Cap20
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Cap20

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o jogo
de craps quanto o número de derrotas quando cada jogada
começar com o próximo lançamento após a jogada anterior
terminar. Use essas informações para calcular uma estimati-
va preliminar da probabilidade de se ganhar uma única roda-
da do jogo.

(d) Para um grande número de rodadas, a proporção de vitórias
possui uma distribuição aproximadamente normal com média
� 0,493 e desvio-padrão � 0,5�n�. Use essas informações
para calcular o número de rodadas simuladas que seriam neces-
sárias para se ter uma probabilidade de pelo menos 0,95 de
que a proporção de vitórias será menor que 0,5.

R 20.4-7. Obtendo números aleatórios uniformes, conforme ins-
trução no início da seção Problemas, use o método de transforma-
ção inversa e a tabela da distribuição normal dada no Apêndice 5
(com interpolação linear entre valores na tabela) para gerar dez
observações aleatórias (até três casas decimais) de uma distribui-
ção normal com média � 1 e variância � 4. Em seguida, calcule
a média da amostra dessas observações aleatórias.

R 20.4-8. Obtendo números aleatórios uniformes, conforme ins-
trução no início da seção Problemas, gere três observações aleató-
rias (aproximadas) de uma distribuição normal com média � 0 e
desvio-padrão � 1.
(a) Faça isso aplicando o teorema do limite central, usando três

números aleatórios uniformes para gerar cada observação
aleatória.

(b) Agora, faça isso usando a tabela para a distribuição normal dada
no Apêndice 5 e aplicando o método de transformação inversa.

R 20.4-9. Obtendo números aleatórios uniformes, conforme ins-
trução no início da seção Problemas, gere quatro observações alea-
tórias (aproximadas) de uma distribuição normal com média � 0
e desvio-padrão � 1.
(a) Faça isso aplicando o teorema do limite central, usando três

números aleatórios uniformes para gerar cada observação
aleatória.

(b) Agora, faça o mesmo usando a tabela para a distribuição nor-
mal dada no Apêndice 5 e aplicando o método de transforma-
ção inversa.

(c) Use suas observações aleatórias dos itens (a) e (b) para gerar
observações aleatórias de uma distribuição qui-quadrado com
2 graus de liberdade.

R 20.4-10.* Use suas observações aleatórias dos itens (a) e (b)
para gerar observações aleatórias de uma distribuição qui-quadra-
do com 2 graus de liberdade.
(a) A distribuição exponencial com média � 4.
(b) A distribuição de Erlang com média � 4 e parâmetro de forma

k � 2 (isto é, desvio-padrão � 2�2�).
(c) A distribuição normal com média � 4 e desvio-padrão � 2�2�.

Use o teorema do limite central e n � 6 para cada observação.

20.4-11. Richard Collins, gerente e proprietário da Richard’s Tire
Service, deseja usar simulação para analisar a operação de sua loja.
Uma das atividades a ser incluída na simulação é a instalação de
pneus de automóveis (inclusive balanceamento). Richard estima
que a função de distribuição cumulativa (CDF) da distribuição de
probabilidades do tempo (em minutos) necessário para a instala-
ção de um pneu apresente a forma de gráfico mostrada a seguir.

(a) Use o método de transformação inversa para gerar cinco obser-
vações aleatórias dessa distribuição ao usar os cinco números
aleatórios uniformes a seguir: 0,2655; 0,3472; 0,0248; 0,9205;
0,6130.

(b) Use uma função aninhada IF para escrever uma equação que
o Excel possa usar para gerar cada observação aleatória a dessa
distribuição.

R 20.4-12. Obtendo números aleatórios uniformes conforme ins-
trução no início da seção Problemas, gere quatro observações alea-
tórias de uma distribuição normal com média � 1. Em seguida,
use essas quatro observações para gerar uma observação aleatória
de uma distribuição de Erlang com média � 4 e parâmetro de forma
k � 4.

20.4-13. Façamos que r1, r2, . . . , rn sejam números aleatórios uni-
formes. Defina xi � �ln ri e yi � �ln (1 � ri), para i � 1, 2, . . . ,
n, e z � �

n

i�1
xi. Classifique cada uma das seguintes afirmações como

verdadeira ou falsa e então justifique sua resposta.
(a) Os números x1, x2, . . . , xn e y1, y2, . . . , yn são observações

aleatórias da mesma distribuição exponencial.
(b) A média de x1, x2, . . . , xn é igual à média de y1, y2, . . . , yn.
(c) z é uma observação aleatória de uma distribuição de Erlang

(gama).

20.4-14. Considere uma variável aleatória discreta X que é unifor-
memente distribuída (probabilidades iguais) no conjunto {1, 2, . . .
, 9}. Desejamos gerar uma série de observações aleatórias xi (i �
1, 2, . . .) de X. Foram feitas as três propostas a seguir para tal. Para

PROBLEMAS 67

1,0
0,8

0,2

0 7 9 11 13 Tempo

CDF

68 CAPÍTULO 20 SIMULAÇÃO

cada uma delas, analise se é um método válido e, caso não seja,
como ele poderia ser ajustado para se tornar um método válido.
(a) Proposta 1: Gere números aleatórios uniformes ri (i � 1, 2, . . .)

e em seguida faça que xi � n, em que n é o inteiro que satisfaz
n/8 	 ri � (n � 1)/8.

(b) Proposta 2: Gere números aleatórios uniformes ri (i � 1, 2, . . .)
e em seguida faça que xi seja igual ao maior inteiro menor ou
igual a 1 � 8ri.

(c) Proposta 3: Gere xi do gerador congruente misto
x n � 1 � (5xn � 7) (módulos 8), partindo do valor x0 � 4.

R 20.4-15. Obtendo números aleatórios uniformes, conforme ins-
trução no início da seção Problemas, use o método da aceitação-
rejeição para gerar três observações aleatórias da distribuição trian-
gular usada para ilustrar esse método na Seção 20.4.

R 20.4-16. Obtendo números aleatórios uniformes, conforme ins-
trução no início da seção Problemas, use o método da aceitação-
rejeição para gerar três observações aleatórias de uma função den-
sidade probabilística

f(x) �

R 20.4-17. Uma companhia de seguros possui apólices para qua-
tro tipos de risco importantes. O número de perdas para cada risco
é independente e distribuído de forma idêntica nos pontos {0, 1, 2}
com probabilidades, respectivamente, 0,7, 0,2 e 0,1. O tamanho
de uma perda individual apresenta a seguinte função distribuição
cumulativa:

F(x) �

Obtendo números aleatórios uniformes, conforme instrução no iní-
cio da seção Problemas, realize um experimento de simulação com
o dobro da perda total gerada pelos quatro tipos de risco.

20.4-18. Uma empresa oferece a seus três funcionários um seguro-
saúde dentro de um plano de grupo. Para cada funcionário, a proba-
bilidade de se incorrer em despesas médicas durante um ano é 0,9
e, portanto, o número de funcionários incorrendo em despesas médi-
cas durante um ano tem uma distribuição binomial com p � 0,9 e
n � 3. Dado que um funcionário incorre em despesas médicas duran-
te um ano, a quantia total para o ano apresenta a distribuição
US$ 100 com probabilidade 0,9 ou US$ 10.000 com probabilidade
0,1. A empresa tem uma cláusula de dedução de US$ 5.000 com a
empresa seguradora de modo que a cada ano a empresa seguradora
paga um extra de US$ 5.000 para o total das despesas médicas para
o grupo. Use os números aleatórios uniformes 0,01 e 0,20, na or-
dem dada, para gerar o número de solicitações baseadas em uma dis-
tribuição binomial a cada dois anos. Use os seguintes números alea-
tórios uniformes, na ordem dada, para gerar o valor de cada
solicitação: 0,80; 0,95; 0,70; 0,96; 0,54; 0,01. Calcule a quantia to-
tal que a empresa seguradora paga por dois anos.

A 20.6-1. Os resultados de uma simulação são inerentemente alea-
tórios. Esse problema demonstrará esse fato e investigará o impac-

to do número de tentativas sobre essa aleatoriedade. Considere o
exemplo envolvendo a banca de jornal de Freddie que foi introdu-
zido na Seção 20.6. O modelo de planilha se encontra disponível
nos arquivos em Excel deste capítulo contidos no CD-ROM. Ao
usar o Crystal Ball, certifique-se de que a opção “Use Same Se-
quence of Random Numbers” não esteja marcada e que Monte-
Carlo Sampling Method esteja selecionado na guia Sampling de
Run Preferences. Use uma quantidade encomendada