ListaCalcII - Estudo P2 - Andreia Coutinho
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parciais segundas contínuas e que satis-

faz a equação de Laplace

∂2z

∂x2
+
∂2z

∂y2
= 0

é chamada de função harmónica.

Mostre que as funções z(x, y) = x3 −
3xy2 e z = f(x, y) = log(x2 + y2) são
harmónicas.

126. Quais das seguintes funções satisfazem

a equação de Laplace ?

(a) f(x, y) = x2 − y2;
(b) f(x, y) = x2 + y2;

(c) f(x, y) = xy;

(d) f(x, y) = y3 − 3xy2;
(e) f(x, y) = ex sin y.

127. Sejam f e g funções diferenciáveis de
uma variável. Seja z = f(x− t) + g(x−
t). Prove que z satisfaz a equação de
onda

∂2z
∂t2

= ∂
2z
∂x2
.

128. Dada w = f(x, y) com x = u + v e y =
u− v, mostre que

∂2w

∂u∂v
=
∂2w

∂x2
− ∂

2w

∂y2
.

129. Seja z = x4y3−x8 + y4. Calcule ∂3z
∂y∂x∂x
,

∂3z
∂x∂x∂y
,

∂3z
∂x∂y∂y
e

∂3z
∂y∂y∂x
.

130. Verifique que a função f(x, y, z) =
1√

x2+y2+z2
satisfaz

fxx + fyy + fzz = 0.

3.4 Funções diferenciáveis

131. Verifique que a função dada é diferen-

ciável.

(a) f(x, y) = ex−y
2
;

(b) f(x, y) = x4 + y3;

(c) f(x, y) = x2y;

(d) f(x, y) = log(1 + x2 + y2);

(e) f(x, y) = x cos(x2 + y2).

3.5 A Diferencial

132. Calcule a diferencial.

(a) z = x3y2;

(b) z = sinxy;

(c) u = es
2−r2
;

(d) T = log(1 + p2 + v2).

133. Seja z =
√
x+
√

3y.

(a) Calcule a diferencial de z no ponto
(1, 8).

Resp: dz = 1
2
dx+ 1

12
dy;

3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 14

(b) Calcule um valor aproximado para

z correspondente a x = 1, 01 e y =
7.9.

Resp: 2.9966;

(c) Calcule um valor aproximado para

a variação ∆z em z, quando se
passa de x = 1, y = 8 para x =
0.9, y = 8.01.

Resp: ∆z ≈ −0.049166.
134. Calcule um valor aproximado para a

variação ∆A na área de um rectângulo
quando os lados variam de x = 2m e
y = 3m para x = 2, 01 e y = 2.97m.

Resp: ∆A ≈ −0.03.
135. Uma caixa de forma cilíndrica é feita

com um material de espessura 0.03m.
As medidas internas são: altura 2m e
raio da base 1m. A caixa é sem tampa.
Calcule um valor aproximado para o

volume do material utilizado na caixa.

Resp: ∆V ≈ 0.15pi.
136. A altura de um cone é h = 20cm e o
raio da base r = 12cm. Calcule um
valor aproximado para o volume ∆V no
volume quando h aumenta 2mm e r de-
cresce 1mm.

137. Calcule aproximadamente

(a) (1, 01)2,03. (Resp: 1,02.)

(b)

√
(0, 01)2 + (3, 02)2 + (3, 9)2.
(Resp: 4,93.)

(c) (1, 01)2(1−√1, 98).
(d) (0.99)3 + (2, 01)3 − 6(0, 99)(2, 01).
(e) tan

(
pi+0,01

3,97

)
.

(f)

√
(4, 01)2 + (3, 98)2 + (2, 02)2.

(g) (0, 98) sin
(

0,99
1,03

)
.

(h)

1,01
0,97
.

(i) (0, 98)(0, 99)(1, 03).

(j) (1, 01)0,97.

3.6 Regra da cadeia e tan-

gentes a curvas nos gráficos

138. Seja f(x, y) = x2 + y2. Calcule fy(1, 1),
descreva a curva obtida por intersecção

do gráfico de f com o plano x = 1 e de-
termine um vetor tangente a esta curva

no ponto (1, 1, f(1, 1)).

139. Repita o exercício anterior para

f(x, y) = exy.

140. Mostre que aplicando a Regra da

Cadeia a f(x, y) = x
y
, supondo que

x = x(t) e y = y(t), se obtém a regra
da derivada do quociente para funções

de uma variável.

141. Suponha que um pato está a nadar

numa piscina segundo um movimento

rectilíneo dado por x = 3 + 8t, y =
3−2t, enquanto a temperatura da água
é dada pela fórmula T = x2 cos y −
y2 sinx. Ache dT

dt
aplicando a regra da

cadeia e expressando T em termos de t
e diferenciando.

142. Suponha que o movimento de um pato

numa piscina é dado pela curva x =
(3 + t)2, y = 2 − t2, enquanto a tem-
peratura da água é dada pela fórmula

T = ex(y2 + x2). Ache dT
dt
aplicando

a regra da cadeia e expressando T em
termos de t e diferenciando.

143. Calcule

df
dt
nos seguintes casos.

(a) f(x, y) = (x2 + y2) log(
√
x2 + y2)
com (x, y) = (et, e−t);

3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 15

(b) f(x, y) = xex
2+y2
com (x, y) =

(t,−t);
(c) f(x, y, z) = x + y2 + z3 com

(x, y, z) = (cos t, sin t, t);

(d) f(x, y, z) = (y2 − x2)ex−z com
(x, y, z) = (t, et, t2);

(e) f(x, y, z) = x
y

+ y
z

+ z
x
com

(x, y, z) = (et, et
2
, et

3
);

(f) f(x, y, z) = sin(xy) com (x, y) =
(t2 + t, t3).

144. Seja z =
√
x2 + y2 +2xy2, em que x e y
são funções de u. Ache uma expressão
para

dz
du
.

145. Se u = sin(a + cos b), em que a e b são
funções de t, calcule du

dt
.

146. Suponha que a temperatura no ponto

(x, y, z) do espaço é T (x, y, z) = x2 +
y2 + z2. Suponha ainda que uma
partícula descreve uma hélice circular

σ(t) = cos(t)~ı + sin(t)~ + t~k e seja T (t)
a sua temperatura no tempo t. Qual
é o valor de T ′(t), para t ∈ R? Cal-
cule um valor aproximado para a tem-

peratura em t = pi
2

+ 0, 01.

147. (a) Mediante a função f(x, y) = yx,
use a Regra da Cadeia para deter-

minar

d
dx

(xx).

(b) Calcule

d
dx

(xx) via as regras de
derivação usuais.

(c) Qual dos métodos prefere?

3.7 Diferenciação implícita

148. Suponha que y é definida implicita-
mente em função de x. Ache dy

dx
.

(a) x2 + 2y2 = 3;

(b) x2 − y2 = 7;
(c)

x
y

= 10;

(d) y − sinx3 + x2 − y2 = 1;
(e) x3 − sin y + y4 = 4;
(f) ex+y

2
+ y3 = 0.

149. Suponha que y é definida implicita-
mente em função de x. Ache dy

dx
no

ponto indicado.

(a) 3x2 + y2 − ex = 0 em (0, 1);
(b) x2 + y4 = 1 em (1, 1);

(c) cos(x+ y) = x+ 1
2
em (0, pi

3
);

(d) cos(xy) = 1
2
em (1, pi

3
).

150. Derive uma fórmula para

dx
dy
quando x

e y estão relacionados por F (x, y) = 0
e use-a para achar

dx
dy
nos dois últimos

exercícios.

151. Seja y uma função de x satisfazendo
F (x, y, x+y) = 0, onde F (x, y, z) é uma
função dada. Ache uma fórmula para

dy
dx
.

3.8 Matrizes derivadas

152. Calcule as matrizes derivadas

∂(x,y)
∂(t,s)
e

∂(u,v)
∂(x,y)
se x = t+ s, y = t− s, u = x2 + y2
e v = x2 − y2. Em seguida, determine
∂(u,v)
∂(t,s)
.

153. Determine

∂(u,v)
∂(t,s)
nos seguintes casos:

(a) x = t2 − s2, y = ts, u = sin(x +
y), v = cos(x− y);
(b) x = ts, y = ts, u = x, v = −y;
(c) x = t2+s2, y = t2−s2, z = 2ts, u =

xv, v = xz.

3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 16

154. Seja u = f(x, y, z) em coordenadas
cartesianas. Se x = r cos θ sinφ, y =
r sin θ cosφ , z = r cosφ, exprima ∂u

∂r
,

∂u
∂θ
,

∂u
∂φ
em termos de

∂u
∂x
,

∂u
∂y
,

∂u
∂z
.

155. Calcule

∂z
∂x
e

∂z
∂y
para as seguintes

funções:

(a) z = u2 + y2, u = 2x + 7, v = 3x +
y + 7;

(b) z = u2 + 3uv − v2, u = sin x, v =
− cosx+ cos y;
(c) z = sinu cos v, u = 3x2 − 2y, v =

x− 3y;
(d) z = u

v2
, u = x+ y, v = xy.

3.9 Gradientes

e Derivadas Direcionais

156. Calcule

~∇f(x, y) sendo f(x, y) =
(a) x2y.

Resp: (2xy, x2);

(b) log
√
x2 + y2;

(c) xex
2+y2
.

(d) ex
2−y2
.

Resp: ex
2−y2(2x, 2y);

(e) (x2 + y2) log
√
x2 + y2;

(f)

x
y
.

Resp: ( 1
y
,− x

y2
).

(g) xexy
3+3
.

157. Defina gradiente de uma função de três

variáveis. Calcule

~∇f(x, y, z) sendo
f(x, y, z) =

(a)

√
x2 + y2 + z2.

Resp:

1√
x2+y2+z2

(x, y, z);

(b) xy2 + yz2 + zx2.

(c) x2 + y2 + z2.

Resp: (2x, 2y, 2z);

(d) xy + yz + xz.

(e) (x2 + y2 + 1)z
2
.

Resp: (2xz2(x2 + y2 +
1)z

2−1, 2yz2(x2 + y2 +
1)z

2−1, 2z(x2 + y2 + 1)z
2

log(x2 +
y2 + 1)).

158. Seja f(x, y) = x2−y2. Represente grafi-
camente o

~∇f(x0, y0) sendo (x0, y0) =

(a) (1, 1);

(b) (−1, 1);
(c) (−1,−1);
(d) (1,−1).

159. Calcule f ′(x, y) sendo f(x, y) =

(a) xy.

Resp: f ′(x, y) = (y, x);

(b) 2x−y;

Resp: f ′(x, y) = 2x−y log 2(1,−1);
(c) x tan x

y
.

Resp: f ′(x, y) = (tan x
y

+
x
y

sec2 x
y
,−x2

y2
sec2 x

y
).

160. Sejam f(x, y) = y − x2 e γ(t) =
(sin t, sin2 t).

(a) Verifique que a imagem de γ está
contida na curva de nível y− x2 =
0;

(b) Desenhe a imagem de γ;

(c) Verifique que, para todo o t, γ′(t) ·
~∇f(γ(t)) = 0.

161. Verifique a regra da cadeia para as

funções e curvas abaixo:

3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 17

(a) f(x, y, z) = xz + yz + xy; σ(t) =
(et, cos t, sin t).

Resp: 2et cos t+ cos2 t− sin2 t;
(b) f(x, y, z) = exyz; σ(t) =

(6t, 3t2, t3);

(c) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2; σ(t) =

(sin t, cos t, t).

Resp:

t√
1+t2
.

162. Calcule a derivada direcional de cada

função no ponto dado e na direção dada.

(a) f(x, y) = x2 + y2 − 3xy3; (1, 2);
~v = (1

2
,
√

3
2
.

Resp: −11− 16√3;
(b) f(x, y) = 17xy; (1, 1); ~v =

(
√

2,
√

2).

Resp:

17√
2
;

(c) f(x, y, z) = x2−2xy+3z2; (1, 1, 2);√
3(1, 1,−1).
Resp: − 14√

3