ListaCalcII - Estudo P2 - Andreia Coutinho
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(x0, y0, z0) < 0,
H1(x0, y0, z0) > 0 e H(x0, y0, z0) <
0, então (x0, y0, z0) será ponto de
máximo local;
Determine os máximos e mínimos locais
para cada uma das seguintes funções:
(a) x2+5y2+2z2+4xy\u22122x\u22124y\u22128z+2;
(b) x3 + y3 + z3 \u2212 3x\u2212 3y \u2212 3z + 2;
(c) x3 + 2xy + y2 + z2 \u2212 5x\u2212 4z;
(d) x2\u2212y2 +4z2 +2xz\u22124yz\u22122x\u22126z.
4.2 Método dos mínimos
quadrados
194. Mostre que, se y = mx + b for
a reta de regressão para os pontos
4 MÁXIMOS E MÍNIMOS 21
(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), então m e
b satisfazem ambas as equações
m
n\u2211
i=1
xi + nb =
n\u2211
i=1
yi e
m
n\u2211
i=1
x2i + b
n\u2211
i=1
xi =
n\u2211
i=1
xiyi.
195. Mostre que se apenas dois pontos dis-
tintos (x1, y1) e (x2, y2) forem dados, o
método dos mínimos quadrados fornece
precisamente a reta que passa por estes
dois pontos.
196. Para cada conjunto de pontos seguinte,
determine a reta dos mínimos quadra-
dos que minimiza a distância aos pontos
dados.
(a) (1, 1), (2, 3), (4, 3);
(b) (0, 0), (1, 2), (2, 3);
(c) (0, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 4), (4, 5).
197. Se y = mx + b for a reta
de regressão para os pontos
(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), então
a soma dos desvios anula-se, isto é
n\u2211
i=1
(yi \u2212mxi \u2212 b) = 0.
4.3 Multiplicadores de La-
grange
198. Estude com relação a máximos e mí-
nimos a função dada com as restrições
dadas.
(a) f(x, y) = 3x+ y e x2 + 2y2 = 1;
(b) f(x, y) = 3x+ y e x2 + 2y2 \u2264 1;
(c) f(x, y) = x2 + 2y2 e 3x+ 2y = 1;
(d) f(x, y) = x2 + 4y2 e xy = 1, x >
0, y > 0;
(e) f(x, y) = xy e x2 + 4y2 = 8;
(f) f(x, y) = x2+2xy+y2 e x+2y\u22121 =
0;
(g) f(x, y) = x2 + 2xy+ y2 e x2 + y2 =
1;
(h) f(x, y) = 3x+ 2y e 2x2 + 3y2 \u2264 3;
(i) f(x, y) = xy e 2x + 3y \u2264 10, x \u2265
0, y \u2265 0;
(j) f(x, y) = x+ y e x2 + y2 = 1;
(k) f(x, y) = x\u2212 y e x2 \u2212 y2 = 2;
(l) f(x, y) = xy e x+ y = 1;
(m) f(x, y) = cos2 x+ cos2 y e x+ y =
pi/4.
199. Determine a curva de nível de f(x, y) =
x2 + 16y2 que seja tangente à curva
xy = 1, x > 0, y > 0. Qual o ponto
de tangência ?
Resp: x2 +16y2 = 8; o ponto de tangên-
cia é (2, 1
2
).
200. Determine o ponto da reta x + 2y = 1
cujo produto das coordenadas seja má-
ximo.
Resp: (1
2
, 1
4
).
201. Determine o ponto da parábola y = x2
mais próximo de (14, 1).
Resp: (2, 4).
202. Ache o valor máximo e o valor mínimo
da função f(x, y, z) = x + 2y + z com
restrição x2 + 2y2 + z2 = 4.
Resp: Valor máximo é 4, sendo atingido
em (1, 1, 1). O valor mínimo é\u22124, sendo
atingido em (\u22121,\u22121,\u22121).
4 MÁXIMOS E MÍNIMOS 22
203. Determine o ponto do plano x + 2y \u2212
3z = 4 mais próximo da origem.
Resp: (2
7
, 4
7
,\u22126
7
).
204. A temperatura T na superfície esférica
x2+y2+z2 = 1 satisfaz T (x, y, z) = xz+
yz. Determine todos os pontos quentes.
205. Determine o ponto da superfície xyz =
1, x > 0, y > 0 que se encontra mais
próximo da origem.
Resp: (1, 1, 1).
206. Determine o valor máximo e mínimo
de f(x, y) = 200x + xy/8 na região
{(x, y) \u2208 R2 : x2 + 2y2 \u2264 30000}.
207. Veri\ufb01que que ( c
3
)3 é o valor máximo de
xyz, x \u2264 0, y \u2264 0 e z \u2264 0, com a restri-
ção x+ y + z = c (c > 0).
208. Deseja-se construir um paralelepípedo-
rectângulo com área total de 100cm2.
Determine as dimensões para o volume
ser máximo.
Resp: Cubo de aresta
5
\u221a
2\u221a
3
.
209. Os livros de Termodinâmica usam a re-
lação (
\u2202y
\u2202x
)(
\u2202z
\u2202y
)(
\u2202x
\u2202z
)
= \u22121.
Suponha que F (x, y, z) = 0 de-
\ufb01ne implicitamente x = f(y, z), y =
g(x, z), z = h(x, y) e prove esta relação.
210. Suponha que z = f(x, y) está de\ufb01nida,
tem derivadas parciais de segunda or-
dem contínuas e é harmónica: fxx +
fyy = 0. Suponha também que num
ponto (x0, y0) se tem fxx(x0, y0) 6= 0 e
mostre que f não pode ter máximo nem
mínimo local em (x0, y0).
211. Mostre que se f é harmónica na região
x2 + y2 \u2264 1 e é zero para x2 + y2 = 1,
então f é zero em todo o disco unitário.