ListaCalcII - Estudo P2 - Andreia Coutinho
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ListaCalcII - Estudo P2 - Andreia Coutinho

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(c) que contém a origem e passa pelos

pontos (1, 1, 1) e (1, 1,−1);
(d) que contém a reta (1 + t, 1− t, t) e
o ponto (1, 1, 1).

43. Os planos 3x+4y+5z = 6 e x−y+z =
4 intersectam-se numa reta. Determine
uma equação dessa reta.

44. Determine a reta em que os planos x+
y = z e y + z = x se intersectam, in-
dicando um ponto da reta e um vetor-

direção dela.

45. Calcule a distância entre o ponto

(1, 1, 1) e o plano x− y − z + 10 = 0.
46. Determine a distância entre o ponto

(2,−1, 2) ao plano 2x− y + z = 5.
47. Determine a distância da origem

ao plano que passa pelos pontos

(1, 2, 3), (−1, 2, 3) e (0, 0, 1).

48. Calcule a distância do ponto (4, 2, 0) ao
plano que passa por (0, 0, 0), (1, 1, 1) e
(1, 1, 2).

2.2 Função de uma variável

real a valores em R2

49. Seja F a função dada por F (t) = (t, 2t).
Calcule F (0) e F (1) e desenhe a imagem
de F .

50. Desenhe a imagem da função F dada
por F (t) = (t, t2).

51. Desenhe a imagem da função F dada
por F (t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2pi].
52. Desenhe a imagem da função F dada
por F (t) = (2 cos t, sin t), t ∈ [0, 2pi].
53. Desenhe a imagem de:

(a) F (t) = (1, t);

(b) F (t) = (t, t+ 1);

(c) F (t) = (2t− 1, t+ 2);
(d) F (t) = (t, t3);

(e) F (t) = (t2, t);

(f) F (t) = (t2, t4);

(g) F (t) = (cos t, 2 sin t);

(h) F (t) = (sin t, sin t).

2.3 Função de uma variável

real a valores em R3

54. Desenhe a imagem de:

(a) F (t) = (t, t, t);

(b) F (t) = (cos t, sin t, 1);

(c) F (t) = (cos t, sin t, bt), b > 0 e t ≥
0;

2 FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES EM R2 E R3 6

(d) F (t) = (1, t, 1);

(e) F (t) = (1, 1, t);

(f) F (t) = (t, t, 1);

(g) F (t) = (1, 0, t);

(h) F (t) = (t, t, 1 + sin t);

(i) F (t) = (t, cos t, sin t).

55. Seja F dada por F (t) =
(log t, t,

√
1− t2, t2). Determine o
domínio de F . Resp: 0 < t ≤ 1
56. Determine o domínio de

F (t) = (t,

√
t− 2
t+ 1

, log(5− t2), e−t).

Resp: −√5 < t < −1 ou 2 ≤ t < √5

2.4 Operações com funções

de uma variável real a valores

em R3

57. Sejam

~F (t) = (t, sin t, 2) e ~G(t) =
(3, t, t2). Calcule:

(a)

~F (t) · ~G(t). Resp: 3t+ t sin t+ 2t2;
(b) e−t ~F (t). Resp:

(e−t, e−t sin t, 2e−t);

(c)

~F (t)− 2~G(t). Resp: (t− 6, sin t−
2t, 2− 2t2);
(d)

~F (t)∧ ~G(t). Resp: (t2 sin t−2t, 6−
t3, t2 − 3 sin t).

58. Calcule ~r(t)∧~x(t), onde ~r(t) = t~i+2~j+
t2~k e ~x(t) = t~i−~j+~k. Resp: (2 + t2)~i+
(t3 − t)~j − 3t~k.
59. Calcule ~u(t) · ~v(t), onde ~u(t) = sin t~i +

cos t~j + t~k e ~v(t) = sin t~i + cos t~j + ~k.
Resp: 1 + t.

60. Sejam

~F , ~G, ~H três funções definidas em
A ∈ R e a valores em R3. Verifique que:

(a)

~F ∧ ~G = −~G ∧ ~F ;
(b)

~F · (~G+ ~H) = ~F · ~G+ ~F · ~H;
(c)

~F ∧ (~G+ ~H) = ~F ∧ ~G+ ~F ∧ ~H;

2.5 Limite de uma função

de uma variável real a valores

em R3

61. Calcule:

(a) limt→1 ~F (t), onde ~F (t) =
(
√
t−1
t−1 , t

2, t−1
t

). Resp: (1
2
, 1, 0);

(b) limt→0 ~F (t), onde ~F (t) =
( tan 3t

t
, e

2t−1
t
, t3). Resp: (3, 2, 0).

2.6 Derivada de uma função

de uma variável real a valores

em R3

62. Calcule

d~F
dt
e

d2 ~F
dt2

(a)

~F (t) = (3t2, e−t, log(t2 +1)). Resp:
(6t,−e−t, 2t

1+t2
) e (6, e−t, 2−2t

2

(1+t2)2
);

(b)

~F (t) = (
√

3t2, cos t2, 3t).
Resp: ( 2

3
√

3t
,−2t sin t2, 3) e

( −2
9t
√

3t
,−(2 sin t2 + 4t2 cos t2), 0;
(c)

~F (t) = (sin 5t, cos 4t,−e−2t).
Resp: (5 cos 5t,−4 sin 4t, 2e−2t) e
(−25 sin 5t,−16 cos 4t,−4e−2t).

63. Determine a equação da reta tangente

à trajetória da função dada, no ponto

dado.

2 FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES EM R2 E R3 7

(a)

~F (t) = (cos t, sin t, t) e ~F (pi
3
).

Resp: (x, y, z) = (1
2
,
√

3
2
, pi

3
) +

t(−
√

3
2
, 1

2
, 1), t ∈ R;
(b)

~F (t) = (t2, t) e ~F (1). Resp:
(x, y) = (1, 1) + t(2, 1), t ∈ R;
(c)

~F (t) = (1
t
, 1
t
, t2) e ~F (2).
Resp: (x, y, z) = (1

2
, 1

2
, 4) +

t(−1
4
,−1

4
, 4), t ∈ R;
(d)

~F (t) = (t, t2, t, t2) e ~F (1).
Resp: (x, y, z, w) = (1, 1, 1, 1) +
t(1, 2, 1, 2), t ∈ R.

64. Seja

~F : I → R3, I intervalo, derivável
até a segunda ordem em I. Suponha
que existe um real λ tal que, para todo

o t ∈ I, d2 ~F
dt2

(t) = λ~F (t). Prove que
~F (t) ∧ d~F

dt
(t) é constante em I.

65. Suponha que

~F : R→ R3 seja derivável
até a segunda ordem e que, para todo o

t ≥ 0, ||~F (t)|| = √t.

(a) Prove que

d~F
dt

(t) · d~F
dt

(t) = −~F ·
d2 ~F
dt2

(t) em [0,+∞];

(b) Seja θ o ângulo entre ~F e d
2 ~F
dt2

(t).
Conclua que

pi
2
≤ θ ≤ pi.

66. Suponha ||~v(t)|| 6= 0 para todo o t. Faça
~T (t) = ~v(t)||~v(t)|| . Prove que

~T e d
~T
dt

(t) são
ortogonais.

67. Seja ~r(t) = (a coswt, b sinwt), onde
a, b, w são constantes não nulas. Mostre
que

d2~r

dt2
(t) = −w2~r.

2.7 Integral de uma função

de uma variável real a valores

em R3

68. Mostre que:

(a)

∫ 1
0

(t, et)dt = (1
2
, (e− 1));
(b)

∫ 1
−1(sin 3t,

1
1+t2

, 1)dt = (0, pi
2
, 2);

(c)

∫ 2
1

(3, 2, 1)dt = (3, 2, 1).

69. Sejam

~T (t) = (t, 1, et) e ~G(t) = (1, 1, 1).
Mostre que:

(a)

∫ 1
0

(~T (t)∧ ~G(t)) = (2−e, e− 3
2
,−1

2
);

(b)

∫ 1
0

(~T (t) · ~G(t)) = 1
2

+ e.

70. Seja

~F (t) uma força, dependente do
tempo t, que actua sobre uma partícula
entre os instantes t1 e t2. Supondo ~F (t)
integrável em [t1, t2], o vetor

~I =

∫ t2
t1

~F (t)dt

denomina-se impulso de

~F no intervalo
de tempo [t1, t2]. Calcule o impulso de
~F no intervalo de tempo dado.

(a)

~F (t) = (t, 1, t2); t1 = 0, t2 = 2.
Resp: (2, 2, 8

3
)

(b)

~F (t) = ( 1
t+1
, t2, 1); t1 = 0, t2 = 1.

Resp: (2, 1
3
, 1).

71. Suponha que

~F (t) é a força resultante
que actua, no instante t, sobre uma
partícula de massa m que se move no
espaço. Mostre que o impulso de

~F no
intervalo de tempo [t1, t2] é igual à vari-
ação da quantidade de movimrento, isto

é, ∫ t2
t1

~F (t)dt = m~v2 −m~v1,

3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 8

onde ~v2 e ~v1 são, respectivamente, as ve-
locidades nos instantes t2 e t1. (Sug-

estão: pela Lei de Newton

~F (t) = m~a.)

3 Funções de várias

variáveis a valores reais

72. Represente graficamente o domínio da

função f dada por

f(x, y) =
√
y − x+

√
1− y.

73. Represente graficamente o domínio da

função w = f(u, v) dada por

u2 + v2 + w2 = 1, w ≥ 0.

74. Represente graficamente o domínio da

função z = f(x, y) dada por

z =
√
y − x2.

75. Diga qual o domínio das seguintes

funções:

(a) f(x, y) = y/x;

(b) f(x, y) = x+y
x−y ;

(c) f(x, y) = x+y
x2+y2−1 ;

(d) f(x, y) = 2xy
x2+y2
;

(e) f(x, y, z) = 2x+y−z
x2+y2+z2−1 ;

(f) f(x, y, z) = z
x2−4y2−1 ;

(g) f(x, y) = x
2+y2

x2−y2 ;

(h) f(x, y) = 2x−sin(y)
1+cos(x)
;

(i) f(x, y) = e
x−ey

1+sin(x)
;

(j) f(x, y) = sin(xy)√
x2+y2−1
.

76. Seja f(x, y) = 3x+ 2y. Mostre que:

(a) f(1,−1) = 1;
(b) f(a, x) = 3a+ 2x;

(c)

f(x+h,y)−f(x,y)
h

= 3;

(d)

f(x,y+k)−f(x,y)
k

= 2;

77. Seja f(x, y) = x−y
x+2y
.

(a) Determine o domínio. Resp:

{(x, y) ∈ R2 : x 6= −2y};
(b) Calcule f(2u+ v, v − u). Resp: u

v
.

78. Represente graficamente o domínio da

função z = f(x, y) dada por:

(a) x+ y − 1 + z2 = 0, z ≥ 0.
(b) f(x, y) = x−y√

1−x2−y2
.

(c) z =
√
y − x2 +√2x− y.
(d) z = log(2x2 + y2 − 1).
(e) z2 + 4 = x2 + y2, z ≥ 0.
(f) z =

√|x| − |y|.
79. Seja f : R2 → R uma função linear.
Sabendo que f(1, 0) = 2 e f(0, 1) = 3,
calcule f(x, y). Resp: f(x, y) = 2x+3y.

80. Verifique se a função é homogénea. Em

caso afirmativo, determine o grau de ho-

mogeneidade.

(a) f(x, y) = x
3+2xy2

x3−y3 . Resp: ho-
mogénea de grau 0;

(b) f(x, y) =
√
x4 + y4. Resp: ho-
mogénea de grau 2;

(c) f(x, y) = 5x3y+x4 + 3. Resp: não
é homogénea;

(d) f(x, y) = 2
x2+y2
. Resp: homogénea

de grau -2.

81. Suponha f : R2 → R homogénea de
grau 2 e f(a, b) = a para todos os pares
(a, b), com a2 + b2 = 1. Mostre que:

3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 9

(a) f(4
√

3, 4) = 32
√

3;

(b) f(0, 3) = 0;

(c) f(x, y), (x, y) 6= (0, 0).
82. Suponha f : R2 → R homogénea e
suponha que f(a, b) = 0 para todo o
(a, b) com a2 + b2 = 1. Mostre que
f(x, y) = 0 para todo (x, y) 6= (0, 0).
83. Seja g : [0, 2pi[→ R uma função dada.
Prove que existe uma única função f :
R2 → R, homogénea de grau λ 6=
0, tal que, para todo o α ∈ [0, 2pi[,
f(cosα, sinα) = g(α). (NOTA: este
exercício nos