ListaCalcII - Estudo P2 - Andreia Coutinho
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ListaCalcII - Estudo P2 - Andreia Coutinho

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(x0, y0, z0) < 0,
H1(x0, y0, z0) > 0 e H(x0, y0, z0) <
0, então (x0, y0, z0) será ponto de
máximo local;

Determine os máximos e mínimos locais

para cada uma das seguintes funções:

(a) x2+5y2+2z2+4xy−2x−4y−8z+2;
(b) x3 + y3 + z3 − 3x− 3y − 3z + 2;
(c) x3 + 2xy + y2 + z2 − 5x− 4z;
(d) x2−y2 +4z2 +2xz−4yz−2x−6z.

4.2 Método dos mínimos

quadrados

194. Mostre que, se y = mx + b for
a reta de regressão para os pontos

4 MÁXIMOS E MÍNIMOS 21

(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), então m e
b satisfazem ambas as equações

m
n∑
i=1

xi + nb =
n∑
i=1

yi e

m

n∑
i=1

x2i + b
n∑
i=1

xi =
n∑
i=1

xiyi.

195. Mostre que se apenas dois pontos dis-

tintos (x1, y1) e (x2, y2) forem dados, o
método dos mínimos quadrados fornece

precisamente a reta que passa por estes

dois pontos.

196. Para cada conjunto de pontos seguinte,

determine a reta dos mínimos quadra-

dos que minimiza a distância aos pontos

dados.

(a) (1, 1), (2, 3), (4, 3);

(b) (0, 0), (1, 2), (2, 3);

(c) (0, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 4), (4, 5).

197. Se y = mx + b for a reta
de regressão para os pontos

(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), então
a soma dos desvios anula-se, isto é

n∑
i=1

(yi −mxi − b) = 0.

4.3 Multiplicadores de La-

grange

198. Estude com relação a máximos e mí-

nimos a função dada com as restrições

dadas.

(a) f(x, y) = 3x+ y e x2 + 2y2 = 1;

(b) f(x, y) = 3x+ y e x2 + 2y2 ≤ 1;
(c) f(x, y) = x2 + 2y2 e 3x+ 2y = 1;

(d) f(x, y) = x2 + 4y2 e xy = 1, x >
0, y > 0;

(e) f(x, y) = xy e x2 + 4y2 = 8;

(f) f(x, y) = x2+2xy+y2 e x+2y−1 =
0;

(g) f(x, y) = x2 + 2xy+ y2 e x2 + y2 =
1;

(h) f(x, y) = 3x+ 2y e 2x2 + 3y2 ≤ 3;
(i) f(x, y) = xy e 2x + 3y ≤ 10, x ≥

0, y ≥ 0;
(j) f(x, y) = x+ y e x2 + y2 = 1;

(k) f(x, y) = x− y e x2 − y2 = 2;
(l) f(x, y) = xy e x+ y = 1;

(m) f(x, y) = cos2 x+ cos2 y e x+ y =
pi/4.

199. Determine a curva de nível de f(x, y) =
x2 + 16y2 que seja tangente à curva
xy = 1, x > 0, y > 0. Qual o ponto
de tangência ?

Resp: x2 +16y2 = 8; o ponto de tangên-
cia é (2, 1

2
).

200. Determine o ponto da reta x + 2y = 1
cujo produto das coordenadas seja má-

ximo.

Resp: (1
2
, 1

4
).

201. Determine o ponto da parábola y = x2

mais próximo de (14, 1).

Resp: (2, 4).

202. Ache o valor máximo e o valor mínimo

da função f(x, y, z) = x + 2y + z com
restrição x2 + 2y2 + z2 = 4.

Resp: Valor máximo é 4, sendo atingido
em (1, 1, 1). O valor mínimo é−4, sendo
atingido em (−1,−1,−1).

4 MÁXIMOS E MÍNIMOS 22

203. Determine o ponto do plano x + 2y −
3z = 4 mais próximo da origem.

Resp: (2
7
, 4

7
,−6

7
).

204. A temperatura T na superfície esférica
x2+y2+z2 = 1 satisfaz T (x, y, z) = xz+
yz. Determine todos os pontos quentes.

205. Determine o ponto da superfície xyz =
1, x > 0, y > 0 que se encontra mais
próximo da origem.

Resp: (1, 1, 1).

206. Determine o valor máximo e mínimo

de f(x, y) = 200x + xy/8 na região
{(x, y) ∈ R2 : x2 + 2y2 ≤ 30000}.
207. Verifique que ( c

3
)3 é o valor máximo de

xyz, x ≤ 0, y ≤ 0 e z ≤ 0, com a restri-
ção x+ y + z = c (c > 0).

208. Deseja-se construir um paralelepípedo-

rectângulo com área total de 100cm2.
Determine as dimensões para o volume

ser máximo.

Resp: Cubo de aresta

5
√

2√
3
.

209. Os livros de Termodinâmica usam a re-

lação (
∂y

∂x

)(
∂z

∂y

)(
∂x

∂z

)
= −1.

Suponha que F (x, y, z) = 0 de-
fine implicitamente x = f(y, z), y =
g(x, z), z = h(x, y) e prove esta relação.

210. Suponha que z = f(x, y) está definida,
tem derivadas parciais de segunda or-

dem contínuas e é harmónica: fxx +
fyy = 0. Suponha também que num
ponto (x0, y0) se tem fxx(x0, y0) 6= 0 e
mostre que f não pode ter máximo nem
mínimo local em (x0, y0).

211. Mostre que se f é harmónica na região
x2 + y2 ≤ 1 e é zero para x2 + y2 = 1,
então f é zero em todo o disco unitário.