função f(x, y, z) =
1\u221a
x2+y2+z2
satisfaz
fxx + fyy + fzz = 0.
3.4 Funções diferenciáveis
131. Veri\ufb01que que a função dada é diferen-
ciável.
(a) f(x, y) = ex\u2212y
2
;
(b) f(x, y) = x4 + y3;
(c) f(x, y) = x2y;
(d) f(x, y) = log(1 + x2 + y2);
(e) f(x, y) = x cos(x2 + y2).
3.5 A Diferencial
132. Calcule a diferencial.
(a) z = x3y2;
(b) z = sinxy;
(c) u = es
2\u2212r2
;
(d) T = log(1 + p2 + v2).
133. Seja z =
\u221a
x+
\u221a
3y.
(a) Calcule a diferencial de z no ponto
(1, 8).
Resp: dz = 1
2
dx+ 1
12
dy;
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 14
(b) Calcule um valor aproximado para
z correspondente a x = 1, 01 e y =
7.9.
Resp: 2.9966;
(c) Calcule um valor aproximado para
a variação \u2206z em z, quando se
passa de x = 1, y = 8 para x =
0.9, y = 8.01.
Resp: \u2206z \u2248 \u22120.049166.
134. Calcule um valor aproximado para a
variação \u2206A na área de um rectângulo
quando os lados variam de x = 2m e
y = 3m para x = 2, 01 e y = 2.97m.
Resp: \u2206A \u2248 \u22120.03.
135. Uma caixa de forma cilíndrica é feita
com um material de espessura 0.03m.
As medidas internas são: altura 2m e
raio da base 1m. A caixa é sem tampa.
Calcule um valor aproximado para o
volume do material utilizado na caixa.
Resp: \u2206V \u2248 0.15pi.
136. A altura de um cone é h = 20cm e o
raio da base r = 12cm. Calcule um
valor aproximado para o volume \u2206V no
volume quando h aumenta 2mm e r de-
cresce 1mm.
137. Calcule aproximadamente
(a) (1, 01)2,03. (Resp: 1,02.)
(b)
\u221a
(0, 01)2 + (3, 02)2 + (3, 9)2.
(Resp: 4,93.)
(c) (1, 01)2(1\u2212\u221a1, 98).
(d) (0.99)3 + (2, 01)3 \u2212 6(0, 99)(2, 01).
(e) tan
(
pi+0,01
3,97
)
.
(f)
\u221a
(4, 01)2 + (3, 98)2 + (2, 02)2.
(g) (0, 98) sin
(
0,99
1,03
)
.
(h)
1,01
0,97
.
(i) (0, 98)(0, 99)(1, 03).
(j) (1, 01)0,97.
3.6 Regra da cadeia e tan-
gentes a curvas nos grá\ufb01cos
138. Seja f(x, y) = x2 + y2. Calcule fy(1, 1),
descreva a curva obtida por intersecção
do grá\ufb01co de f com o plano x = 1 e de-
termine um vetor tangente a esta curva
no ponto (1, 1, f(1, 1)).
139. Repita o exercício anterior para
f(x, y) = exy.
140. Mostre que aplicando a Regra da
Cadeia a f(x, y) = x
y
, supondo que
x = x(t) e y = y(t), se obtém a regra
da derivada do quociente para funções
de uma variável.
141. Suponha que um pato está a nadar
numa piscina segundo um movimento
rectilíneo dado por x = 3 + 8t, y =
3\u22122t, enquanto a temperatura da água
é dada pela fórmula T = x2 cos y \u2212
y2 sinx. Ache dT
dt
aplicando a regra da
cadeia e expressando T em termos de t
e diferenciando.
142. Suponha que o movimento de um pato
numa piscina é dado pela curva x =
(3 + t)2, y = 2 \u2212 t2, enquanto a tem-
peratura da água é dada pela fórmula
T = ex(y2 + x2). Ache dT
dt
aplicando
a regra da cadeia e expressando T em
termos de t e diferenciando.
143. Calcule
df
dt
nos seguintes casos.
(a) f(x, y) = (x2 + y2) log(
\u221a
x2 + y2)
com (x, y) = (et, e\u2212t);
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 15
(b) f(x, y) = xex
2+y2
com (x, y) =
(t,\u2212t);
(c) f(x, y, z) = x + y2 + z3 com
(x, y, z) = (cos t, sin t, t);
(d) f(x, y, z) = (y2 \u2212 x2)ex\u2212z com
(x, y, z) = (t, et, t2);
(e) f(x, y, z) = x
y
+ y
z
+ z
x
com
(x, y, z) = (et, et
2
, et
3
);
(f) f(x, y, z) = sin(xy) com (x, y) =
(t2 + t, t3).
144. Seja z =
\u221a
x2 + y2 +2xy2, em que x e y
são funções de u. Ache uma expressão
para
dz
du
.
145. Se u = sin(a + cos b), em que a e b são
funções de t, calcule du
dt
.
146. Suponha que a temperatura no ponto
(x, y, z) do espaço é T (x, y, z) = x2 +
y2 + z2. Suponha ainda que uma
partícula descreve uma hélice circular
\u3c3(t) = cos(t)~\u131 + sin(t)~\uf6be + t~k e seja T (t)
a sua temperatura no tempo t. Qual
é o valor de T \u2032(t), para t \u2208 R? Cal-
cule um valor aproximado para a tem-
peratura em t = pi
2
+ 0, 01.
147. (a) Mediante a função f(x, y) = yx,
use a Regra da Cadeia para deter-
minar
d
dx
(xx).
(b) Calcule
d
dx
(xx) via as regras de
derivação usuais.
(c) Qual dos métodos prefere?
3.7 Diferenciação implícita
148. Suponha que y é de\ufb01nida implicita-
mente em função de x. Ache dy
dx
.
(a) x2 + 2y2 = 3;
(b) x2 \u2212 y2 = 7;
(c)
x
y
= 10;
(d) y \u2212 sinx3 + x2 \u2212 y2 = 1;
(e) x3 \u2212 sin y + y4 = 4;
(f) ex+y
2
+ y3 = 0.
149. Suponha que y é de\ufb01nida implicita-
mente em função de x. Ache dy
dx
no
ponto indicado.
(a) 3x2 + y2 \u2212 ex = 0 em (0, 1);
(b) x2 + y4 = 1 em (1, 1);
(c) cos(x+ y) = x+ 1
2
em (0, pi
3
);
(d) cos(xy) = 1
2
em (1, pi
3
).
150. Derive uma fórmula para
dx
dy
quando x
e y estão relacionados por F (x, y) = 0
e use-a para achar
dx
dy
nos dois últimos
exercícios.
151. Seja y uma função de x satisfazendo
F (x, y, x+y) = 0, onde F (x, y, z) é uma
função dada. Ache uma fórmula para
dy
dx
.
3.8 Matrizes derivadas
152. Calcule as matrizes derivadas
\u2202(x,y)
\u2202(t,s)
e
\u2202(u,v)
\u2202(x,y)
se x = t+ s, y = t\u2212 s, u = x2 + y2
e v = x2 \u2212 y2. Em seguida, determine
\u2202(u,v)
\u2202(t,s)
.
153. Determine
\u2202(u,v)
\u2202(t,s)
nos seguintes casos:
(a) x = t2 \u2212 s2, y = ts, u = sin(x +
y), v = cos(x\u2212 y);
(b) x = ts, y = ts, u = x, v = \u2212y;
(c) x = t2+s2, y = t2\u2212s2, z = 2ts, u =
xv, v = xz.
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 16
154. Seja u = f(x, y, z) em coordenadas
cartesianas. Se x = r cos \u3b8 sin\u3c6, y =
r sin \u3b8 cos\u3c6 , z = r cos\u3c6, exprima \u2202u
\u2202r
,
\u2202u
\u2202\u3b8
,
\u2202u
\u2202\u3c6
em termos de
\u2202u
\u2202x
,
\u2202u
\u2202y
,
\u2202u
\u2202z
.
155. Calcule
\u2202z
\u2202x
e
\u2202z
\u2202y
para as seguintes
funções:
(a) z = u2 + y2, u = 2x + 7, v = 3x +
y + 7;
(b) z = u2 + 3uv \u2212 v2, u = sin x, v =
\u2212 cosx+ cos y;
(c) z = sinu cos v, u = 3x2 \u2212 2y, v =
x\u2212 3y;
(d) z = u
v2
, u = x+ y, v = xy.
3.9 Gradientes
e Derivadas Direcionais
156. Calcule
~\u2207f(x, y) sendo f(x, y) =
(a) x2y.
Resp: (2xy, x2);
(b) log
\u221a
x2 + y2;
(c) xex
2+y2
.
(d) ex
2\u2212y2
.
Resp: ex
2\u2212y2(2x, 2y);
(e) (x2 + y2) log
\u221a
x2 + y2;
(f)
x
y
.
Resp: ( 1
y
,\u2212 x
y2
).
(g) xexy
3+3
.
157. De\ufb01na gradiente de uma função de três
variáveis. Calcule
~\u2207f(x, y, z) sendo
f(x, y, z) =
(a)
\u221a
x2 + y2 + z2.
Resp:
1\u221a
x2+y2+z2
(x, y, z);
(b) xy2 + yz2 + zx2.
(c) x2 + y2 + z2.
Resp: (2x, 2y, 2z);
(d) xy + yz + xz.
(e) (x2 + y2 + 1)z
2
.
Resp: (2xz2(x2 + y2 +
1)z
2\u22121, 2yz2(x2 + y2 +
1)z
2\u22121, 2z(x2 + y2 + 1)z
2
log(x2 +
y2 + 1)).
158. Seja f(x, y) = x2\u2212y2. Represente gra\ufb01-
camente o
~\u2207f(x0, y0) sendo (x0, y0) =
(a) (1, 1);
(b) (\u22121, 1);
(c) (\u22121,\u22121);
(d) (1,\u22121).
159. Calcule f \u2032(x, y) sendo f(x, y) =
(a) xy.
Resp: f \u2032(x, y) = (y, x);
(b) 2x\u2212y;
Resp: f \u2032(x, y) = 2x\u2212y log 2(1,\u22121);
(c) x tan x
y
.
Resp: f \u2032(x, y) = (tan x
y
+
x
y
sec2 x
y
,\u2212x2
y2
sec2 x
y
).
160. Sejam f(x, y) = y \u2212 x2 e \u3b3(t) =
(sin t, sin2 t).
(a) Veri\ufb01que que a imagem de \u3b3 está
contida na curva de nível y\u2212 x2 =
0;
(b) Desenhe a imagem de \u3b3;
(c) Veri\ufb01que que, para todo o t, \u3b3\u2032(t) ·
~\u2207f(\u3b3(t)) = 0.
161. Veri\ufb01que a regra da cadeia para as
funções e curvas abaixo:
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 17
(a) f(x, y, z) = xz + yz + xy; \u3c3(t) =
(et, cos t, sin t).
Resp: 2et cos t+ cos2 t\u2212 sin2 t;
(b) f(x, y, z) = exyz; \u3c3(t) =
(6t, 3t2, t3);
(c) f(x, y, z) =
\u221a
x2 + y2 + z2; \u3c3(t) =
(sin t, cos t, t).
Resp:
t\u221a
1+t2
.
162. Calcule a derivada direcional de cada
função no ponto dado e na direção dada.
(a) f(x, y) = x2 + y2 \u2212 3xy3; (1, 2);
~v = (1
2
,
\u221a
3
2
.
Resp: \u221211\u2212 16\u221a3;
(b) f(x, y) = 17xy; (1, 1); ~v =
(
\u221a
2,
\u221a
2).
Resp:
17\u221a
2
;
(c) f(x, y, z) = x2\u22122xy+3z2; (1, 1, 2);\u221a
3(1, 1,\u22121).
Resp: \u2212 14\u221a
3