ListaCalcII - Estudo P2 - Andreia Coutinho
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diz que uma função ho-

mogénea fica completamente determi-

nada quando se conhecem os valores que

ela assume nos pontos de uma circunfe-

rência de centro na origem).

3.1 Gráfico e curvas de nível

84. Faça um esboço das curvas de nível das

funções seguintes com o valor indicado.

(a) f(x, y) = 1 − x − y com valor 1 e
valor −1;
(b) f(x, y) = 2xy

x2+y2
com valores −1, 0
e 1. Descreva em geral as curvas
de nível desta função. (Sugestão:

use coordenadas polares.)

(c) f(x, y) = x+y
x−y com valores 1 e 0.
Descreva as curvas de nível desta

função em geral.

(d) f(x, y) = x
2+y2

x2−y2 com valores −1, 0
e 1. Descreva também as curvas
de nível para qualquer valor α ∈
R. (Sugestão: use coordenadas po-
lares.)

85. Esboce as curvas de nível da função

f(x, y) = 3−1/(x
2+y2)
com valores 1/e,

1, 0 e 4.

(a) Como são as curvas de nível para

α ∈ R? (Sugestão: coordenadas
polares!)

(b) Como é a secção do gráfico pelo

plano y = 0, i.e, a intersecção
do gráfico de f com o plano xz?
Faria diferença se tomasse outro

plano vertical que passasse pela

origem? (Sugestão: novamente co-

ordenadas polares...)

(c) Esboce o gráfico de f .

86. Seja f a função dada por z = 1
x2+y2
.

(a) Determine o domínio e a imagem;

(b) Desenhe as curvas de nível;

(c) Esboce o gráfico.

87. Seja f a função dada por z = y
x−1 .

(a) Determine o domínio e a imagem;

(b) Desenhe as curvas de nível.

88. Seja f(x, y) = 2xy
2

x2+y4
, (x, y) 6= (0, 0).
(a) Determine o domínio e a imagem;

(b) Desenhe as curvas de nível.

89. Desenhe as curvas de nível e esboce o

gráfico:

(a) f(x, y) = 1− x2 − y2;
(b) f(x, y) = x+ 3y;

(c) z = 4x2 + y2;

(d) f(x, y) = 1 + x2 + y2;

(e) z = x+ y + 1;

(f) f(x, y) =
√

1− x2 − y2;
90. Desenhe as curvas de nível e determine

a imagem.

(a) f(x, y) = x − 2y. Resp: Im(f) =
R;

3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 10

(b) f(x, y) = y
x−2 . Resp: Im(f) = R;

(c) z = x−y
x+y
. Resp: Im(f) = R;
(d) f(x, y) = x

y−1 . Resp: Im(f) = R;
(e) z = xy. Resp: Im(f) = R;
(f) f(x, y) = x2 − y2. Resp: Im(f) =

R;
(g) z = 4x2 + y2. Resp: Im(f) =

[0,+∞[;
(h) z = 3x2−4xy+y2. Resp: Im(f) =

R;

91. Seja f(x, y) = x
2

x2+y2
. Desenhe a imagem

da curva γ(t) = (x(t), y(t), z(t)), onde
xR cos t, y = R sin t e z = f(x(t), y(t)),
R > 0. Como é o gráfico de f?

92. Suponha T (x, y) = 2x + y(oC) repre-
sente uma distribuição de temperatura

no plano xy.

(a) Desenhe as isotermas corre-

spondentes às temperaturas:

0oC, 3oC,−1oC.
93. Esboce as seguintes superfícies no es-

paço tridimensional.

(a) z = x2 + 2;

(b) z = |y|;
(c) z2 + x2 = 4;

(d) x2 + y = 2;

(e) x = −8z2 + x;
(f) z =

√
x2 + y2;

(g) z = max{|x|, |y|};
(h) z = sin(x);

(i) y = 1− x2 − z2.
94. Escreva uma expressão em coordenadas

cilíndricas e em coordenas esféricas para

a superfície dada por z = x2 − y2 em
coordenadas cartesianas.

95. Escreva uma expressão em coordenadas

esféricas para a superfície dada por

xz = 1 em coordenadas cartesianas.

96. Dê uma expressão para z = x2 + y2 em
coordenadas esféricas.

97. Descreva a superfície dada em coorde-

nadas esféricas por ρ = φ.

3.2 Derivadas parciais

98. Determine as derivadas parciais:

(a) f(x, y) = 5x4y2 + xy3 + 4.

Resp:

∂f
∂x

= 20x3y2 + y3

∂f
∂y

= 10x4y + 3xy2;

(b) z = cosxy.

Resp:

∂z
∂x

= −y sinxy
∂z
∂y

= −x sinxy;
(c) z = x

3+y2

x2+y2
.

Resp:

∂z
∂x

= x
4+3x2y2−2xy2

(x2+y2)2

∂z
∂y

= 2x
2y(1−x)

(x2+y2)2
;

(d) f(x, y) = e−x
2−y2
.

Resp:

∂f
∂x

= −2xe−x2−y2
∂f
∂y

= −2ye−x−y2 ;
(e) z = x2 log(1 + x2 + y2).

(f) z = xyexy.

Resp:

∂z
∂x

= yexy(1 + xy)
∂z
∂y

= xexy(1 + xy);

(g) f(x, y) = (4xy − 3y3)3 + 5x2y.
Resp:

∂f
∂x

= 12y(4xy−3y3)2 +10xy
∂f
∂y

= 3(4xy−3y3)2(4x−9y2)+5x2;
(h) z = arctan x

y
;

Resp:

∂z
∂x

= y
x2+y2

∂z
∂y

= −x
x2+y2
;

3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 11

(i) f(x, y) = xy.

Resp:

∂f
∂x

= yxy−1
∂f
∂y

= xy log x;

(j) z = (x2 + y2) log(x2 + y2).

Resp:

∂z
∂x

= 2x[1 + log(x2 + y2)]
∂z
∂y

= 2y[1 + log(x2 + y2)];

(k) f(x, y) =
√

3x3 + y2 + 3.
∂f
∂x

= x
2√

3(x3+y2+3)2

∂f
∂y

= 2y
3
√

3(x3+y2+3)2
.

99. Considere a função z = xy
2

x2+y2
. Verifique

que x ∂z
∂x

+ y ∂z
∂y

= z.

100. Seja φ : R → R uma função de uma
variável real, diferenciável e tal que

φ′(1) = 4. Seja z(x, y) = φ(x
y
). Cal-

cule

∂z
∂x

(1, 1) e ∂z
∂y

(1, 1).

Resp: 4 e −4.

101. Seja z(x, y) a função do exercício ante-
rior. Verifique que:

x
∂z

∂x
(x, y) + y

∂z

∂y
(x.y) = 0

para todo o (x, y) ∈ R2, com y 6= 0.

102. Novamente, seja φ : R→ R uma função
de uma variável real, diferenciável, e de-

fina z = φ(x− y)/y. Verifique que

z + y
∂z

∂x
+ y

∂z

∂y
= 0,

para todo o x ∈ R e todo o y 6= 0.

103. Considere a função dada por z =
x sin x

y
. Verifique que

x
∂z

∂x
+ y

∂z

∂y
= z.

104. A função p = p(V, T ) é dada implicita-
mente pela equação pV = nRT , onde n
e R são constantes não nulas. Calcule
∂p
∂V
e

∂p
∂T
.

Resp:

∂p
∂V

= −nRT
V 2
e

∂p
∂T

= nR
V
.

105. Seja z = eyφ(x − y), onde φ é uma
função diferenciável de uma variável

real. Mostre que

∂z

∂x
+
∂z

∂y
= z.

106. Seja φ : R → R uma função difer-
enciável de uma variável real e seja

f(x, y) = (x2 + y2)φ(x
y
). Mostre que

x
∂f

∂x
+ y

∂f

∂y
= 2f.

107. Sejam z = ex
2+y2 , x = ρ cos θ e y =

ρ sin θ. Verifique que:

∂z

∂ρ
= ex

2+y2(2x cos θ + 2y sin θ).

Conclua que:

∂z

∂ρ
=
∂z

∂x
cos θ +

∂z

∂y
sin θ.

108. Suponha que a função z = z(x, y) ad-
mita derivadas parciais em todos os

pontos do seu domínio e que seja dada

implicitamente pela equação xyz+z3 =
x. Expresse ∂z

∂x
e

∂z
∂y
em termos de x, y
e z.

Resp:

∂z
∂x

= 1−yz
xy+3z2
e

∂z
∂y

= −xz
xy+3z2
.

109. Seja z = f(x+at), onde f é uma função
diferenciável de uma variável real e a

uma constante. Verifique que

∂z

∂t
= a

∂z

∂x
.

3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 12

110. Seja z = f(x2 − y2), onde f(u) é
uma função diferenciável de uma var-

iável real. Verifique que

y
∂z

∂x
+ x

∂z

∂y
= 0.

111. Considere a função dada por w = xy +
z4, onde z = z(x, y). Admita que
∂z
∂x

(x = 1, y = 1) = 4 e que z = 1 para
x = 1 e y = 1. Calcule ∂w

∂x
(x = 1, y =

1).

Resp: 17.

112. Seja f(x, y) = e−
x
2φ(2y − x), onde φ é
uma função diferenciável de uma variá-

vel real. Mostre que:

2
∂f

∂x
+
∂f

∂y
= −f.

113. Seja f(x, y) =
∫ x2+y2

0
e−t

2
dt. Calcule

∂f
∂x

(x, y) e ∂f
∂y

(x, y).

Resp:

∂f
∂x

(x, y) = 2xe−(x
2+y2)2
e

∂f
∂y

(x, y) = 2ye−(x
2+y2)2
.

114. Seja f(x, y) =
∫ y2
x2
e−t

2
dt. Calcule

∂f
∂x

(x, y) e ∂f
∂y

(x, y).

Resp:

∂f
∂x

(x, y) = −2xe−x4 e ∂f
∂y

(x, y) =

2ye−y
4
.

115. Calcule as derivadas parciais.

(a) f(x, y, z) = xyz.

(b) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2.

(c) f(x, y, z) = xex−y−z.

(d) w = x2 arcsin y
2
.

(e) w = xyz
x+y+z
.

(f) f(x, y, z) = cos(xy3) + e3xyz.

(g) f(x, y, z) = sin(x2 + y2 + z2).

(h) f(x, y, z) = xyz.

(i) s = f(x, y, z, w) dada por s =
xw log(x2 + y2 + z2 + w2).

116. Seja f(x, y) = 3x2 +2 sin(x/y2)+y3(1−
ex). Calcule fx(2, 3), fx(0, 1), fy(1, 1) e
fy(−1,−1).
117. Calcule

(a)

∂
∂s
estu

2
;

(b)

∂
∂r

(
1
3
pir2h

)
;

(c)

∂
∂λ

(
cos(λµ)

1+λ2+µ2

)
;

(d)

∂
∂a

(bcd).

118. Calcule lim∆y→0
3+(x+y+∆y)2z−(3+(x+y)2z)

∆y
.

119. Seja f(x, y, z) = x
x2+y2+z2
. Verifique que

x
∂f

∂x
+ y

∂f

∂y
+ z

∂f

∂z
= −f.

120. Seja s = f(x, y, z, w) dada por s =
e
x
y
− z
w
. Verifique que

x
∂s

∂x
+ y

∂s

∂y
+ z

∂s

∂z
+ w

∂s

∂w
= 0.

121. Seja f : R→ R contínua com f(3) = 4.
Seja

g(x, y, z) =

∫ x+y2+z4
0

f(t)dt.

Calcule

∂g
∂x

(1, 1, 1), ∂g
∂y

(1, 1, 1) e
∂g
∂z

(1, 1, 1).

3.3 Derivadas de ordem su-

perior

122. Ache todas as derivadas parciais segun-

das das seguintes funções:

3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 13

(a) z = 3x2 + 2y2;

(b) z = sin(x2 − 3xy);
(c) z = (2x

2+7x2y)
3xy
;

(d) z = x2y2e2xy.

123. Seja f(x, y, z) = x2y + xy2 + yz2. Ache
fxy, fyz, fzx, fxyz.

124. Calcule todas as derivadas segundas da

função u = u(x, y) e verifique direta-
mente a igualdade das derivadas parci-

ais mistas.

(a) u = 2xy
(x2+y2)2
;

(b) u = cos(xy2);

(c) u = e−xy
2

+ y3x4;

(d) u = 1
cos2 x+e−y .

125. Uma função z = f(x, y) com derivadas