ListaCalcII - Estudo P2 - Andreia Coutinho
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ListaCalcII - Estudo P2 - Andreia Coutinho

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;

(d) f(x, y, z) = sin(xyz); (1, 1, pi
4
):

( 1√
2
, 0,− 1√

2
).

Resp:

pi
8
− 1

2
.

163. Determine a direção e o sentido no qual

cada uma das funções abaixo cresce

mais rapidamente no ponto (1, 1), in-
dicando um vetor unitário com essa di-

reção e esse sentido.

(a) f(x, y) = x2 + 2y2.

Resp:

1√
5
(1, 2);

(b) g(x, y) = x2 − 2y2;
(c) h(x, y) = ex sin y.

Resp: (sin 1, cos 1).

(d) p(x, y) = ex sin y − e−x cos y.

164. O capitão Asteróide está a deriva no

espaço perto do lado de Mercúrio vi-

rado para o Sol e repara que o casco

da sua nave começa a derreter! A tem-

peratura nas vizinhanças é dada por

T = e−x + e−zy+ e3z. Se a nave está na
posição (1, 1, 1), em que direção deve ele
apontar a nave para que arrefeça mais

rapidamente?

165. Suponha que f e g são funções com
derivadas parciais contínuas. Mostre

que:

(a)

~∇f = ~0 se f é constante;
(b)

~∇(f + g) = ~∇f + ~∇g;
(c)

~∇(cf) = c~∇f se c é uma con-
stante;

(d)

~∇(fg) = f ~∇g + g~∇f ;
(e)

~∇(f
g
) = g

~∇f−f ~∇g
g2
sempre que g 6=

0.

166. (a) Em que direção é a derivada dire-

cional de f(x, y) = x
2−y2
x2+y2
no ponto

(1, 1) igual a zero (sendo a direção
dada por um vetor unitário)?

(b) A mesma pergunta, mas para um

ponto (x, y) no primeiro quadrante
(i.e., x > 0 e y > 0).

(c) Descreva as curvas de nível de f
usando a última alínea.

167. O capitão Asteróide está outra vez em

apuros perto de Mercúrio... Está na

posição (1, 1, 1) e a temperatura do
casco da nave é dada por T (x, y, z) =
e−x

2−2y2−3z2
.

(a) Em que direção deve apontar a

nave para que a temperatura desça

mais rapidamente?

3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 18

(b) Se a nave viaja a uma velocidade

escalar de e8, a que velocidade a
temperatura desce se ele seguir na

direção determinada na alínea an-

terior?

(c) Infelizmente, o metal do casco

pode-se estilhaçar se a tem-

peratura descer a uma veloci-

dade/taxa superior a

√
14e2. Diga
em que direção o capitão Asteróide

pode seguir em segurança.

3.10 Plano tangente e reta

normal

168. Determine as equações do plano tan-

gente e da reta normal ao gráfico da

função dada, no ponto dado.

(a) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1)).

Resp: z = 4x+ 2y− 4 e (x, y, z) =
(1, 1, 2) + t(4, 2,−1);
(b) f(x, y) = x3 + y3 − 6xy em

(1, 2, f(1, 2));

(c) f(x, y) = x2 + y2 em (0, 1, f(0, 1)).

Resp: z = 2y − 1 e (x, y, z) =
(0, 1, 1) + t(0, 2,−1);
(d) f(x, y) = cosx cos y em

(0, pi/2, f(0, pi/2));

(e) f(x, y) = 3x2y − xy em
(1,−1, f(1,−1)).
Resp: z = −8x+2y+8 e (x, y, z) =
(1,−1,−2) + t(−8, 2,−1);
(f) f(x, y) = cosx sin y em

(0, pi/2, f(0, pi/2));

(g) f(x, y) = xex
2−y2
em (2, 2, f(2, 2)).

Resp: z = 9x − 8y e (x, y, z) =
(2, 2, 2) + t(9,−8,−1);
(h) f(x, y) = 1/(xy) em (1, 1, f(1, 1)).

169. Determine o plano que passa pelos pon-

tos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) e que seja tan-
gente ao gráfico de f(x, y) = xy.

Resp: x+ 6y − 2z = 3.
170. Determine o plano que seja paralelo ao

plano z = 2x + y e tangente ao gráfico
de f(x, y) = x2 + y2.

Resp: z = 2x+ y − 5
4
.

171. z = 2x+y é a equação do plano tangente
ao gráfico de f(x, y) no ponto (1, 1, 3).

(a) Calcule

∂f
∂x

(1, 1) e ∂f
∂y

(1, 1);

Resp: −2
3
e −1

3

(b) Determine a equação da reta nor-

mal no ponto (1, 1, 1).

Resp: (x, y, z) = (1, 1, 1) +
t(2, 1, 3).

172. Considere a função f(x, y) = x
3

x2+y2
.

Mostre que os planos tangentes ao grá-

fico de f passam pela origem.

173. A função z = z(x, y) é diferenciável e
dada implicitamente pela equação

x2

a2
+

y2

b2
+ z

2

c2
= 1. Mostre que x0x

a2
+ y0y

b2
+

z0z
c2

= 1 é a equação do plano tangente
no ponto (x0, y0, z0), z0 6= 0.
174. Calcule um vetor normal unitário a cada

uma das superfícies seguintes no ponto

indicado.

(a) xyz = 8, (1, 1, 8);

(b) x2y2 + y − z + 1 = 0, (0, 0, 1);
(c) cos(xy) = ez − 2, (1, pi, 0);
(d) exyz = e, (1, 1, 1).

175. Manuel Perverso inventou nova lei da

gravitação. Nesta teoria, a força ex-

ercida numa massa m em (x, y, z) por

outra massa M na origem é ~F =

4 MÁXIMOS E MÍNIMOS 19

−P mM
r5
~r, em que ~r = x~ı + y~ + z~k,

r =
√
x2 + y2 + z2 e P é a constante

perversa. Calcule V tal que ~F = −~∇V
e verifique que

~F é ortogonal às super-
fícies de nível de V .

176. Determine uma equação do plano tan-

gente a cada uma das superfícies

seguintes nos pontos indicados.

(a) x2 + 2y2 + 3z2 = 10, (1,
√

3, 1);

(b) xyz2 = 1, (1, 1, 1);

(c) x2 + 2y2 + 3xz = 10, (1, 2, 1/3);

(d) y2 − x2 = 3, (1, 2, 8);
(e) xyz = 1, (1, 1, 1);

(f)

xy
z

= 1, (1, 1, 1).

177. Determine uma equação para a reta tan-

gente a cada uma das seguintes curvas

nos pontos indicados.

(a) x2 + 2y2 = 3, (1, 1);

(b) xy = 17, (x0, 17/x0);

(c) cos(x+ y) = 1/2, x = pi/2, y = 0;

(d) exy = 2, (1, log 2).

178. Determine uma equação para a reta nor-

mal a cada uma das seguintes superfí-

cies nos pontos indicados.

(a) e−(x
2+y2+z2) = e−3, (1, 1, 1);

(b) 2x2 + 3y2 + z2 = 9, (1, 1, 2);

(c)

x
yz

= 1, (1, 1, 1);

(d) xyz2 = 4, (1, 1, 1).

179. Suponha que uma partícula é ejectada

da superfície x2 + y2 + z2 = 1 do ponto
(1, 1,

√
3), na direção normal à super-
fície, no tempo t = 0, com veloci-
dade escalar 10 (unidades por segundo).

Quando e onde intersecta a partícula o

plano xy?

180. Considere as duas superfícies S1 : x
2 +

y2 + z2 = 6 e S2 : 2x
2 + 3y2 + z2 = 9.

(a) Determine os vetores normais e os

planos tangentes a S1 e S2 em
(1, 1, 2);

(b) Determine o ângulo entre os dois

planos;

(c) Determine uma expressão para a

reta tangente em (1, 1, 2) à curva
de intersecção das superfícies S1 e
S2. [Sugestão: esta reta deve estar
em ambos os planos tangentes.]

181. Refaça o exercício anterior com as su-

perfícies x2 − y2 + z2 = 1 e 2x2 − y2 +
5z2 = 6 no ponto (1, 1,−1).

4 Máximos e mínimos

182. Seleccione os candidatos a extremantes

locais, sendo f(x, y) =

(a) 2x2 + y2 − 2xy + x− y;
(b) x2 − y2 + 3xy − x+ y;
(c) x3 − y2 + xy + 5;
(d) x3 + y3 − xy;
(e) x4 + y4 + 4x+ 4y;

(f) x5 + y5 − 5x− 5y.

4.1 Condição suficiente

para um ponto crítico ser

extremante local

183. Determine os máximos e mínimos locais

para cada função f(x, y) seguinte, us-
ando o teste para funções quadráticas.

(a) x2 + 3xy + 4y2 − 6x+ 2y;

4 MÁXIMOS E MÍNIMOS 20

(b) x2 + y3 + xy − 3x− 4y + 5;
(c) x3 + 2xy + y2 − 5x;
(d) −x2 + y2 + 2xy + 4x− 2y;
(e) x2 − 4xy + 4y2 − x+ 3y + 1;
(f) x2 + xy + y2;

(g) y2;

(h) 3 + 2x2 − xy + y2;
(i) x2 − xy + y2 + 1.
184. Determine o ponto do plano x + 2y −

z = 4 que se encontra mais próximo da
origem.

185. Analise o comportamento de z = x5y +
xy5 + xy nos seus pontos críticos.

186. Determine os pontos extremos de z =
log(x2 + y2 + 1) e de z = e1+x

2+y2
.

187. Analise o ponto crítico (0, 0) para z =
x3 + y3. Esboce.

188. Mostre que z = x
3−3x
1+y2
tem apenas um

máximo e um mínimo local.

189. Ache o ponto (u, t) que maximiza a
função R(u, t) = u2(1 − u)t2e−t para
0 ≤ u ≤ 1 e t ≥ 0.
190. A Lei de Plank relaciona a energia E
emitida pelo corpo negro (corpo quente

padrão) à frequência λ e à temper-
atura T da seguinte maneira: T (λ, T ) =
2pik5T 5

h4c4
x5

ex−1 em que x =
hc
λkT
, h é a con-
stante de Plank, k é a constante de
Boltzmann e c é a velocidade da luz no
vácuo. Mostre que, fixado T , a curva
E = E(λ, T ) (a curva de Plank) tem
um máximo em λ
max

dado por λ
max

=
hc

kTx0
em que 5− x0 − 5e−x0 = 0. Esta é
a lei de deslocamento de Wien.

191. Determine os máximos e mínimos locais

para f(x, y) = (x2 + 3y2)e1−x
2−y2
.

192. Determine o ponto do espaço que mini-

miza a soma dos quadrados das distân-

cias aos pontos (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)
e (0, 0, 1).

193. Seja f(x, y, z) de classe C2 e seja
(x0, y0, z0) um ponto interior de Df .
Suponha que (x0, y0, z0) seja ponto
crítico de f . Sejam H(x, y, z) e
H1(x, y, z) dadas por:

H =

∣∣∣∣∣∣∣
∂2f
∂x2

∂2f
∂x∂y

∂2f
∂x∂z

∂2f
∂x∂y

∂2f
∂y2

∂2f
∂y∂z

∂2f
∂x∂z

∂2f
∂y∂z

∂2f
∂z2

∣∣∣∣∣∣∣ e H1 =
∣∣∣∣∣ ∂

2f
∂x2

∂2f
∂x∂y

∂2f
∂x∂y

∂2f
∂y2

∣∣∣∣∣
Sabe-se que:

i. se

∂2f
∂x2

(x0, y0, z0) > 0,
H1(x0, y0, z0) > 0 e H(x0, y0, z0) >
0, então (x0, y0, z0) será ponto de
mínimo local;

ii. se

∂2f
∂x2