ListaCalcII - Estudo P2 - Andreia Coutinho
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diz que uma função ho-
mogénea \ufb01ca completamente determi-
nada quando se conhecem os valores que
ela assume nos pontos de uma circunfe-
rência de centro na origem).
3.1 Grá\ufb01co e curvas de nível
84. Faça um esboço das curvas de nível das
funções seguintes com o valor indicado.
(a) f(x, y) = 1 \u2212 x \u2212 y com valor 1 e
valor \u22121;
(b) f(x, y) = 2xy
x2+y2
com valores \u22121, 0
e 1. Descreva em geral as curvas
de nível desta função. (Sugestão:
use coordenadas polares.)
(c) f(x, y) = x+y
x\u2212y com valores 1 e 0.
Descreva as curvas de nível desta
função em geral.
(d) f(x, y) = x
2+y2
x2\u2212y2 com valores \u22121, 0
e 1. Descreva também as curvas
de nível para qualquer valor \u3b1 \u2208
R. (Sugestão: use coordenadas po-
lares.)
85. Esboce as curvas de nível da função
f(x, y) = 3\u22121/(x
2+y2)
com valores 1/e,
1, 0 e 4.
(a) Como são as curvas de nível para
\u3b1 \u2208 R? (Sugestão: coordenadas
polares!)
(b) Como é a secção do grá\ufb01co pelo
plano y = 0, i.e, a intersecção
do grá\ufb01co de f com o plano xz?
Faria diferença se tomasse outro
plano vertical que passasse pela
origem? (Sugestão: novamente co-
ordenadas polares...)
(c) Esboce o grá\ufb01co de f .
86. Seja f a função dada por z = 1
x2+y2
.
(a) Determine o domínio e a imagem;
(b) Desenhe as curvas de nível;
(c) Esboce o grá\ufb01co.
87. Seja f a função dada por z = y
x\u22121 .
(a) Determine o domínio e a imagem;
(b) Desenhe as curvas de nível.
88. Seja f(x, y) = 2xy
2
x2+y4
, (x, y) 6= (0, 0).
(a) Determine o domínio e a imagem;
(b) Desenhe as curvas de nível.
89. Desenhe as curvas de nível e esboce o
grá\ufb01co:
(a) f(x, y) = 1\u2212 x2 \u2212 y2;
(b) f(x, y) = x+ 3y;
(c) z = 4x2 + y2;
(d) f(x, y) = 1 + x2 + y2;
(e) z = x+ y + 1;
(f) f(x, y) =
\u221a
1\u2212 x2 \u2212 y2;
90. Desenhe as curvas de nível e determine
a imagem.
(a) f(x, y) = x \u2212 2y. Resp: Im(f) =
R;
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 10
(b) f(x, y) = y
x\u22122 . Resp: Im(f) = R;
(c) z = x\u2212y
x+y
. Resp: Im(f) = R;
(d) f(x, y) = x
y\u22121 . Resp: Im(f) = R;
(e) z = xy. Resp: Im(f) = R;
(f) f(x, y) = x2 \u2212 y2. Resp: Im(f) =
R;
(g) z = 4x2 + y2. Resp: Im(f) =
[0,+\u221e[;
(h) z = 3x2\u22124xy+y2. Resp: Im(f) =
R;
91. Seja f(x, y) = x
2
x2+y2
. Desenhe a imagem
da curva \u3b3(t) = (x(t), y(t), z(t)), onde
xR cos t, y = R sin t e z = f(x(t), y(t)),
R > 0. Como é o grá\ufb01co de f?
92. Suponha T (x, y) = 2x + y(oC) repre-
sente uma distribuição de temperatura
no plano xy.
(a) Desenhe as isotermas corre-
spondentes às temperaturas:
0oC, 3oC,\u22121oC.
93. Esboce as seguintes superfícies no es-
paço tridimensional.
(a) z = x2 + 2;
(b) z = |y|;
(c) z2 + x2 = 4;
(d) x2 + y = 2;
(e) x = \u22128z2 + x;
(f) z =
\u221a
x2 + y2;
(g) z = max{|x|, |y|};
(h) z = sin(x);
(i) y = 1\u2212 x2 \u2212 z2.
94. Escreva uma expressão em coordenadas
cilíndricas e em coordenas esféricas para
a superfície dada por z = x2 \u2212 y2 em
coordenadas cartesianas.
95. Escreva uma expressão em coordenadas
esféricas para a superfície dada por
xz = 1 em coordenadas cartesianas.
96. Dê uma expressão para z = x2 + y2 em
coordenadas esféricas.
97. Descreva a superfície dada em coorde-
nadas esféricas por \u3c1 = \u3c6.
3.2 Derivadas parciais
98. Determine as derivadas parciais:
(a) f(x, y) = 5x4y2 + xy3 + 4.
Resp:
\u2202f
\u2202x
= 20x3y2 + y3
\u2202f
\u2202y
= 10x4y + 3xy2;
(b) z = cosxy.
Resp:
\u2202z
\u2202x
= \u2212y sinxy
\u2202z
\u2202y
= \u2212x sinxy;
(c) z = x
3+y2
x2+y2
.
Resp:
\u2202z
\u2202x
= x
4+3x2y2\u22122xy2
(x2+y2)2
\u2202z
\u2202y
= 2x
2y(1\u2212x)
(x2+y2)2
;
(d) f(x, y) = e\u2212x
2\u2212y2
.
Resp:
\u2202f
\u2202x
= \u22122xe\u2212x2\u2212y2
\u2202f
\u2202y
= \u22122ye\u2212x\u2212y2 ;
(e) z = x2 log(1 + x2 + y2).
(f) z = xyexy.
Resp:
\u2202z
\u2202x
= yexy(1 + xy)
\u2202z
\u2202y
= xexy(1 + xy);
(g) f(x, y) = (4xy \u2212 3y3)3 + 5x2y.
Resp:
\u2202f
\u2202x
= 12y(4xy\u22123y3)2 +10xy
\u2202f
\u2202y
= 3(4xy\u22123y3)2(4x\u22129y2)+5x2;
(h) z = arctan x
y
;
Resp:
\u2202z
\u2202x
= y
x2+y2
\u2202z
\u2202y
= \u2212x
x2+y2
;
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 11
(i) f(x, y) = xy.
Resp:
\u2202f
\u2202x
= yxy\u22121
\u2202f
\u2202y
= xy log x;
(j) z = (x2 + y2) log(x2 + y2).
Resp:
\u2202z
\u2202x
= 2x[1 + log(x2 + y2)]
\u2202z
\u2202y
= 2y[1 + log(x2 + y2)];
(k) f(x, y) =
\u221a
3x3 + y2 + 3.
\u2202f
\u2202x
= x
2\u221a
3(x3+y2+3)2
\u2202f
\u2202y
= 2y
3
\u221a
3(x3+y2+3)2
.
99. Considere a função z = xy
2
x2+y2
. Veri\ufb01que
que x \u2202z
\u2202x
+ y \u2202z
\u2202y
= z.
100. Seja \u3c6 : R \u2192 R uma função de uma
variável real, diferenciável e tal que
\u3c6\u2032(1) = 4. Seja z(x, y) = \u3c6(x
y
). Cal-
cule
\u2202z
\u2202x
(1, 1) e \u2202z
\u2202y
(1, 1).
Resp: 4 e \u22124.
101. Seja z(x, y) a função do exercício ante-
rior. Veri\ufb01que que:
x
\u2202z
\u2202x
(x, y) + y
\u2202z
\u2202y
(x.y) = 0
para todo o (x, y) \u2208 R2, com y 6= 0.
102. Novamente, seja \u3c6 : R\u2192 R uma função
de uma variável real, diferenciável, e de-
\ufb01na z = \u3c6(x\u2212 y)/y. Veri\ufb01que que
z + y
\u2202z
\u2202x
+ y
\u2202z
\u2202y
= 0,
para todo o x \u2208 R e todo o y 6= 0.
103. Considere a função dada por z =
x sin x
y
. Veri\ufb01que que
x
\u2202z
\u2202x
+ y
\u2202z
\u2202y
= z.
104. A função p = p(V, T ) é dada implicita-
mente pela equação pV = nRT , onde n
e R são constantes não nulas. Calcule
\u2202p
\u2202V
e
\u2202p
\u2202T
.
Resp:
\u2202p
\u2202V
= \u2212nRT
V 2
e
\u2202p
\u2202T
= nR
V
.
105. Seja z = ey\u3c6(x \u2212 y), onde \u3c6 é uma
função diferenciável de uma variável
real. Mostre que
\u2202z
\u2202x
+
\u2202z
\u2202y
= z.
106. Seja \u3c6 : R \u2192 R uma função difer-
enciável de uma variável real e seja
f(x, y) = (x2 + y2)\u3c6(x
y
). Mostre que
x
\u2202f
\u2202x
+ y
\u2202f
\u2202y
= 2f.
107. Sejam z = ex
2+y2 , x = \u3c1 cos \u3b8 e y =
\u3c1 sin \u3b8. Veri\ufb01que que:
\u2202z
\u2202\u3c1
= ex
2+y2(2x cos \u3b8 + 2y sin \u3b8).
Conclua que:
\u2202z
\u2202\u3c1
=
\u2202z
\u2202x
cos \u3b8 +
\u2202z
\u2202y
sin \u3b8.
108. Suponha que a função z = z(x, y) ad-
mita derivadas parciais em todos os
pontos do seu domínio e que seja dada
implicitamente pela equação xyz+z3 =
x. Expresse \u2202z
\u2202x
e
\u2202z
\u2202y
em termos de x, y
e z.
Resp:
\u2202z
\u2202x
= 1\u2212yz
xy+3z2
e
\u2202z
\u2202y
= \u2212xz
xy+3z2
.
109. Seja z = f(x+at), onde f é uma função
diferenciável de uma variável real e a
uma constante. Veri\ufb01que que
\u2202z
\u2202t
= a
\u2202z
\u2202x
.
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 12
110. Seja z = f(x2 \u2212 y2), onde f(u) é
uma função diferenciável de uma var-
iável real. Veri\ufb01que que
y
\u2202z
\u2202x
+ x
\u2202z
\u2202y
= 0.
111. Considere a função dada por w = xy +
z4, onde z = z(x, y). Admita que
\u2202z
\u2202x
(x = 1, y = 1) = 4 e que z = 1 para
x = 1 e y = 1. Calcule \u2202w
\u2202x
(x = 1, y =
1).
Resp: 17.
112. Seja f(x, y) = e\u2212
x
2\u3c6(2y \u2212 x), onde \u3c6 é
uma função diferenciável de uma variá-
vel real. Mostre que:
2
\u2202f
\u2202x
+
\u2202f
\u2202y
= \u2212f.
113. Seja f(x, y) =
\u222b x2+y2
0
e\u2212t
2
dt. Calcule
\u2202f
\u2202x
(x, y) e \u2202f
\u2202y
(x, y).
Resp:
\u2202f
\u2202x
(x, y) = 2xe\u2212(x
2+y2)2
e
\u2202f
\u2202y
(x, y) = 2ye\u2212(x
2+y2)2
.
114. Seja f(x, y) =
\u222b y2
x2
e\u2212t
2
dt. Calcule
\u2202f
\u2202x
(x, y) e \u2202f
\u2202y
(x, y).
Resp:
\u2202f
\u2202x
(x, y) = \u22122xe\u2212x4 e \u2202f
\u2202y
(x, y) =
2ye\u2212y
4
.
115. Calcule as derivadas parciais.
(a) f(x, y, z) = xyz.
(b) f(x, y, z) =
\u221a
x2 + y2 + z2.
(c) f(x, y, z) = xex\u2212y\u2212z.
(d) w = x2 arcsin y
2
.
(e) w = xyz
x+y+z
.
(f) f(x, y, z) = cos(xy3) + e3xyz.
(g) f(x, y, z) = sin(x2 + y2 + z2).
(h) f(x, y, z) = xyz.
(i) s = f(x, y, z, w) dada por s =
xw log(x2 + y2 + z2 + w2).
116. Seja f(x, y) = 3x2 +2 sin(x/y2)+y3(1\u2212
ex). Calcule fx(2, 3), fx(0, 1), fy(1, 1) e
fy(\u22121,\u22121).
117. Calcule
(a)
\u2202
\u2202s
estu
2
;
(b)
\u2202
\u2202r
(
1
3
pir2h
)
;
(c)
\u2202
\u2202\u3bb
(
cos(\u3bbµ)
1+\u3bb2+µ2
)
;
(d)
\u2202
\u2202a
(bcd).
118. Calcule lim\u2206y\u21920
3+(x+y+\u2206y)2z\u2212(3+(x+y)2z)
\u2206y
.
119. Seja f(x, y, z) = x
x2+y2+z2
. Veri\ufb01que que
x
\u2202f
\u2202x
+ y
\u2202f
\u2202y
+ z
\u2202f
\u2202z
= \u2212f.
120. Seja s = f(x, y, z, w) dada por s =
e
x
y
\u2212 z
w
. Veri\ufb01que que
x
\u2202s
\u2202x
+ y
\u2202s
\u2202y
+ z
\u2202s
\u2202z
+ w
\u2202s
\u2202w
= 0.
121. Seja f : R\u2192 R contínua com f(3) = 4.
Seja
g(x, y, z) =
\u222b x+y2+z4
0
f(t)dt.
Calcule
\u2202g
\u2202x
(1, 1, 1), \u2202g
\u2202y
(1, 1, 1) e
\u2202g
\u2202z
(1, 1, 1).
3.3 Derivadas de ordem su-
perior
122. Ache todas as derivadas parciais segun-
das das seguintes funções:
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 13
(a) z = 3x2 + 2y2;
(b) z = sin(x2 \u2212 3xy);
(c) z = (2x
2+7x2y)
3xy
;
(d) z = x2y2e2xy.
123. Seja f(x, y, z) = x2y + xy2 + yz2. Ache
fxy, fyz, fzx, fxyz.
124. Calcule todas as derivadas segundas da
função u = u(x, y) e veri\ufb01que direta-
mente a igualdade das derivadas parci-
ais mistas.
(a) u = 2xy
(x2+y2)2
;
(b) u = cos(xy2);
(c) u = e\u2212xy
2
+ y3x4;
(d) u = 1
cos2 x+e\u2212y .
125. Uma função z = f(x, y) com derivadas