ListaCalcII - Estudo P2 - Andreia Coutinho
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Exercícios de Cálculo II

1 Equações diferenciais

ordinárias

1.1 Separáveis e homogé-

neas

1. Resolva as equações diferenciais abaixo.

(a)

dy
dx

= y
2x
;

Resp: y2 = Cx;

(b)

dy
dx

= 3y−1
x
;

(c)

dy
dx

= x
2

y2
.

Resp: x3 − y3 = C;
(d)

dy
dx

= x2y2;

(e)

dy
dx

= x
2

y3
.

Resp:

y4

4
= x

3

3
+ C

(f)

dy
dx

= x2y3;

(g)

dy
dx

= 2y.

Resp: y = Ce
x2

2
;

(h)

dy
dx

= ey sinx;

(i)

dy
dx

= 1− y2.
Resp: y = Ce

2x−1
Ce2x+1

(j)

dy
dx

= 1 + y2;

(k)

dy
dx

= 2 + ey.

Resp: y = − log(Ce−2x − 1
2
);

(l)

dy
dx

= y2(1− y);
(m)

dy
dx

= sinx cos2 y.

Resp: y = tan−1(C − cosx) + npi;

(n) x dy
dx

= y log x;

(o)

dy
dx

= x+y
x−y .

Resp: 2 tan−1( y
x
) = log(x2 + y2) +

C;

(p)

dy
dx

= xy
x2+2y2
;

(q)

dy
dx

= x
2+xy+y2

x2
.

Resp: tan−1( y
x
) = log |x|+ C;
(r)

dy
dx

= x
3+3xy2

3x2y+y3
;

(s) x dy
dx

= y + x cos2(x
y
).

Resp: y = x tan−1(log |Cx|);
(t)

dy
dx

= y
x
− e− yx .

2. Mostre que a curva x2 − y2 = c, para
qualquer valor de c, satifaz a equação
diferencial

dx
dy

= x
y
em todos os seus pon-

tos (note que a curva é uma curva de

nível).

3. Ache uma equação da curva do plano

xy que passa pelo ponto (2, 3) e tem,
em cada ponto (x, y), inclinação igual a

2x
1+y2
.

Resp: y3 + 3y − 3x2 = 24.
4. Repita o exercício anterior para o ponto

(1, 3) e inclinação 1 + 2y
x
.

5. Mostre que a mudança de variáveis ξ =
x−x0 e η = y−y0 transforma a equação

dy

dx
=
ax+ by + c

ex+ fy + g

1

1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 2

na equação homogénea

dη

dξ
=
aξ + bη

eξ + fη

sabendo que (x0, y0) é a solução do sis-
tema {

ax+ by + c = 0
ex+ fy + g = 0.

6. Use a técnica do exercício anterior para

resolver a equação

dy
dx

= x+2y−4
2x−y−3 .

1.2 Equações diferenciais

lineares de primeira ordem

7. Resolva as seguintes equações diferen-

ciais:

(a)

dy
dx
− 2y

x
= x2.

Resp: y = x3 + cx2;

(b)

dy
dx

+ 2y
x

= 1
x2
;

(c)

dy
dx
− 2y = 3.
Resp: y = 3

2
+ Ce−2x;

(d)

dy
dx

+ y = ex;

(e)

dy
dx

+ y = x.

Resp: y = x− 1 + Ce−x;
(f)

dy
dx

+ 2exy = ex.

8. Resolva os seguintes problemas de valor

inicial:

(a)

{
dy
dx

+ 10y = 1
y( 1

10
) = 2

10

Resp: y = 1+e
(1−10t)
10
;

(b)

{
dy
dx

+ 3x2y = x2

y(0) = 1

(c)

{
dy
dx

+ (cosx)y = 2xe− sinx

y(pi) = 0

Resp: y = (x2 − pi2)e− sinx;

(d)

{
x2 dy

dx
+ y = x2e

1
x

y(1) = 3e

(e)

{
dy
dt
− y = 2te2t
y(0) = 1

(f)

{
dy
dt

+ 2
t
y = cos t

t2

y(pi) = 0

(g)

{
tdy
dt

+ (1 + t)y = t
y(ln 2) = 1

9. Para quais valores de y0 a solução do
problema de valor inicial{

y′ − y = 1 + 3 sin t
y(0) = y0

é finita quando t→ +∞?

10. Encontre as coordenadas do menor

máximo local da solução do problema

inicial {
dy
dx

+ 1
2
y = 2 cos x
y(0) = 1

11. Descreve o comportamente asintótico

quando t → +∞ das soluções da
equação diferencial y′+ay = be−λt para
todos a > 0, λ > 0 e b ∈ R.

12. Resolve e descreve o comportamento as-

intótico quando t → ∞ da solução ao
problema inicial{

dy
dt

+ y
4

= 3 + 2 cos 2t
y(0) = 0.

Para qual t > 0 a solução vale pela
primeira vez 12?

2 FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES EM R2 E R3 3

1.3 Equações exatas. Fa-

tores integrantes

13. Mostre que as equações diferenciais

abaixo são exatas e resolva-as.

(a) (xy2 + y)dx+ (x2y + x)dy = 0;

Resp: 2xy + x2y2 = C;

(b) (ex sin y + 2x)dx + (ex cos y +
2y)dy = 0;

(c) exy(1 + xy)dx+ x2exydy = 0.

Resp: xexy = C;

(d) (2x+ 1− y2
x2

)dx+ 2y
x
dy = 0.

14. Mostre que as equações diferenciais

abaixo admitem fatores integrantes de-

pendentes somente de x e depois
resolva-as.

(a) (x2 + 2y)dx− xdy = 0.
Resp: log |x| − y

x2
= C;

(b) (xex+x log y+y)dx+(x
2

y
+x log x+

x sin y)dy = 0.

15. Que condições devem satisfazer os coe-

ficientes M(x, y) e N(x, y) se a equação
Mdx+Ndy = 0 tem um fator integrante
na forma µ(y), e que equação diferencial
este fator integrante deve satisfazer ?

16. Ache um fator integrante na forma µ(y)
para a equação

2y2(x+ y2)dx+ xy(x+ 6y2)dy = 0.

e depois resolva-a.

17. Ache um fator integrante na forma µ(y)
para a equação

ydx− (2x+ y3ey)dy = 0.
e depois resolva-a.

Resp: x− y2ey = Cy2.

2 Função de uma variá-

vel real a valores em R2 e
R3

2.1 Propriedades dos es-

paços R2 e R3

18. Determine a equação da reta que passa

pelo ponto (1, 2) e que é perpendicular
à direção do vetor ~n = (−1, 3). Resp:
−x+ 3y − 5 = 0.
19. Determine a equação, na forma vetorial,

da reta que passa pelo ponto (3,−1) e é
perpendicular à reta 2x−3y = 7. Resp:
(x, y) = (3,−1) + t(2,−3).
20. Determine a equação da reta que passa

pelo ponto (1, 2) e que seja paralela à
direção do vetor ~v = (−1, 1). Resp:
(x, y) = (1, 2) + t(−1, 1).
21. Determine um vetor cuja direção seja

paralela à reta 3x + 2y = 2. Resp:
(−2, 3).
22. Determine a equação, na forma vetorial,

da reta que passa pelo ponto (1
2
, 1) e
é paralela à reta 3x + 2y = 2. Resp:
(x, y) = (1

2
, 1) + t(−2, 3).
23. Determine equações para as seguintes

retas:

(a) que passa pelos pontos (1, 1, 0) e
(0, 0, 1);

(b) que passa pelos pontos (2, 0, 0) e
(0, 1, 0);

(c) que passa pelos pontos (−1,−1, 0)
e (1, 8,−4);
(d) que passa pelo ponto (1, 1, 0) e tem

direção −~ı− ~+ ~k;

2 FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES EM R2 E R3 4

(e) que passa pelo ponto (0, 1, 2) e tem

direção ~ı+ ~+ ~k.

24. Em que ponto a última reta do exercício

anterior intersecta o plano xy?

25. Será que as retas dadas por R1 = (t, 3t−
1, 4t) e R2 = (3t, 5, 1 − t), t ∈ R, se
intersectam?

26. Determine o único valor de c ∈ R para
o qual as retas R1 = (t,−6t+ c, 2t− 8)
e R2 = (3t+ 1, 2t, 0) se intersectam.

27. Determine a equação do plano que passa

pelo ponto dado e que seja perpendicu-

lar à direção do vetor ~n dado.

(a) (1, 1, 1), ~n = (2, 1, 3); Resp: 2x +
y + 3z = 6;

(b) (2, 1,−1), ~n = (−2, 1, 2); Resp:
2x− y − 2z = 5.

28. Determine um vetor não nulo que seja

ortogonal aos vetores ~u e ~v dados.

(a) ~u = (1, 2,−1), ~v = (2, 1, 2). Resp:
(5,−4,−3);
(b) ~u = (3, 2,−1), ~v = (−1, 2, 1).
Resp: (4,−2, 8).
29. Determine a equação vetorial da reta

que passa pelo ponto dado e que seja

perpendicular ao plano dado.

(a) (0, 1,−1), x + 2y − z = 3; Resp:
(x, y, z) = (0, 1,−1) + t(1, 2,−1);
(b) (2, 1,−1), 2x + y + 3z = 1; Resp:

(x, y, z) = (2, 1,−1) + t(2, 1, 3);

30. Determine a equação vetorial da reta

que passa pelo ponto (1, 2,−1) e que
seja perpendicular à direção dos vetores

~u = (1, 1, 1) e ~v = (1,−2, 1). Resp:
(x, y, z) = (1, 2,−1) + t(3, 0,−3);

31. Determine a equação do plano que passa

pelo ponto dado e que seja paralelo aos

vetores ~u e ~v dados.

(a) (1, 2, 1), ~u = (−1, 1, 2), ~v =
(2, 1,−1). Resp: x− y + z = 0;
(b) (0, 1, 2), ~u = (2,−1, 3), ~v =

(1, 1, 1). Resp: −4x+ y + 3z = 7.

32. Calcule o ângulo entre os vetores 3~ı+4~
e 3~+ 4~k.

33. Calcule a norma do vetor dado.

(a) ~u = (1, 2). Resp:
√

5;

(b) ~u = (2, 1, 3). Resp:
√

14;

(c) ~u = (0, 1, 2). Resp:
√

5;

(d) ~u = (1
2
, 1

3
). Resp:

√
13
6
.

34. Sejam ~u e ~v vetores em R3. Prove:

~u ⊥ ~v ⇔ ||~u+ ~v||2 = ||~u||2 + ||~v||2.

35. Apresente um vetor unitário no plano

xy que seja ortogonal a 2~ı− ~.

36. Determine o ângulo entre a diagonal

dum cubo e uma das arestas que a in-

tersecta.

37. Determine a distância do ponto

(2, 8,−1) à reta que passa por (1, 1, 1)
e tem direção

1√
13

(~ı+ ~+ ~k).

38. Determine a distância do ponto

(1, 1,−1) à reta que passa por (2,−1, 2)
na direção de

~k.

39. Calcule a distância de (1, 1, 2) à reta
x = 3t+ 2, y = −t− 1, z = t− 1.

40. Calcule a distância do ponto (1, 1, 0) à
reta que passa por (1, 0,−1) e (2, 3, 1).

2 FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES EM R2 E R3 5

41. Determine uma equação para cada um

dos seguintes planos:

(a) que passa pela origem e é ortogonal

a ~ı+ ~+ ~k;

(b) que passa por (1, 0, 0) e é ortogonal

a ~ı+ ~+ ~k;

(c) que passa pela origem e é ortogonal

a ~ı;

(d) que contém o ponto (a, b, c) e tem

a~ı+ b~+ c~k como vetor normal;

(e) que passa pelos pontos (1, 0, 0),
(0, 2, 0) e (0, 0, 3).

42. Determine um vetor unitário normal aos

seguintes planos:

(a) dado por 2x+ 3y + z = 0;

(b) dado por 8x− y − 2z + 10 = 0;