ListaCalcII - Estudo P2 - Andreia Coutinho
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;
(d) f(x, y, z) = sin(xyz); (1, 1, pi
4
):
( 1\u221a
2
, 0,\u2212 1\u221a
2
).
Resp:
pi
8
\u2212 1
2
.
163. Determine a direção e o sentido no qual
cada uma das funções abaixo cresce
mais rapidamente no ponto (1, 1), in-
dicando um vetor unitário com essa di-
reção e esse sentido.
(a) f(x, y) = x2 + 2y2.
Resp:
1\u221a
5
(1, 2);
(b) g(x, y) = x2 \u2212 2y2;
(c) h(x, y) = ex sin y.
Resp: (sin 1, cos 1).
(d) p(x, y) = ex sin y \u2212 e\u2212x cos y.
164. O capitão Asteróide está a deriva no
espaço perto do lado de Mercúrio vi-
rado para o Sol e repara que o casco
da sua nave começa a derreter! A tem-
peratura nas vizinhanças é dada por
T = e\u2212x + e\u2212zy+ e3z. Se a nave está na
posição (1, 1, 1), em que direção deve ele
apontar a nave para que arrefeça mais
rapidamente?
165. Suponha que f e g são funções com
derivadas parciais contínuas. Mostre
que:
(a)
~\u2207f = ~0 se f é constante;
(b)
~\u2207(f + g) = ~\u2207f + ~\u2207g;
(c)
~\u2207(cf) = c~\u2207f se c é uma con-
stante;
(d)
~\u2207(fg) = f ~\u2207g + g~\u2207f ;
(e)
~\u2207(f
g
) = g
~\u2207f\u2212f ~\u2207g
g2
sempre que g 6=
0.
166. (a) Em que direção é a derivada dire-
cional de f(x, y) = x
2\u2212y2
x2+y2
no ponto
(1, 1) igual a zero (sendo a direção
dada por um vetor unitário)?
(b) A mesma pergunta, mas para um
ponto (x, y) no primeiro quadrante
(i.e., x > 0 e y > 0).
(c) Descreva as curvas de nível de f
usando a última alínea.
167. O capitão Asteróide está outra vez em
apuros perto de Mercúrio... Está na
posição (1, 1, 1) e a temperatura do
casco da nave é dada por T (x, y, z) =
e\u2212x
2\u22122y2\u22123z2
.
(a) Em que direção deve apontar a
nave para que a temperatura desça
mais rapidamente?
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 18
(b) Se a nave viaja a uma velocidade
escalar de e8, a que velocidade a
temperatura desce se ele seguir na
direção determinada na alínea an-
terior?
(c) Infelizmente, o metal do casco
pode-se estilhaçar se a tem-
peratura descer a uma veloci-
dade/taxa superior a
\u221a
14e2. Diga
em que direção o capitão Asteróide
pode seguir em segurança.
3.10 Plano tangente e reta
normal
168. Determine as equações do plano tan-
gente e da reta normal ao grá\ufb01co da
função dada, no ponto dado.
(a) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1)).
Resp: z = 4x+ 2y\u2212 4 e (x, y, z) =
(1, 1, 2) + t(4, 2,\u22121);
(b) f(x, y) = x3 + y3 \u2212 6xy em
(1, 2, f(1, 2));
(c) f(x, y) = x2 + y2 em (0, 1, f(0, 1)).
Resp: z = 2y \u2212 1 e (x, y, z) =
(0, 1, 1) + t(0, 2,\u22121);
(d) f(x, y) = cosx cos y em
(0, pi/2, f(0, pi/2));
(e) f(x, y) = 3x2y \u2212 xy em
(1,\u22121, f(1,\u22121)).
Resp: z = \u22128x+2y+8 e (x, y, z) =
(1,\u22121,\u22122) + t(\u22128, 2,\u22121);
(f) f(x, y) = cosx sin y em
(0, pi/2, f(0, pi/2));
(g) f(x, y) = xex
2\u2212y2
em (2, 2, f(2, 2)).
Resp: z = 9x \u2212 8y e (x, y, z) =
(2, 2, 2) + t(9,\u22128,\u22121);
(h) f(x, y) = 1/(xy) em (1, 1, f(1, 1)).
169. Determine o plano que passa pelos pon-
tos (1, 1, 2) e (\u22121, 1, 1) e que seja tan-
gente ao grá\ufb01co de f(x, y) = xy.
Resp: x+ 6y \u2212 2z = 3.
170. Determine o plano que seja paralelo ao
plano z = 2x + y e tangente ao grá\ufb01co
de f(x, y) = x2 + y2.
Resp: z = 2x+ y \u2212 5
4
.
171. z = 2x+y é a equação do plano tangente
ao grá\ufb01co de f(x, y) no ponto (1, 1, 3).
(a) Calcule
\u2202f
\u2202x
(1, 1) e \u2202f
\u2202y
(1, 1);
Resp: \u22122
3
e \u22121
3
(b) Determine a equação da reta nor-
mal no ponto (1, 1, 1).
Resp: (x, y, z) = (1, 1, 1) +
t(2, 1, 3).
172. Considere a função f(x, y) = x
3
x2+y2
.
Mostre que os planos tangentes ao grá-
\ufb01co de f passam pela origem.
173. A função z = z(x, y) é diferenciável e
dada implicitamente pela equação
x2
a2
+
y2
b2
+ z
2
c2
= 1. Mostre que x0x
a2
+ y0y
b2
+
z0z
c2
= 1 é a equação do plano tangente
no ponto (x0, y0, z0), z0 6= 0.
174. Calcule um vetor normal unitário a cada
uma das superfícies seguintes no ponto
indicado.
(a) xyz = 8, (1, 1, 8);
(b) x2y2 + y \u2212 z + 1 = 0, (0, 0, 1);
(c) cos(xy) = ez \u2212 2, (1, pi, 0);
(d) exyz = e, (1, 1, 1).
175. Manuel Perverso inventou nova lei da
gravitação. Nesta teoria, a força ex-
ercida numa massa m em (x, y, z) por
outra massa M na origem é ~F =
4 MÁXIMOS E MÍNIMOS 19
\u2212P mM
r5
~r, em que ~r = x~\u131 + y~\uf6be + z~k,
r =
\u221a
x2 + y2 + z2 e P é a constante
perversa. Calcule V tal que ~F = \u2212~\u2207V
e veri\ufb01que que
~F é ortogonal às super-
fícies de nível de V .
176. Determine uma equação do plano tan-
gente a cada uma das superfícies
seguintes nos pontos indicados.
(a) x2 + 2y2 + 3z2 = 10, (1,
\u221a
3, 1);
(b) xyz2 = 1, (1, 1, 1);
(c) x2 + 2y2 + 3xz = 10, (1, 2, 1/3);
(d) y2 \u2212 x2 = 3, (1, 2, 8);
(e) xyz = 1, (1, 1, 1);
(f)
xy
z
= 1, (1, 1, 1).
177. Determine uma equação para a reta tan-
gente a cada uma das seguintes curvas
nos pontos indicados.
(a) x2 + 2y2 = 3, (1, 1);
(b) xy = 17, (x0, 17/x0);
(c) cos(x+ y) = 1/2, x = pi/2, y = 0;
(d) exy = 2, (1, log 2).
178. Determine uma equação para a reta nor-
mal a cada uma das seguintes superfí-
cies nos pontos indicados.
(a) e\u2212(x
2+y2+z2) = e\u22123, (1, 1, 1);
(b) 2x2 + 3y2 + z2 = 9, (1, 1, 2);
(c)
x
yz
= 1, (1, 1, 1);
(d) xyz2 = 4, (1, 1, 1).
179. Suponha que uma partícula é ejectada
da superfície x2 + y2 + z2 = 1 do ponto
(1, 1,
\u221a
3), na direção normal à super-
fície, no tempo t = 0, com veloci-
dade escalar 10 (unidades por segundo).
Quando e onde intersecta a partícula o
plano xy?
180. Considere as duas superfícies S1 : x
2 +
y2 + z2 = 6 e S2 : 2x
2 + 3y2 + z2 = 9.
(a) Determine os vetores normais e os
planos tangentes a S1 e S2 em
(1, 1, 2);
(b) Determine o ângulo entre os dois
planos;
(c) Determine uma expressão para a
reta tangente em (1, 1, 2) à curva
de intersecção das superfícies S1 e
S2. [Sugestão: esta reta deve estar
em ambos os planos tangentes.]
181. Refaça o exercício anterior com as su-
perfícies x2 \u2212 y2 + z2 = 1 e 2x2 \u2212 y2 +
5z2 = 6 no ponto (1, 1,\u22121).
4 Máximos e mínimos
182. Seleccione os candidatos a extremantes
locais, sendo f(x, y) =
(a) 2x2 + y2 \u2212 2xy + x\u2212 y;
(b) x2 \u2212 y2 + 3xy \u2212 x+ y;
(c) x3 \u2212 y2 + xy + 5;
(d) x3 + y3 \u2212 xy;
(e) x4 + y4 + 4x+ 4y;
(f) x5 + y5 \u2212 5x\u2212 5y.
4.1 Condição su\ufb01ciente
para um ponto crítico ser
extremante local
183. Determine os máximos e mínimos locais
para cada função f(x, y) seguinte, us-
ando o teste para funções quadráticas.
(a) x2 + 3xy + 4y2 \u2212 6x+ 2y;
4 MÁXIMOS E MÍNIMOS 20
(b) x2 + y3 + xy \u2212 3x\u2212 4y + 5;
(c) x3 + 2xy + y2 \u2212 5x;
(d) \u2212x2 + y2 + 2xy + 4x\u2212 2y;
(e) x2 \u2212 4xy + 4y2 \u2212 x+ 3y + 1;
(f) x2 + xy + y2;
(g) y2;
(h) 3 + 2x2 \u2212 xy + y2;
(i) x2 \u2212 xy + y2 + 1.
184. Determine o ponto do plano x + 2y \u2212
z = 4 que se encontra mais próximo da
origem.
185. Analise o comportamento de z = x5y +
xy5 + xy nos seus pontos críticos.
186. Determine os pontos extremos de z =
log(x2 + y2 + 1) e de z = e1+x
2+y2
.
187. Analise o ponto crítico (0, 0) para z =
x3 + y3. Esboce.
188. Mostre que z = x
3\u22123x
1+y2
tem apenas um
máximo e um mínimo local.
189. Ache o ponto (u, t) que maximiza a
função R(u, t) = u2(1 \u2212 u)t2e\u2212t para
0 \u2264 u \u2264 1 e t \u2265 0.
190. A Lei de Plank relaciona a energia E
emitida pelo corpo negro (corpo quente
padrão) à frequência \u3bb e à temper-
atura T da seguinte maneira: T (\u3bb, T ) =
2pik5T 5
h4c4
x5
ex\u22121 em que x =
hc
\u3bbkT
, h é a con-
stante de Plank, k é a constante de
Boltzmann e c é a velocidade da luz no
vácuo. Mostre que, \ufb01xado T , a curva
E = E(\u3bb, T ) (a curva de Plank) tem
um máximo em \u3bb
max
dado por \u3bb
max
=
hc
kTx0
em que 5\u2212 x0 \u2212 5e\u2212x0 = 0. Esta é
a lei de deslocamento de Wien.
191. Determine os máximos e mínimos locais
para f(x, y) = (x2 + 3y2)e1\u2212x
2\u2212y2
.
192. Determine o ponto do espaço que mini-
miza a soma dos quadrados das distân-
cias aos pontos (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)
e (0, 0, 1).
193. Seja f(x, y, z) de classe C2 e seja
(x0, y0, z0) um ponto interior de Df .
Suponha que (x0, y0, z0) seja ponto
crítico de f . Sejam H(x, y, z) e
H1(x, y, z) dadas por:
H =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
\u22022f
\u2202x2
\u22022f
\u2202x\u2202y
\u22022f
\u2202x\u2202z
\u22022f
\u2202x\u2202y
\u22022f
\u2202y2
\u22022f
\u2202y\u2202z
\u22022f
\u2202x\u2202z
\u22022f
\u2202y\u2202z
\u22022f
\u2202z2
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 e H1 =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 \u2202
2f
\u2202x2
\u22022f
\u2202x\u2202y
\u22022f
\u2202x\u2202y
\u22022f
\u2202y2
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
Sabe-se que:
i. se
\u22022f
\u2202x2
(x0, y0, z0) > 0,
H1(x0, y0, z0) > 0 e H(x0, y0, z0) >
0, então (x0, y0, z0) será ponto de
mínimo local;
ii. se
\u22022f
\u2202x2